概率论与数理统计公式总结【已整理-可直接打印】.pdf
F(x)f(x)第一章第一章P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)特别地，当特别地，当 A A、B B 互斥时，互斥时，P(A+B)=P(A)+P(B)P(A+B)=P(A)+P(B)条件概率公式条件概率公式P(A|B)P(AB)P(B)概率的乘法公式概率的乘法公式?P(AB)P(B)P(A|B)P(A)P(B|A)全概率公式：从原因计算结果全概率公式：从原因计算结果nP(A)P(Bk)P(A|Bk)k1BayesBayes 公式：从结果找原因公式：从结果找原因P(Bk|A)P(Bi)P(A|Bi)nP(B)kP(A|Bk)k1第二章第二章二项分布（二项分布（BernoulliBernoulli 分布）分布）XB(n,p)XB(n,p),P(Xk)Ckknp(1p)nk，(k0,1,.,n)泊松分布泊松分布XP(XP()P(X k)kk!e，(k 0,1,.)概率密度函数概率密度函数f(x)dx 1、怎样计算概率怎样计算概率P(a X b)P(a X b)baf(x)dx均匀分布均匀分布 XU(a,b)XU(a,b)f(x)1b a(a x b)指数分布指数分布 XExp(XExp()f(x)1x/e(x 0)分布函数分布函数#F(x)P(X x)P(X k)对离散型随机变量对离散型随机变量kx对连续型随机变量对连续型随机变量xF(x)P(X x)f(t)dt分布函数与密度函数的重要关系：分布函数与密度函数的重要关系：F(x)P(X x)xf(t)dt0 F(x,y)1;二元随机变量及其边缘分布二元随机变量及其边缘分布F(x,y)PX x,Y y分布规律的描述方法分布规律的描述方法联合密度函数f(x,y)联合分布函数F(x,y)f(x,y)0f(x,y)dxdy 1联合密度与边缘密度联合密度与边缘密度fX(x)f(x,y)dyfY(y)f(x,y)dx、离散型随机变量的独立性离散型随机变量的独立性PX i,Y j PX iPY j连续型随机变量的独立性连续型随机变量的独立性f(x,y)fX(x)fY(y)第三章第三章$数学期望数学期望E(X)kPkkx离散型随机变量，数学期望定义离散型随机变量，数学期望定义连续型随机变量，数学期望定义连续型随机变量，数学期望定义E(X)x；f(x)dx方差的性质方差的性质D(a)=0，其中 a 为常数E(a)=aE(a)=a，其中，其中 a a 为常数为常数E(a+bX)=a+bE(X)E(a+bX)=a+bE(X)，其中，其中 a a、b b 为常数为常数E(X+Y)=E(X)+E(Y)E(X+Y)=E(X)+E(Y)，X X、Y Y 为任意随机变量为任意随机变量#随机变量随机变量 g(X)g(X)的数学期望的数学期望E(g(X)g(xk)pkk常用公式常用公式Cov(X,Y)XYE(X)xD(X)D(Y)ipijE(X)xf(x,y)dxdyij;E(XY)xiyjpijijE(X Y)E(X)E(Y)E(XY)xyf(x,y)dxdy当X与Y独立时,E(XY)E(X)E(Y)方差方差定义式定义式D(X)x E(X)2 f(x)dx￥常用计算式常用计算式D(X)E(X2)E(X)2常用公式常用公式D(X Y)D(X)D(Y)2E(X E(X)(Y E(Y)当当 X X、Y Y 相互独立时：相互独立时：D(X Y)D(X)D(Y)D(a+bX)=b2D(X)，其中 a、b 为常数当 X、Y 相互独立时，D(X+Y)=D(X)+D(Y)协方差与相关系数协方差与相关系数EX E(X)Y E(Y)E(XY)E(X)E(Y)Cov(X,Y)E(XY)E(X)E(Y)！协方差的性质协方差的性质Cov(X,X)E(X2)E(X)2 D(X)Cov(aX,bY)abCov(X,Y)！Cov(X Y,Z)Cov(X,Z)Cov(Y,Z)独立与相关独立与相关独立必定不相关相关必定不独立不相关不一定独立第四章第四章）X N(,2)正态分布正态分布f(x)1(x)2222eE(X),D(X)2标准正态分布的概率计算标准正态分布的概率计算(a)1(a)标准正态分布的概率计算公式标准正态分布的概率计算公式P(Z a)P(Z a)(a)P(Z a)P(Z a)1(a)P(a Z b)(b)(a)P(a Z a)(a)(a)2(a)1一般正态分布的概率计算一般正态分布的概率计算X N(,2)Z X N(0,1)】一般正态分布的概率计算公式一般正态分布的概率计算公式P(X a)P(X a)(a)P(X a)P(X a)1(a)P(a X b)(ba)()-第五章第五章卡方分布卡方分布n若X N(0,1)，则X22i(n)i1若Y N(,2n),则1222Yi(n)￥i1t t 分布分布若X N(0,1),Y 2(n),则XY/n t(n)若U 2(nU/n11),V 2(n2),则V/n F(n1,n2)2F F 分布分布正态总体条件下正态总体条件下 样本均值的分布：样本均值的分布：2X N(,X n)/n N(0,1)样本方差的分布：样本方差的分布：(n1)S222(n1)X s/n t(n1)两个正态总体的方差之比两个正态总体的方差之比S2/S2122/2 F(n11,n21)12第六章第六章点估计：参数的估计值为一个常数点估计：参数的估计值为一个常数矩估计矩估计 最大似然估计最大似然估计似然函数似然函数L nf(xi;)L np(xi;)i1i1均值的区间估计均值的区间估计大样本结果大样本结果2x z/nx样本均值标准差(通常未知，可用样本标准差s代替)n样本容量(大样本要求n 50)z/2正态分布的分位点p zp(1 p)/2np样本比例n样本容量(大样本要求n 50)z/2正态分布的分位点小样本、正态总体、标 准差已知x z/2n小样本、正态总体、标准差未知x ts/2(n1)】nt/2(n1)自由度为n1的t分布的分位点(n1)S21)S2S2样本方差2,(n/212/22/2卡方分布的分位点正态总体方差的区间估计正态总体方差的区间估计两个正态总体均值差的置信区间两个正态总体均值差的置信区间大样本或正态小样本且方差已知大样本或正态小样本且方差已知2x2121 x2 z/2n1n2两个正态总体方差比的置信区间两个正态总体方差比的置信区间S2S2S2/S21/212F/2(n11,n21),Fn/2(11,n21)第七章第七章 假设检验的步骤假设检验的步骤 根据具体问题提出原假设H0 和备择假设 H1 根据假设选择检验统计量，并计算检验统计值 看检验统计值是否落在拒绝域，若落在拒绝域则拒绝原假设，否则就不拒绝原假设。不可避免的两类错误不可避免的两类错误第 1 类(弃真)错误：原假设为真，但拒绝了原假设第 2 类(取伪)错误：原假设为假，但接受了原假设单个正态总体的显著性检验单个正态总体的显著性检验%单正态总体均值的检验大样本情形Z 检验正态总体小样本、方差已知Z 检验正态总体小样本、方差未知 t 检验单正态总体方差的检验正态总体、均值未知卡方检验单正态总体均值的显著性检验单正态总体均值的显著性检验统计假设的形式统计假设的形式(1)H0:0H1:0双边检验双边检验(2)H0:0H1:0左边检验左边检验(3)H0:0H1:0右边检验右边检验单正态总体均值的单正态总体均值的 Z Z 检验检验%Z X 0/n（大样本情形未知时用S代替）拒绝域的代数表示拒绝域的代数表示双边检验双边检验Z Z/2左边检验左边检验Z Z右边检验右边检验Z Z比例比例特殊的均值的特殊的均值的 Z Z 检验检验Z p p0p0 总体比例p0(1 p0)/np 样本比例单正态总体均值的单正态总体均值的 t t 检验检验t X 0S/n单正态总体方差的卡方检验单正态总体方差的卡方检验2(n1)S220拒绝域拒绝域双边检验双边检验22或2/221/2左边检验左边检验221/2右边检验右边检验22/2
