(完整版)广东工业大学线性代数试卷A卷1(含答案).pdf

广东工业大学试卷用纸，共10页，第1页 学 院：专 业：学 号：姓 名：装 订 线 广东工业大学考试试卷()课程名称:线 性 代 数 试卷满分 100 分 考试时间:2009 年 6 月 15 日 (第 18 周 星期 一 )题 号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总分 评卷得分 评卷签名 复核得分 复核签名 一、填空题（每小题 4 分，共 20 分）1、若,011111011220111X 则 X=。2、设543022001A，其中AA 为*的伴随矩阵，则1*)(A 。3、设向量组 TTTk1,3,2,4,1,3,4,1321 秩),(321=2，则k=_。4、设 4 阶方阵 A 的 4 个特征值为 3，1，1，2，则A 。5、已知齐次线性方程组000321321321xxxxxxxxx 有非零解，则满足_。二、选择题（每小题 3 分，共 15 分）1、排列 671298435 的逆序数为 .（A）16 （B）17 （C）18 （D）19 广东工业大学试卷用纸，共10页，第2页 2、设行列式 1534780311113152 AD，则 24443424135AAAA .（A）0 （B）1 （C）1 （D）16 3、设 A、B 是n阶方阵，下列等式正确的是 .（A）AB=BA （B）)(22BABABA （C）22AA （D）111)(BABA 4、设0是非齐次方程组bAX 的一个解，r,21 是 0AX的基础解系，则 .(A)01,r 线性相关。（B）01,r 线性无关。（C）01,r 的线性组合是bAX 的解。（D）01,r 的线性组合是0AX的解。5、n阶方阵A与对角阵相似的充要条件是 .(A)A是实对称阵;(B)A有n个互异特征值;(C)A的特征向量两两正交.(D)A有n个线性无关的特征向量;三、（10 分）设naaaA111111111|21,021naaa其中.求A.四、（10 分）设 4 阶方阵CBA，满足方程 11)2(CABCET，试求矩阵A，其中 1232120101230120,0012001200010001BC 五、（10 分）讨论为何值时，方程组321321321)1(3)1(0)1(xxxxxxxxx 广东工业大学试卷用纸，共10页，第3页 (1)有唯一解？(2)无解？(3)有无穷多解？并在此时求出其通解。六、（10 分）已知 R3中的向量组321,线性无关，向量组112223,bkb，331bk线性相关，求 k 值。七、（11 分）设020212022A，求一个正交矩阵P，使APPAPPT1为一个对角矩阵。八、证明题(每小题 7 分，共 14 分)1、设321,是n阶方阵A的 3 个特征向量，它们的特征值不相等，记123，证明不是A的特征向量。2、设,A B为n阶方阵，若0AB，则 r()A r()Bn。广东工业大学试卷用纸，共10页，第4页 广东工业大学试卷参考答案及评分标准()课程名称:线性代数 。考试时间:2009 年 6 月 15 日 (第 18 周 星期 一 )二、填空题（每小题 4 分，共 20 分）1、11241131313132343131或者 2、21521030515100101543022001101或者 3、3 4、6 5、1 二、选择题（每小题 3 分，共 15 分）1 2 3 4 5 C A C B D 三、（10 分）计算行列式：解：nnaaDa11111111121,433221cccccc nnnnaaaaaaaaaa10000100010000100010001000011433221展开（由下往上）按最后一列5 分 广东工业大学试卷用纸，共10页，第5页)(1(121nnaaaannnaaaaaaaaa00000000000000000000000000022433221 nnnaaaaaaaa000000000000000001133221nnnaaaaaaaa000000000000000001143322 nnnnnnaaaaaaaaaaaa322321121)(1()11)(121niinaaaa10 分 注：本题方法不唯一，根据学生的做题步骤酌情给分。四、（10 分）解：由11)2(CABCET，两边同时左乘 C，得，EABCT)2(2 分 而1000210032104321)2(BC3 分 两边再同时左乘1)2(BC，得到1)2(BCAT 或者对 TAEBCEEBC,)2(,21作行的初等变换 1000100021000100301002104001032110001000010021000010321000014321414243432rrrrrr 广东工业大学试卷用纸，共10页，第6页 10001000210001001210001023010021313232rrrr 10001000210001001210001002210001212rr 7 分 1000210012100121TA8 分 即1210012100120001A10 分 五、（10 分）解：2)3(111111111A3 分 当03且时，方程组有唯一解5 分 当0时，增广矩阵为000010000111011131110111rB)()(BRAR,方程组无解7 分 当3时，增广矩阵为 000021103211 321131210112rB 2)()(BRAR，方程组有无穷多解，解为TTcx)0,2,1()1,1,1(，（c 为任意常数）10 分 六、（10 分）解：设存在三个实数321，使 1 1223 31122233311311222330bbbkkkk ，3 分 广东工业大学试卷用纸，共10页，第7页 由321,线性无关，得13112223301001000011kkkk，因为123,b b b相关，所以123,有非零解，7 分 故系数行列式=0，得1k。10 分 七、（11 分）解：020212022A 第一步 求 A 的特征值 020212022EA214=0.2,1,4321得3 分 的特征向量求出由第二步AxEAi,0 得由对,04,41xEA 04202320223232121xxxxxxx解之得基础解系.12214 分 得由对,0,12xEA 0202202323121xxxxxx解之得基础解系.21225 分 得由对,02,23xEA 02202320243232121xxxxxxx解之得基础解系.22136 分 第三步 将特征向量正交化 广东工业大学试卷用纸，共10页，第8页.,3,321321故它们必两两正交的特征向量个不同特征值的是属于由于A 第四步 将特征向量单位化.3,2,1,iiii令,3132321得,3231322.32323139 分,22121212231,321P作 .200010004 1APP则11 分 八、证明题(每小题 7 分，共 14 分)1、证明：反证法 假设123123112233AAAAAA，又：123112233A 从而：1122330 ，4 分 由于特征值各不相等，所以 321,线性无关，所以的1231230 ，矛盾。7 分 2、证明：因为线性方程组0Ax，当秩rA时，基础解系为rn 个，由 0),(),(2121nnAbAbAbbbbAAB 则有),2,1(0njAbj，3 分 即 B 的列均为0Ax的解，这些列的极大线性无关组的向量个数,rn 即秩(rnB)，从而秩nBA)()(秩。7 分 注：本题方法不唯一，酌情给分。广东工业大学试卷用纸，共10页，第9页 广东工业大学试卷用纸，共10页，第10页