上海市进才中学2020-2021学年高三上学期12月月考数学试题.docx

上海市进才中学 2020-2021 学年高三上学期 12 月月考数学试题学校:_姓名：_班级：_考号：_一、填空题A =x | log x > 0= | -1|< 2， B x x=，则 A B _.1已知集合12| n -100 |2lim=_.2计算：3n2n®¥i3复数 =（i 为虚数单位）在复平面内对应的点位于第_象限.为渐近线且经过点(2,0)的双曲线方程为_z1-i4以 =5已知圆锥底面半径与球的半径都是1cm ，如果圆锥的体积恰好也与球的体积相等，那么这个圆锥的母线长为cm1（ x- ）6二项式5 的展开式中常数项为_x37已知抛物线 y2 = 4_x 的焦点与圆 x y mx 的圆心重合，则 m 的值是- 4 = 02 + 2 +11x - =x 8若数列满足：d （d 为常数， Î *），则称n N为调和数列，已xn+1xnnn1 1 1 1 1a a = 11+ + + + =15a ，则数列 通项为知数列为调和数列，且，a a a a3a5nn124_.P PPn边上的n+1等分点，设OA a OB b9三角形 OAB 中， 、 、 是= ，= ，AB12= 2018+，用 、 表示OP OP+×××+OP ，其结果为_.若 nab122018+b = ab+ + = 210已知正数a、b、c 满足a，a b c abc，则c 的取值范围是_.11对 ，函数 ( )满足 ( + 1) =( ) ( ) + ，设 = ( ) ( )，1222的前 15 项和为 31数列，则 (15) =_.1612如图，甲从A 到 B，乙从C 到 D，两人每次都只能向上或者向右走一格，如果两个人的线路不相交，则称这两个人的路径为一对孤立路，那么不同的孤立路一共有_对. （用数字作答） 二、单选题13已知非零向量 、 ，“ ”是“ a( )+b”的（）a ba baA充分而不必要条件C充要条件B必要而不充分条件D既不充分也不必要条件5ppp= ,p614同时具有性质：“ 最小正周期是 ； 图象关于直线 x对称； 在3上是单调递增函数”的一个函数可以是（x p）5pA y =cos( + )By = sin(2x +)2 66pp= cos(2x - )C yD = sin(2 - )yx3615记方程x +a x+1=0，x +a x+1=0，x +a x+1=0，其中a ，a ，a 是正实数，当222123123a ，a ，a 成等比数列，下列选项中，当方程有实根时，能推出的是（ ）123A方程有实根或方程无实根C方程无实根或方程无实根B方程有实根或方程有实根D方程无实根或方程有实根116设 xÎR = - ，x表示不超过 x 的最大整数，且 x x x ，则方程 x + =1（）xA方程无实根B方程存在整数解D方程有两个以上有理数根C方程存在无理数根三、解答题17已知ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，cp3 32= ，b = 7，ABC（1）若 B=的面积 S，求 a+c 值；3（2）若 2cosC（BA BC AB AC××+）=c ，求角 C211(x) =-<（ a b ）.18已知函数 fx - a x - b= 3= ( )（1）若 =1，b，求证：函数 y f x 在2,3)上是增函数；aa + b（2）设集合M= (x, y) | y = f (x)， N =( , ) | = l( -x y yR ，若)2,lÎ x2M Ç N = Æ，求实数l 的取值范围. 19由于浓酸泄漏对河流形成了污染，现决定向河中投入固体碱，1 个单位的固体碱在y水中逐步溶化，水中的碱浓度 与时间 x 的关系，可近似地表示为16ì- x +8 ,0 £ x £ 2ïy = í x+ 2，只有当河流中碱的浓度不低于 1 时，才能对污染产生ï4 - x,2 < x £ 4î有效的抑制作用.（1）如果只投放 1 个单位的固体碱，则能够维持有效抑制作用的时间有多长？（2）当河中的碱浓度开始下降时，即刻第二次投放1 个单位的固体碱，此后，每一时刻河中的碱浓度认为是各次投放的碱在该时刻相应的碱浓度的和，求河中碱浓度可能取得的最大值.y220已知椭圆 + = 的左、右两个顶点分别为 、 ，曲线C 是以 、 两点为1x2AABB4顶点，焦距为2 5的双曲线，设点 在第一象限且在曲线C 上，直线与椭圆相交APP于另一点 .T（1）求曲线C 的方程；× x（2）设 、 两点的横坐标分别为 x 、 x ，求证 x为一定值；PT1212（3）设TAB 与（其中 为坐标原点）的面积分别为S 与 ，且PA PB£15，×POBOS12- S的取值范围.22求 S211£ a < a < ××× < a2）具有性质 ：对任意21已知数集 = , ,××× , （A a a³a， nP12n12naa1£ i < j £ nja a与的i 、 （），j 两数中至少有一个属于 A.iji1,3, 4 1,2,3,6是否具有性质 ，并说明理由；P（1）分别判断数集与a + a + ××× + a（2）证明：a= 1，且12= a；na-11+ a + ××× + a-12-11nn= 5（3）证明：当n时， a 、a 、 a 、a 、 a 成等比数列.31245 参考答案1(0,1)【解析】【分析】解对数不等式可化简集合 ，解绝对值不等式化简集合 ，由集合的交集运算即可求解.AB【详解】log x > 0因为，12所以0 < x <1，即 A= (0,1)，因为| x -1|< 2，-2 < x -1< 21 x 3，所以，即，B = (-1,3)，A B = (0,1)所以故答案为：(0,1)【点睛】本题主要考查了对数函数的性质，绝对值不等式，集合的交集，属于容易题.123【分析】| n -100 |n -100 1 10022= |=| -|,可知当n® ¥时，式子的极限.化简3n23n23 3n2【详解】| n -100 |n -1001 100|= lim | -3 3n22lim= lim |，因为所以3n23n22n®¥n®¥n®¥| n -100 | 12lim=，3n23n®¥13故答案为：【点睛】 本题主要考查了分式的变形化简，极限的性质，属于容易题.3二【解析】【分析】化简复数为 + 的形式，即可得到结果a bi【详解】( )( )( )1-i 1-i 1+ ii 1+ ii1 1= - + i2 2=复数1 1(- , )复数对应的点在第二象限2 2故答案为：二【点睛】本题主要考查了复数的代数形式混合运算，复数的几何意义，是容易题4 22= 144【解析】以 =为渐近线的双曲线为等轴双曲线，方程可设为 2 2 = 4 = 1. 0)，代入点(2,0)得= 4 2222445p17【解析】试题分析：根据题意，由于球的半径为1，那么可知其体积公式为4p4p´12 =，而圆锥的33p4p体积公式等于 V=SH= h=，可知其高为 4，那么利用母线长和底面的半径以及高勾股33定理可知圆锥的母线长，故答案为。考点：圆锥和球的体积点评：主要是考查空间几何体简单的体积运算，属于基础题。-106【解析】试题分析：由二项式定理可知，二项式展开的第 +1项为r 5 5- r =5-r r5 5r0r ，= 3A = C (-1) = -10T = C (-1) x- = (-1)Cx- ，令，则353r5r23r5r262 6r+1考点：二项式定理7-2【分析】( )1,0æ m ö- ,0抛物线的焦点坐标为【详解】，圆的圆心坐标为ç÷ ，利用两者相同可得m 的值.2èø( )1,0æ m ö- ,0m- =21= -2，填-2 .即 m抛物线的焦点坐标为【点睛】，圆的圆心坐标为ç÷ ，故2èøæ D E ö- ,-÷，注意 D + E - 4F > 0 .圆的一般方程为 +x2 y2 Dx Ey F+ = 0 ，其圆心为ç2222øè求圆锥曲线的基本量时，需要把圆锥曲线的方程写成标准形式，便于基本量的计算.18n【分析】ì 1 ü1 1 1 1 1+ + + + =a a a a a通过 í ý为等差数列，及15，利用等差中项的性质计算即得结论.aî þn12345【详解】ì 1 ü依题意 í ý为等差数列，aî þn1 1 1 1 1+ + + + =a a a a a由15，1234551=15= 3，得：，即a3a31 1-a a公差=1，d =312 11= n=故，即 an nan【点睛】本题主要考查了等差数列定义、通项公式，等差中项，属于中档题91009(a + b)【分析】根据向量的加法可知，=+= +OP OA AP a AP,OP = OA + 2AP = a + 2AP，111211,OP = OA+ 2018AP = a + 2018AP，求和化简后再根据向量的减法AB b a= - 即可201811求解.【详解】由向量的加法法则可知：OP OA AP a AP+= +，111P P因为 、 、 P 是+1边上的n 等分点，AB12n所以OP OA AP OA+=+2AP = a + 2AP，2211= OA+ AP = OA+ 3AP = a + 3AP同理可得：OP3311,OP = OA+ AP = OA+ 2018AP = a + 2018AP ，2018201811(1+ 2018)´20182+ OP + ××× + OP = 2008a +AP = 2018a +1009AB ,所以OP1220181而= - ，AB b a+ OP +×××+ OP = 2018a +1009(b - a) =1009(a + b)代入得：OP122018故答案为：1009( + )a b【点睛】本题主要考查了向量的加法，向量的减法，共线向量的等分，属于中档题.1 4( , 102 7【分析】a由正数 ， ， 满足b ca +baa利用基本不等式的性质可得 由4a + +2abc可bbb c ab2 -1ab1c =化为c(2ab -1)= ab，即1利用不等式的性质即可得出2 -ab【详解】正数a ， ， 满足a + a ³ 2 ab ，b cbb a 4b a + + 2b c，化为c(2ab -1)= ab，abcab1c =12ab -1即，2 -abab ³ 4 ，1 10 <£，ab 471 £ 2 - < 2ab，414 < c £271 4( , 故答案为：2 7【点睛】本题主要考查了不等式的性质、基本不等式的性质，考查了学生推理运算的能力，属于中档题3114【详解】 ( + 1) =( ) ( ) + ，1221f(x+1) = ( ) ( ) ，221两边平方得 ( +1) = ( ) ( )2f x22(x+1)+1 ( +1)2ff x= ( ) ( ) ，2411即+ = ，即数列 任意相邻两项相加为常数 ，an+1aann44131163则 =7×( )+a = =a S151515416(15)= (15)=33(15)=1即 (15) f或f2ff1644 + 11( ) ( )2又由 ( + 1) =223可得 (15)= .f43故答案为 .4121750【分析】先分析甲乙分别到 B,D 的走法，各有C4 种不同的走法，由分步乘法计数原理知共有路径8C4 ×C4 ，88分析相同的路径，甲从 A 走到 D 与乙从 C 走到 B 的路径都相交，共有C×C对相交路径，41026×C - C ×C .故孤立路共有C484841026【详解】甲从 到 ，需要向右走 4 步，向上走 4 步，共需 8 步，所以从 到 共有C4 种走法，ABAB8乙从 到 ，需要向右走 4 步，向上走 4 步，共需 8 步，所以从 到 共有C4 种走法，CDAB8×C根据分步乘法计数原理可知，共有不同路径C对，4848甲从 到 ，需要向右走 6 步，向上走 4 步，共需 10 步，所以从 到 共有C 4 种走法,ADAD10乙从 到 ，需要向右走 2 步，向上走 4 步，共需 6 步，所以从 到 共有C 2 种走法,CBCB6×C所以相交路径共有C对，41026×C - C ×C = 70´70 - 210´15 =1750 .因此不同的孤立路一共有C对484841026故答案为：1750【点睛】本题主要考查了组合的实际应用，组合数的计算，分步乘法计数原理，属于难题.13C【解析】【分析】利用向量共线定理即可判断出结论【详解】 非零向量a， ，由a ，可得存在非 0 实数 使得a = kb ，bbk11æöa + b = a + a = 1+ aç÷ ，kè k ø a（ + ），a b反之：由a（ + ），可得存在实数 k 使得aa b+b = a，化为b=k（ 1） a，k a b“a ”是“a（ + ）”的充要条件，ba b故选： C【点睛】本题主要考查了向量共线定理、充分条件、必要条件，考查了推理能力与计算能力，属于中档题14D【分析】利用正弦函数、余弦函数的图象和性质，逐一检验，可得结论【详解】2px p=+12A,对于 cos（），它的周期为4，故不满足条件y2 65pé5p5p5p 17p，ù，p+B,对于 sin（2），在区间上，2x，故该函数在区yxêú66626ëûé5pêù，p间上不是单调递增函数，故不满足条件ú6ëû12pp-=时，函数yC,对于 cos（2x）， 当，不是最值，故不满足它的图象关于yx33p=直线对称，故不满足条件x3p2pp-= ，当xD,对于 sin（2x），它的周期为时，函数 y1，是函数的最大值，y623pé5pp3p11pù，p满足它的图象关于直线 x=对称；且在区间上，2x-，故该êú36626ëû é5pêù，p函数在区间上是单调递增函数，满足条件ú6ëû故选： D【点睛】本题主要考查了正弦函数、余弦函数的图象和性质，属于中档题15C【解析】试题分析：当方程有实根时，0，又 a 0，解得 a 2由于 a ，a ，a 成等比数33123列，可得对于方程x +a x+1=0， =；对于方程x +a x+1=0， =2211224对 分类讨论即可得出2解：当方程有实根时，0，又 a 0，解得 a 233a ，a ，a 成等比数列，123对于方程x +a x+1=0， =；对于方程x +a x+1=0， =4221122假设 0，则 0a 2，则 a = 2，可得 0，因此方程无实数根；2211假设 0，则a 2，则 a = 与 2 的大小不确定，因此 与 0 大小关系不确定，即方程2211可能有实数根也可能无实数根故选 C考点：等比数列的通项公式；二次函数的性质16C【分析】111根据x = x -x定义，方程可转化为，分析方程左边，x+ =1x+ +1= x +xxx11+ = , Î可知 x为整数，原方程有根转化为xn n Z ，讨论此方程根的情况，注意检验原xx方程即可得出结论.【详解】x = x -x 11 1x -x+ - =1x xx+ =1 方程可化为，x11x+ +1= x +即（1）xx11+ =由此可知 x是整数，令 xn ，（2）2 - 4 为有理数时，方程才有有理根，此时x = ±1xx则 2 - +1 = 0.x nx2方程（2）当且仅当n时，n而 x取 n= ±1显然不是（1）的根，由此可知，方程（1）若有实根必为无理根，= 3代入（2）得： x2 - 3x +1 = 0，3± 53 + 51 3- 5 x =x =，取，则，22x23 + 5经检验，知 x =是方程（1）的根，21x+ =1所以有根，且为无理根，x故选：C【点睛】本题主要考查了取整函数的理解，方程的转化，判别式确定二次方程根的解，属于难题.p17（1）5（2）3【解析】【分析】（1）由已知利用三角形面积公式可求 ac=6，结合余弦定理可求 a+c 的值（2）利用平面向量数量积的运算，正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可求cosC=，结合范围 C（0，），可求 C 的值【详解】p3 32= ，b = 7，ABC解：（1） B的面积 S=，3123 323ac Bsin =ac，可得：ac ，=6=4由余弦定理 b =a +c -2accosB，可得： a c ac （a c） ac （a c） -18，7= + - = -3 =+2222222 解得：a+c=5（2）2cosC（×+×）=c ，BA BC AB AC2C（ac B bc A） c2cos cos + cos = ，可得：2cosC（acosB+bcosA）=c，2由正弦定理可得：2cosC（ A B B A）=sinC，即sin cos +sin cos2cos sinC=sinCC，C ，sin 01Ccos = ，2C （ ， ）， 0 pC = 3【点睛】本题主要考查了三角形面积公式，余弦定理，平面向量数量积的运算，正弦定理，三角函数恒等变换的应用在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题640 £ <l18（1）证明见解析；（2）.(b - a)3【分析】（1）利用导函数与函数的单调性即的关系可证得函数的单调性；（2）将原问题转化为恒成立的问题，结合恒成立的条件即可求得实数 的范围【详解】11-2( )=-=（1）证明：当 x2，3）时： f x，x-1 x -3 x2 - 4x + 3(x2)¢( ) = 2´ f xx x- 4 + 3 -2 ´(2 - 4) 0 函数 （ ）在2，3）上是增函数f xæa + b ö2（2）因为 N ，所以函数 （ ）与 y l x -f=的图象无公共点，My f xç÷2èø11a + b öæ2l= x -即方程无实数解，ç÷x - a x -b2 øèæa + bö÷ø2( )( )l-b = x - a x -b x -也即方程a（ 且 ）（）无实数解x a x bç2è当 0 时（）无解，显然符合题意 æa + bö÷ø2( )( )= x - a x -b x -当 0 时，令 y，ç2è( )éùa+b ö22æ a +b öæa+b2y= ê x -ú -x变形得ç÷ç÷ 242êèøúèøëû( )( ) ( )éù éù2a -b2a -b2a -b4æ+ b ö2a= x -= ê -ú = ê -ú -又令 t得 y t ttç÷24864èøêú êúëû ëû( )( )( )2 a -ba -b2a b+a b-2于是当 =，即 =±时，有= -txy82464min( )64a -b4a -b 0 l所以，要使（）无实数解，只要-，解得( ) b - a364l64综上可得0 £ l( ) b - a 3【点睛】本题主要考查了函数的导数，函数的单调性，恒成立问题及其应用等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中等题1+ 1719（1）；（2）14 -8 2 .2【详解】-16 2 - x +18 ³1Þ5- 175+ 175- 17£ x £+22Þ£ x £ 2,（1） x20 £ x £ 20 £ x £ 24 - x ³1Þ 2 < x £ 3,2 £ x £ 45 - 17£ x £ 3 .综上，得2即若 1 个单位的固体碱只投放一次，则能够维持有效抑制作用的时间为5 - 17 1+ 173-=.2216（2）当0 £ x £ 2时， y= -x 单调递增,- +8x + 22 < x £ 4当时，y=4-x 单调递减, 所以当河中的碱浓度开始下降时，即刻第二次投放1 个单位的固体碱，1616- ( - 2) +8 =14 - (2 + )2 < x £ 4x= 4 - +-即时， yxx,x + 2x162x = , x = 2 2故当且仅当时，y 有最大值14 -8 2 .x本试题主要考查了函数在实际生活中的运用.y2× x =1- =120（1） x2；（2）证明见解析，x1；（3）S - SÎ0,1.212242【分析】（1）由椭圆方程可得a ，由焦距得到c ，根 据 =b c a-22 求得 ，进而得到双曲线方程；b( )AP: y = k x +1（2）设x x，与双曲线方程联立，结合韦达定理可求得 ；同理可求得 ，12相乘可求得定值；æ 1ö÷ø( )P x , y, y16；利用点 在双曲线P+ y £（3）设，T ç，利用向量数量积可求得 2x2111x21è145 - x -x-上且位于第一象限可求得 的范围；将 S S 表示为21，根据对号函数的性质可2122x211求得最值，进而得到取值范围.【详解】( ) ( )A -1,0 B 1,0，即双曲线C 中， =1a（1）由椭圆方程可得：，又双曲线焦距为2 5c = 5c a- = 222 =by2 曲线C 的方程为： 2 - =1x4( )AP: y = k x +1斜率存在，则可设（2）由题意可知，直线AP( )ì =+1y k x( )( )2ï4 - k x - 2k x - 4 + k = 0联立 í得：222y2x - =1ï2î44 + k4 + k4 - k222 x × x = -x = x =，k - 4A1121( )( )24 - k4 + k224+k x + 2k x - 4 - k = 0=可得： x椭圆与直线联立得：2222 4 + k 4 - k222 x x =×=1，即 x× x为定值14 - k 4 + k121 22æ 1ö( )P x , y, y（3）由（2）可设T ç，÷11x2èø1()，()= -1- x ,-yPB = 1- x ,-yPA PB x × = -1+ £15则 PAy21211111 x + y £162121y2y2144x - 4 £16x £ 4- =1 x -=1 +又点 在双曲线 xP上x2121，解得：2122141< x £ 2又 位于第一象限P1111S = AB × y = y ， S = OB × y = y222122211( )1æ 1 ö214S - S = y - y = 4 - 4- 4x - 4 = 5- x -21222221ç ÷2214xè ø14x1214令t = xÎ(1,4 - = 5- -21S S2122tt4 (1,2t + 在上单调递减，在 2,4 上单调递增t( )( ) S - S= 5- 2 - 2 =1 S - S= 5- 4 -1= 022，212212maxmin0,12 的取值范围为2S - S21【点睛】本题考查圆锥曲线综合应用问题，涉及到双曲线方程的求解、定值问题的求解、与三角形面积有关的取值范围的求解；求解取值范围的关键是能够将所求量表示为关于某一变量的函数，通过函数最值的求解方法求得结果.21（1）数集具有性质 P，理由见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.【分析】a（1）由定义直接判断（2）由已知得与n 中至少有一个属于 ，从而得到 1；再a aAa1n nanaa由 1 ，得到a a（ 2，3， ，n）由 具有性质 可知a a A k （ 1，A kaAPnk12nk n a + a + + a= a a = a2 ，2，3， ，n），由此能证明 a 1，且12a（3）当 n5 时 ，an+ a + + a1a-1-1-1n524312naaaaaaaa=从而 ， 4 ，由此能证明a a A544332a2 ，故成等比数列1A3 4a3【详解】4（1）由于 3×4 与 均不属于数集1，3，4，3所以数集1，3，4不具有性质 P6 6 1 2 3 6由于 1×2，1×3，1×6，2×3， ， ， ， ， ， 都属于数集1，2，3，6，2 3 1 2 3 6所以数集1，2，3，6具有性质 P（2）证明：因为 ， ， 具有性质 ，Aa a1anP2a所以与n 中至少有一个属于 Aa an nan由于 1 ，所以 ，故，a a1aa a an na a An n2nna=从而 1n ，故 1；A aa1n因为 1 ，所以a a ，故a a ak n n（ 2，3， ）aa a A kk nn12na由 具有性质 可知 n （ 1，2，3， ），APA knakaaaaaan