2014高中的数学优化重组卷.pdf
.优化重组卷 一、选择题 1过A,B两点的直线与直线 2xy10 平行,如此a的值为 A10 B17 C5 D2 2013某某某某一中月考 解析 依题意得kAB错误!2,解得a2.答案 D 2圆2y24 与圆229 的位置关系为 A内切 B相交 C外切 D相离 2013某某调研 解析 由题意知,两圆的圆心分别为,故两圆的圆心距离为错误!,两圆的半径之差为1,半径之和为 5,而 1错误!5,所以两圆的位置关系为相交 答案 B 3圆221 上一点P到直线 3x4y30 距离为d,如此d的最小值为 A1 B.错误!C.错误!D2 2013某某六校联考 解析 圆心C到直线 3x4y30 距离为错误!2,dmin211.答案 A 4 圆x2y24x90 与y轴的两个交点A,B都在某双曲线上,且A,B两点恰好将此双曲线的焦距三等分,如此此双曲线的标准方程为 A.错误!错误!1 B.错误!错误!1.C.错误!错误!1 D.错误!错误!1 2013某某大学附中月考 解析 在方程x2y24x90 中,令x0,得y3,不妨设A,B 设题中双曲线的标准方程为错误!错误!10,b0点A在双曲线上,错误!1.A,B两点恰好将此双曲线的焦距三等分,双曲线的焦点为,a2b281.a29,b272.此双曲线的标准方程为错误!错误!1.答案 B 5 过抛物线y22px焦点F作直线l交抛物线于A,B两点,O为坐标原点,如此ABO为 A锐角三角形 B直角三角形 C不确定 D钝角三角形 2013东北三省三校一联 解 析 设 点A,B的 坐 标 为,如 此O错误!O错误!x1x2y1y2错误!p2错误!0,BOA为钝角,应当选 D.答案 D 6直线yk与抛物线y22px0交于A,B两点,且OAOB,ODAB于点D.假如动点D的坐标满足方程x2y24x0,如此m等于 A1 B2 C3 D4 2013某某省六校一联 解析 设点D,如此由ODAB于点D,得错误!如此b错误!,abk；又动点D的坐标满足方程x2y24x0,即a2b24a0,将abk代入上式,得b2k2b24bkbk2b4k0,错误!错误!4k0,又k0,如此0,因此m4.答案 D.7抛物线y28x的准线与双曲线错误!y210交于A,B两点,点F为抛物线的焦点,假如FAB为直角三角形,如此双曲线的离心率是 A.错误!B.错误!C2 D2错误!2013某某青木关中学模拟 解析 抛物线的准线方程为x2,设准线与x轴的交点为D,由题意,得AFB90,故|AB|2|DF|8,故点A的坐标为由点A在双曲线错误!y21上可得错误!421,解得m错误!,故c2m1错误!,故双曲线的离心率e错误!错误!错误!.答案 B 8点P是直线kxy400上一动点,PA,PB是圆C：x2y22y0的两条切线,A,B为切点,假如四边形PACB的最小面积是2,如此k的值为 A4 B3 C2 D.错误!2013某某模拟 解析 圆C的方程可化为x221,因为四边形PACB的最小面积是 2,且此时切线长为 2,故圆心到直线kxy40 的距离为错误!,即错误!错误!,解得k2,又k0,所以k2.答案 C 二、填空题 9 双曲线错误!错误!10,b0的渐近线方程为y错误!x,如此它的离心率为_ 2013某某一模 解析 由题意,得e错误!错误!错误!2.答案 2 10直线ya交抛物线yx2于A,B两点假如该抛物线上存在点C,使得ACB为直角,如此a的取值 X 围为_ 2013某某卷 解析 以AB为直径的圆的方程为x22a.由错误!得y2ya2a0,即y 11设圆x2y22 的切线l与x轴正半轴、y轴正半轴分别交于点A,B,当|AB|取最小值时,切线l的方程为_ 2013皖南八校联考 解析 设点A,B的坐标分别为A,B0,如此直线AB的方程为错误!错误!1,即bxayab0,因为直线AB和圆相切,所以圆心到直线AB的距离d错误!错误!,整理得错误!ab,即 224ab,所以ab4,当且仅当ab时取等号,又|AB|错误!错误!2错误!,所以|AB|的最小值为2错误!,此时ab,即ab2,切线l的方程为错误!错误!1,即xy20.答案 xy20 12 设圆C的圆心与双曲线错误!错误!10的右焦点重合,且该圆与此双曲线的渐近线相切,假如直线l：x错误!y0 被圆C截得的弦长等于2,如此a的值为_ 2013某某六校一模 解析 由题知圆心C,双曲线的渐近线方程为错误!xay0,圆心C到渐近线的距离d错误!错误!,即圆C的半径为错误!.由直线l被圆C截得的弦长为2 与圆C的半径为错误!可知,圆心C到直线 l的距离为1,即错误!1,解得a错误!.答案 错误!三、解答题 13中心在坐标原点O的椭圆C经过点A,且点F为其右焦点 求椭圆C的方程；是否存在平行于OA的直线l,使得直线l与椭圆C有公共点,且直线OA与l的距离等于 4？假如存在,求出直线l的方程；假如不存在,请说明理由 2013学军中学模拟 解 依题意,可设椭圆C的方程为错误!错误!1b0,且可知左焦点为F.从而有错误!解得错误!又a2b2c2,所以b212,故椭圆C的方程为错误!错误!1.假设存在符合题意的直线l,由题知直线l的斜率与直线OA的斜率相等,故可设直线l的方程为y错误!xt.由错误!得 3x23txt2120.因为直线l与椭圆C有公共点,所以2430,解得4错误!t4错误!.另一方面,由直线OA与l的距离d4,可得错误!4,从而t2错误!.由于2错误!4错误!,4错误!,所以符合题意的直线l不存在 14设直线l：xym0 与抛物线C：y24x交于不同两点A,B,F 为抛物线的焦点 求ABF的重心G的轨迹方程；如果m2,求ABF的外接圆的方程 2013某某质检 解 设A,B,F,重心G,错误!y24y4m0,0m1 且m1,故错误!重心G的轨迹方程为y错误!错误!.假如m2,如此y24y80,设AB中点为 y0错误!2,x0y0m2m4,那么AB的中垂线方程为xy60,令ABF的外接圆圆心为C,又|AB|错误!|y1y2|4错误!,C到AB的距离为d错误!,|CA|CF|2错误!222a错误!,C点的坐标为错误!,|CF|2错误!2错误!2错误!,所求的圆的方程为错误!2错误!2错误!.15如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆C：错误!错误!1b0的离心率为错误!,以坐标原点为圆心,椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线xy20.相切 求椭圆C的方程；点P,Q,设M,N是椭圆C上关于y轴对称的不同两点,直线PM与QN相交于点T.求证：点T在椭圆C上 2013某某一模 解 由题意知,椭圆C的短半轴长为圆心到切线的距离,即b错误!错误!.因为离心率e错误!错误!,所以错误!错误!错误!.所以a2错误!.所以椭圆C的方程为错误!错误!1.证明 由题意可设点M,N的坐标分别为,如此直线PM的方程为y错误!x1,直线QN的方程为y错误!x2.设点T的坐标为,联立解得x0错误!,y0错误!.因为点M,N在椭圆C上,故错误!错误!1,所以错误!错误!2错误!21.整理得错误!错误!2,所以错误!错误!12y84y212y9,即错误!错误!1.所以点T的坐标满足椭圆C的方程,即点T在椭圆C上 16直线l：yx错误!,圆O：x2y25,椭圆E：错误!错误!1b0的离心率e错误!,直线l被圆O截得的弦长与椭圆的短轴长相等 求椭圆E的方程；过圆O上任意一点P作椭圆E的两条切线,假如切线都存在斜率,求证：两条切线的斜率之积为定值 2013吉大附中模拟 解 设椭圆的半焦距为c,圆心O到直线l的距离d错误!错误!,b错误!错误!,由题意,得错误!a23,b22.椭圆E的方程为错误!错误!1.证明 设点P,过点P的椭圆E的切线l0的方程为yy0k,联立直线l0与椭圆E的方程,得 错误!消去y,得x24kx2260,4k242260,整理,得k22kx0y00,设满足题意的椭圆E的两条切线的斜率分别为k1,k2,如此k1k2错误!.点P在圆O上,x错误!y错误!5.k1k2错误!1.两条切线的斜率之积为常数1.17设椭圆M：错误!错误!1错误!的右焦点为F1,直线l：x错误!与x轴交于点A,假如错误!12错误!求椭圆M的方程；设P是椭圆M上的任意一点,EF为圆N：x221 的任意一条直径,求P错误!P错误!的最大值 2013某某调研 解 由题设知,A错误!,F1错误!,由错误!2错误!,得错误!2错误!,解得a26.所以椭圆M的方程为M：错误!错误!1.设圆N：x221 的圆心为N,如此错误!错误!错误!2错误!2错误!21.从而求错误!错误!的最大值转化为求错误!2的最大值 因为P是椭圆M上的任意一点,设P,所以错误!错误!1,.即x错误!63y错误!,因为点N,所以错误!2x错误!22212.因为y0错误!,错误!,所以当y01 时,错误!2错误!错误!的最大值为11.
