2020-2021学年北师大版数学必修1学案：1.2集合的基本关系.pdf

2 集合的基本关系 内 容 标 准 学 科 素 养 1.理解集合之间的包含与相等的含义，并会用符号和 Venn 图表示 2.能识别给定集合的子集、真子集，并能判断给定集合的关系 3.在具体情境中，了解空集的含义及其性质.精确概念含义 准确分类讨论 提升数学运算 授课提示：对应学生用书第 6 页 基础认识 知识点一 Venn 图 知识梳理 1.定义：在数学中，常用封闭曲线的内部表示集合，这种图称为 Venn 图，这种表示集合的方法叫作图示法 2适用范围：元素个数较少的集合 3使用方法：把元素写在封闭曲线的内部 知识点二 子集 思考并完成以下问题(正确的打“”，错误的打“”)(1)任何集合都有两个子集()(2)已知集合 Ax|yx2，By|yx2，C(x，y)|yx2，则 ABC.()提示：(1)(2)(1)错误空集只有一个子集，就是它本身，故该说法是错误的(2)错误集合 A 是函数 yx2的 x 的范围，即 AR；集合 B 是函数 yx2的 y 的范围，即 By|y0；集合 C 是函数 yx2图像上的点组成的集合，因此这三个集合互不相等 知识梳理 1.子集的概念 文字语言 符号语言 图形语言 一般地，对于两个集合 A 与 B，如果集合 A 中的任何一个元素都是集合 B 中的元素，就说这两个集合有包含关系，称集合 A 是集合 B 的子集 AB(或 BA)2.子集的有关性质(1)任何一个集合是它本身的子集，即 AA.(2)对于集合 A，B，C，如果 AB，且 BC，那么 AC.(3)若 AB，BA，则称集合 A 与集合 B 相等，记作 AB.知识点三 真子集 思考并完成以下问题(1)已知集合 Ax|1x2，Bx|0 x1，则()ABA BAB CBA DAB(2)已知0,1A1,0,1，则集合 A_.提示：(1)C(2)1,0,1 知识梳理 定义 符号表示 图形表示 真子集 对于两个集合 A 与 B，如果集合 AB，并且 AB，称集合 A 是集合 B的真子集 AB(或 BA)知识点四 空集 思考并完成以下问题 集合 A 是集合 B 的真子集与集合 A 是集合 B 的子集之间有什么区别？提示：区别在于集合 A 是集合 B 的子集存在着 AB 的可能，但集合 A 是集合 B 的真子集就不存在 AB 的可能 知识梳理 1.定义：不含任何元素的集合，叫做空集 2符号表示为：.3规定：空集是任何集合的子集 思考：1.能否把“AB”理解成“A 是 B 中部分元素组成的集合”？提示：不能这是因为当 A时，AB，但 A 中不含任何元素；又当 AB 时，也有 AB，但 A 中含有 B 中的所有元素，这两种情况都有 AB 成立，所以上述理解是错误的 2如何判断集合 A 与集合 B 相等？提示：判断集合 A 与集合 B 相等的方法有二：法一：依据两个集合中的元素是否完全相同进行判断 法二：依据集合间的关系，看是否同时满足 AB 且 BA 这两条 30，0，有何区别？提示：与 0 与0 与 相同点 都表示无的意思 都是集合 都是集合 不同点 是集合；0 是实数 不含任何元素；不含任何元素；含一个元素，该 0含一个元素 0 元素是空集 关系 0 0 或 自我检测 1已知 A1,2,3,5,7，B2,5，则()AAB BAB CBA DAB 解析：2A,5A，但 1,3,7B，故 AB.答案：B 2集合1,2的真子集有()A4 个 B3 个 C2 个 D1 个 解析：集合1,2的真子集有，1，2共 3 个 答案：B 3若集合 A1，a，B3，b，且 AB，则 ab_.解析：AB，集合 A，B 中的元素相同，故 a3，b1.答案：4 授课提示：对应学生用书第 7 页 探究一 子集问题 阅读教材 P8例 2 及解答 题型：集合的子集问题 方法步骤：1.写出集合的所有元素；2写出集合的所有子集；3指出集合的真子集 例 1 已知集合 A(x，y)|xy2，x，yN，试写出 A 的所有子集 思路点拨 写出集合A的所有元素利用子集的定义写出子集 解析 A(x，y)|xy2，x，yN，A(0,2)，(1,1)，(2,0)A 的子集有：，(0,2)，(1,1)，(2,0)，(0,2)，(1,1)，(0,2)，(2,0)，(1,1)，(2,0)，(0,2)，(1,1)，(2,0)延伸探究 把集合 A 换成y|xy2，xN，yN，求相应问题 解析：Ay|xy2，xN，A0,1，A 的所有子集为，0，1，0,1 方法技巧 1.写集合的子集时，一般按照集合中的元素个数进行分类，依次找出每类中符合要求的集合 2解决这类问题时，要注意两个比较特殊的集合，即和集合本身 3集合的子集个数的规律：含有 n(n1，且 nN)个元素的集合有 2n个子集，(2n1)个真子集，(2n2)个非空真子集 跟踪探究 1.若1,2,3A1,2,3,4,5，则满足条件的集合 A 的个数为()A2 B3 C4 D5 解析：集合1,2,3是集合 A 的真子集，同时集合 A 又是集合1,2,3,4,5的子集，所以集合A 只能取集合1,2,3,4，1,2,3,5和1,2,3,4,5 答案：B 探究二 集合的相等关系 例 2 已知集合1，a，ba0，a2，ab，求 a2 019b2 020的值 思路点拨 集合相等集合的元素相同a0b0a21aa2 019b2 020.解析 1，a，ba0，a2，ab，又 a0，ba0，b0.a21，解得 a1.又 a1，a1.a2 019b2 020(1)2 01902 0201.方法技巧 1.两个集合相等，则所含元素完全相同，与顺序无关，但要注意检验，排除与集合中元素的互异性或与已知相矛盾的情形 2若两个集合中的元素均为无限多个，一要看两个集合的代表元素是否一致，再看代表元素满足的条件是否一致，若均一致，则两个集合相等 跟踪探究 2.已知集合 A2，x，y，B2x,2，y2且 AB，求 x，y 的值 解析：AB，集合 A 与集合 B 中的元素相同，x2x，yy2或 xy2，y2x，解得 x，y 的值为 x0，y0或 x0，y1或 x14，y12，验证得，当 x0，y0 时，A2,0,0这与集合元素的互异性相矛盾，舍去 x，y 的取值为 x0，y1或 x14，y12.探究三 由集合间的关系求参数范围问题 例 3 已知集合 Ax|2x5，Bx|m6x2m1，若 AB，求实数 m 的取值范围 解析 因为 AB，所以 2m1m6，m62，2m15，解得 m5，m4，m3，故 3m4.所以实数 m 的取值范围是m|3m4 延伸探究 1.(变换条件)本例中若将“AB”改为“BA”，其他条件不变，求实数 m的取值范围 解析：(1)当 B时，m62m1，即 m5.(2)当 B时，由 m62m1，m62，2m15，即 m5，m4，m3，得 m，故实数 m 的取值范围是m|m5 2(变换条件)本例中若将“Ax|2x5”改为“Ax|x2 或 x5”，若 BA，求实数 m 的取值范围 解析：(1)当 B时，m62m1，即 m5.(2)当 B时，由 m62m1，m65，或 m62m1，2m12，所以 m5，m11或 m5，m12.即 m11 或5m12.综上，实数 m 的取值范围是m|m11或m12.3(变条件改变问法)已知集合 Ax|x22x30，Bx|ax20，且 BA，求实数a 的值 解析：Ax|x22x301,3 当 B时，由于 BA，因此 B1或 B3 当 B1时，由 a(1)20，可得 a2；当 B3时，由 a320，可得 a23.当 B时，ax20 无解，可得 a0.综上所述，实数 a 的值为2 或23或 0.方法技巧 1.求解集合中参数问题，应先分析，简化每个集合，然后应用数形结合思想与分类讨论思想求解；2利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，其中特别要注意端点值的检验；3注意空集的特殊性，遇到“BA”时，若 B 为含字母参数的集合，一定要分“B”和“B”两种情形讨论 跟踪探究 3.已知集合 Ax|1x2，Bx|1xa，a1(1)若 AB，求 a 的取值范围；(2)若 BA，求 a 的取值范围 解析：(1)若 AB，由图可知 a2.(2)若 BA，由图可知，1a2.授课提示：对应学生用书第 8 页 课后小结 1对子集、真子集有关概念的理解(1)集合 A 中的任何一个元素都是集合 B 中的元素，即由 xA，能推出 xB，这是判断AB 的常用方法(2)不能简单地把“AB”理解成“A 是 B 中部分元素组成的集合”，因为若 A时，则A 中不含任何元素；若 AB，则 A 中含有 B 中的所有元素(3)在真子集的定义中，A，B 首先要满足 AB，其次至少有一个 xB，但 xA.2集合子集的个数 求集合的子集问题时，一般可以按照子集元素个数分类，再依次写出符合要求的子集集合的子集、真子集个数的规律为：含 n(nN)个元素的集合有 2n个子集，有 2n1 个真子集，有 2n2 个非空真子集 3涉及字母参数的集合关系问题，注意数形结合思想与分类讨论思想的应用 素养培优 忽略空集的特殊性致误 易错案例：设集合 Mx|2x25x30，Nx|mx1，若 NM，则 m 的取值集合为_ 易错分析：在集合关系的题目中，如果忽略了空集是任何集合的子集这一特性就会导致漏解；分类讨论时要注意做到分类标准清晰，既不重复也不遗漏考查分类讨论、数学运算的学科素养 自我纠正：集合 M3，12.若 NM，则 N3或12或.于是当 N3时，m13；当 N12时，m2；当 N时，m0.所以 m 的取值集合为2，0，13.答案：2，0，13