【精品】武汉市洪山区八年级上册期末数学试卷(有答案).docx

湖北省武汉市洪山区八年级（上）期末数学试卷一、选择题（共 小题，每小题 分，共 分）10 3 301若代数式在实数范围内有意义，则实数 的取值范围为（a） A a 4 B a 4 C a 4 D a 42解分式方程 时，去分母后变形正确的是（3）+ （ ） （ ）A 2+ +2 3 1 （ ）B 2 +2 3 1 （ ）C 2 +2 （ ） （ ）D 2 +2 3 13如图，已知 ， ，增加下列条件：其中不能使ABCAED 的条件（2 AC AD）31 A AB AE B BC ED C D B ECD4下列计算正确的是（）（ 2）3 5aAa5y 3 2yB（152y10y2）÷ C10ab3÷（5ab）2ab22 3（ 2 1） 2a b D a b5下列各多项式从左到右变形是因式分解，并分解正确的是（ ）3 （ ）2（ ）2（ ）Aa b b b a b a a 2b）（ ）（ ）2+2 +3 +5+6B 2 2（ ）（4a+9b）C 4a 9b 4a 9b 2 2 （D m n +2）（ ）m n +2m+n6根据图的面积可以说明多项式的乘法运算（2a+b）（a+b） 2，那么根据图的面积可2a +3ab+b2以说明多项式的乘法运算是（）A（a+3b）（a+b）a2+4ab+3b2B（a+3b）（a+b）a2+3b2C（b+3a）（b+a）b2+4ab+3a2 D（a+3b）（ab）a2+2ab3b27下列因式分解，错误的是（A2+7+10（+2）（+5）B228（4）（+2）Cy27y+12（y3）（y4）8计算（ 1）÷（Dy2+7y18（y9）（y+2）的结果为（）AB（+1）CD9某部门组织调运一批物资，一运送物资车开往距离出发地 180 千米的目的地，出发第一小时内按原计划的速度匀速行驶，一小时后以原速度的 1.5 倍匀速行驶，并比原计划提前 40 分钟到达目的地设原计划速度为千米/小时，则方程可列为（）ABCD+1+1+10如图，边长为 24 的等边三角形 ABC 中，M 是高 CH 所在直线上的一个动点，连结 MB，将线段 BM绕点 逆时针旋转 60°得到 BN，连结 则在点 运动过程中，线段 长度的最小值是（）BHNMHNA12B6C3D1二、填空题（本大题共 个小题，每小题 分，共 分）6 3 1811计算的结果为12若式子的值为零，则的值为13若多项式 922（m+1）y+4y2 是一个完全平方式，则 m14如图，ABC 和CDE 都是等边三角形，且EBD70°，则AEB 15如图，ABC 中，AB10，AC4，点 O 在边 BC 上，OD 垂直平分 BC，AD 平分BAC，过点 D 作于点 ，则 BMDM ABM16如图，等腰ABC 中，ABAC4，BC6，ABD 是等边三角形，点 P 是BAC 的角平分线上一动点，连 、 ，则 + 的最小值为PC PD PD PC三、解答题（共 题，共 分）8 7217（12 分）解方程或化简分式：（1）（2）1×（ ）（3）（2）÷18（10 分）利用乘法公式计算：（1）（3 2）（3 2）+（3 1）2aaa（2）（2+ +1）（2+ 1）（2 1）2yyy19（8 分）在平面直角坐标系中，A（3，0），B 为 y 轴负半轴上一个动点 （1）如图，若 （0，5），以 点为顶点， 为腰在第三象限作等腰 RtABC，直接写出 点的坐ABBAC标；（2）如图 ，当 点沿 轴负半轴向下运动时，以 为顶点， 为腰作等腰 RtBA（点 在第四象限），ABDByBD过 作D轴于 点，求DEOB DE的值E20（8 分）将下列多项式因式分解：（1）4 ab2 4 2a b b3（2） 21（8 分）对于多项式352+10，我们把2 代入此多项式，发现2 能使多项式 352+10 的值为 0，3 52+102 5 6由此可以断定多项式 中有因式（ ），（注：把 代入多项式，能使多项式的值为 ，20a3 52+1022+ +则多项式一定含有因式（ ），于是我们可以把多项式写成： a（ ）（ ），分m n3 52+10因式分解3 52+1022+ +别求出 、 后再代入 m n（ ）（ m n），就可以把多项式 （1）求式子中 、 的值；m n（2）以上这种因式分解的方法叫“试根法”，用“试根法”分解多项式3+52+8+422（10 分）列分式方程解应用题：雄楚大街公交快速通道开通后，为相应市政府“绿色出行”的号召，家住关山光谷新城的小童上班由自驾车改为乘坐快速公交车已知小童家乘坐快速公家车到上班地点18 千米，比他自驾车的路线距离少 2 千米，他乘快速公交车平均每小时行驶的路程是他自驾车平均每小时行驶的路程的1.2 倍他从家出发到达上班地点，乘快速公交车方式比自驾车方式还提前 10 分钟，求小童用自驾车方式上班平均每小时行驶多少千米？23（10 分）已知ABC 与ADE 是等边三角形，点 B、A、D 在一条直线上，CPN60°，PN 交直线于点 NAE（1）若点 在线段上运动，如图 1（不与 、 重合），求证： ；A DPABADA B PC PN（2）若点 在线段上运动（不与 、 重合），在图 2 中画出图形，猜想线段、PC PN的数量关系P并证明你的结论24（10 分）如图，ABC 中 （1）若ABC45°， 为边上一点，且 2 ，APC60°，求ACB 的大小BC PC PBP（2）如图，分别以、AB AC为边作ABD 和ACE，且 ， ，DABCAEAD AB AC AE连接与 ， 、 分别是DC BE G F与DC BE的中点，求AFG 的度数如图， 、 交于点 ，连接 AM，直接写出AMC 与 的数量关系是DC BEM 湖北省武汉市洪山区八年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共 小题，每小题 分，共 分）10 3 301若代数式在实数范围内有意义，则实数 的取值范围为（a） A a 4 B a 4 C a 4 D a 4【分析】分式有意义时，分母 a 4 0【解答】解：依题意得： ，a 4 0解得 a 4故选： D【点评】本题考查了分式有意义的条件分式有意义的条件是分母不等于零2解分式方程 时，去分母后变形正确的是（+ 3） （ ） （ ）A 2+ +2 3 1 （ ）B 2 +2 3 1 （ ）C 2 +2 （ ） （ ）D 2 +2 3 13【分析】分式方程去分母转化为整式方程，即可作出判断【解答】解：方程变形得： ，3去分母得： （ ） （ ），2 +2 3 1故选： D【点评】此题考查了解分式方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键如图，已知 ， ，增加下列条件：其中不能使ABCAED 的条件（1 2 AC AD）3 A AB AE B BC ED C C DD B E【分析】根据等式的性质可得CABDAE，然后再结合判定两个三角形全等的一般方法、SSS SAS、 、ASA AAS HL分别进行分析【解答】解： ，1 2 ，1+ EAB2+ EABCABDAE，A、添加B、添加AB AE可利用定理判定ABCAED，故此选项符合题意；SASCB DE不能判定ABCAED，故此选项符合题意；、添加 可利用定理判定ABCAED，故此选项符合题意；定理判定ABCAED，故此选项符合题意；CDCDASAAAS、添加 可利用B E 故选： B【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有： 、 、 、 、SSS SAS ASA AASHL注意： 、AAA SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角4下列计算正确的是（）（ 2）3 5aAa5y 3 2yB（152y10y2）÷ C10ab3÷（5ab）2ab22 3（ 2 1） 2a b D a b【分析】根据合并同类项、幂的乘方和积的乘方进行计算即可【解答】解： 、（ 2）3 6，故 错误；AaaAB、（ 2 2）÷ ，故 正确；15 y 10y 5y 3 2yB、C 10ab3÷（5ab）2b2，故 错误；C、D a b2 3（ 2 1） 2a b，故 错误；D故选： B【点评】本题考查了整式的混合运算，掌握合并同类项、幂的乘方和积的乘方的运算法则是解题的关键5下列各多项式从左到右变形是因式分解，并分解正确的是（a b b b a b a a 2b）（ ）3 （ ）2（ ）2（ ）A（ ）（ ）2+2 +3 +5+6B 2 2（ ）（4a+9b）C 4a 9b 4a 9b 2 2 （D m n +2）（ ）m n +2m+n【分析】直接利用因式分解的定义进而分析得出答案a b b b a b a b b a【解答】解： 、（ ）3 （ ）2（ ）3 （ ）2b a a 2bA（ ）2（ ），是因式分解，故此选项正确；、（ ）（ ）2+5+6，是整式的乘法运算，故此选项错误；+2 +3B、 2 2（ ）（2a+3b），故此选项错误；C 4a 9b 2a 3b、 2 2 （ ）（ ） ，不符合因式分解的定义，故此选项错误D m n +2 m+n m n +2故选： A【点评】此题主要考查了因式分解的意义，正确把握因式分解的定义是解题关键6根据图的面积可以说明多项式的乘法运算（2a+b）（a+b） 2，那么根据图的面积可2a +3ab+b2以说明多项式的乘法运算是（） A（a+3b）（a+b）a2+4ab+3b2B（a+3b）（a+b）a2+3b2C（b+3a）（b+a）b2+4ab+3a2D（a+3ba b）（ ） 2a +2ab 3b2【分析】根据图形确定出多项式乘法算式即可【解答】解：根据图 的面积得：（a+3b）（a+b） 2故选： 2，a +4ab+3bA【点评】此题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键7下列因式分解，错误的是（A +7+10 +2 +5）2（ ）（ ）2 （ ）（ ）B 2 8 4 +2 2（ ）（ ）【分析】直接利用十字相乘法分解因式进而判断得出答案A +7+10+2 2 （ ）（y+2）D y +7y 18 y 9C y 7y+12y 3 y 4【解答】解： 、2（ ）（ ），正确，不合题意；+5、2 （ ）（ ），正确，不合题意；2 8 4 +2B、 2C y 7y+12（ ）（ ），正确，不合题意；y 3 y 4、 2 （ ）（ ），故原式错误，符合题意D y +7y 18 y+9 y 2故选： D【点评】此题主要考查了十字相乘法分解因式，正确分解常数项是解题关键8计算（A ）÷（1）的结果为（C）（ ）+1DB【分析】根据分式的运算法则即可求出答案【解答】解：原式÷，故选： C【点评】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型9某部门组织调运一批物资，一运送物资车开往距离出发地 千米的目的地，出发第一小时内按原计180划的速度匀速行驶，一小时后以原速度的倍匀速行驶，并比原计划提前 分钟到达目的地设原401.5 计划速度为千米/小时，则方程可列为（）ABCD+1+1+【分析】设原计划速度为千米/小时，根据“一运送物资车开往距离出发地 180 千米的目的地”，则原计划的时间为： ，根据“出发第一小时内按原计划的速度匀速行驶，一小时后以原速度的1.5 倍匀速行驶”，则实际的时间为：+1，根据“实际比原计划提前 40 分钟到达目的地”，列出关于的分式方程，即可得到答案【解答】解：设原计划速度为千米/小时，根据题意得：原计划的时间为：实际的时间为：，+1，实际比原计划提前 40 分钟到达目的地，+1故选： ，C【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，正确找出等量关系，列出分式方程是解题的关键10如图，边长为 24 的等边三角形 ABC 中，M 是高 CH 所在直线上的一个动点，连结 MB，将线段 BM绕点 逆时针旋转 60°得到 BN，连结则在点 运动过程中，线段 长度的最小值是（HN M HN）BA12B6C3D1【分析】取的中点 ，连接 MG，根据等边三角形的性质可得 ，再求出HBNMBG，根G BD BGCB据旋转的性质可得 ，然后利用“边角边”证明MBGNBH，再根据全等三角形对应边相等可MB NB得 ，然后根据垂线段最短可得HN MGMG CH时最短，再根据BCH30°求解即可【解答】解：如图，取的中点 ，连接 MG，GBC旋转角为 60°， °，MBH+ HBN 60又 °，MBH+ MBC ABC 60HBNGBM，CH 是等边ABC 的对称轴， AB，HB ，HB BG又MB 旋转到 BN， ，BM BN在MBG 和NBH 中，MBG （ ），NBH SAS ，MG NH根据垂线段最短，当MG CH时，MG 最短，即最短，HN此时BCH × ° °， 60 30 CG × ，AB 24 12MG × ，CG 12 6 ，HN 6故选： B【点评】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短的性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点二、填空题（本大题共 个小题，每小题 分，共 分）6 3 1811计算的结果为【分析】根据同分母分式加减运算法则化简即可【解答】解：原式，故答案为： 【点评】本题考查了分式的加减运算，熟记运算法则是解题的关键12若式子 的值为零，则的值为 1【分析】直接利用分式的值为零则分子为零分母不等于零，进而得出答案【解答】解：式子的值为零，2 ，（ ）（ ） ，1 0 1 +2 0解得： 1故答案为： 1【点评】此题主要考查了分式的值为零的条件，正确把握相关性质是解题关键若多项式 2 （）9 2 m+1 y+4y2 是一个完全平方式，则 或m7513【分析】利用完全平方公式得到 2 （）9 2 m+1 y+4y2（ ± ）2，则 （） ± ，即 m+1±12y3 2y 2 m+1 y，然后解 的方程即可m6【解答】解：多项式 2 （ ） 2 是一个完全平方式，9 2 m+1 y+4y 2 （）9 2 m+1 y+4y 3 2y2（ ± ）2，而（ ± ）2 2±3 2y2，9 12y+4y （） ±12y，即± ，m+12 m+1 y6 或 m7 5故答案为 或 7 5【点评】本题考查了平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差即（ ）a+b（ ） 2 2也考查了完全平方公式a b a b14如图，ABC 和CDE 都是等边三角形，且EBD70°，则AEB 130° 【分析】根据等边三角形性质得出 ， ， °，ACBAC BC CE CD BAC 60 °，求出ECD 60ACEBCD，证ACEBCD，根据全等三角形的性质得出 CAECBD，求出ABE+ BAE50°，根据三角形内角和定理求出即可【解答】解：ABC 和CDE 都是等边三角形， ， ，ACBECBECDECBACEBCD °，ACB °，ECD 60AC BC CE CD BAC 60，在ACE 和BCD 中， ACE （ ），BCD SASCAECBD， °，EBD 70 ° °BAE，70 EBC 60 °（ °） °BAE，7060ABE 60 °，ABE+ BAE 50 °（ AEB 180 ABE+ BAE）130°故答案为：130°【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形内角和定理，等边三角形的性质的应用，能求出CAECBD 是解此题的关键，难度适中15如图，ABC 中， ， ，点 在边AB 10 AC 4 O上，OD 垂直平分， 平分BAC，过点 作BC AD DBCDM AB于点 ，则 BMM3【分析】连接， ，过点 作BD CD D ，由垂直平分线的性质可得DG AC ，由ADMADG，BD CD Rt BDM Rt CDG可得 ， ， ，即可求AM AG DM DG BM CG的长BM【解答】证明：如图，连接， ，过点 作BD CD D ，交DG AC的延长线于 ，AC GOD 垂直平分 BC， ，BD CDAD 平分BAC，DAMDAG，且 ，AMDAGD，AD ADADM （ ）ADG AAS ， AM AG MD DG，且 ，BD CD Rt BDM Rt CDG HL（ ） ，BM CG AB AM+BM AG+BM AC+CG+BM AC+2BM 10 4+2BM ，BM 3故答案为：3【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，熟练运用全等三角形的判定是本题的关键16如图，等腰ABC 中， ， ，ABD 是等边三角形，点 是 的角平分线上一AB AC 4 BC 6 P BAC动点，连 、 ，则PC PD的最小值为4PD+PC【分析】连接 BP，根据垂直平分 BC，即可得到 ，再根据当 ， ， 在在同一直线上时，CP BP B P D BP+PDAP的最小值为线段长，即可得出的最小值为 4BDPD+PC【解答】解：如图，连接 ，BP点 是P BAC的角平分线上一动点， ，AB ACAP 垂直平分 BC， ，CP BPPD+PC PD+PB，当 ， ， 在在同一直线上时，B P D BP+PD的最小值为线段长，BD又ABD 是等边三角形， ，AB BD 4PD+PC 的最小值为 ，4故答案为： 4【点评】本题主要考查了最短路线问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换解决，多数情况要作点关于某直线的对称点三、解答题（共 题，共 分）8 72（ 分）解方程或化简分式：1217（ ）1 1 （ ）2×（ ）（ ）（ 3 2）÷【分析】（ ）先把整式方程化为分式方程求出的值，再代入最简公分母进行检验即可；1（ ）根据分式混合运算的法则把原式进行化简，即可；2（ ）根据分式混合运算的法则把原式进行化简，即可3【解答】解：（ ）方程两边同乘 2 ，1 1得：22 ，+2+1 +1 3解得： ，检验：将 代入 2 ，1 0 是原方程的根；（ ）2×（ ）×+；+（ ）（ 3 2）÷÷ 4【点评】本题考查的是解分式方程，分式的混合运算，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键18 10（ 分）利用乘法公式计算：3a 2 3a 2 + 3a 1（ ）（ ）（ ） （ ）22+y 1 2 y 11（ ）（2+y+1）（ ）（ ）2【分析】（ ）先利用平方差公式和完全平方公式展开，然后合并同类项即可；21（ ）先利用平方差公式和完全平方公式展开，然后合并同类项即可2【解答】解：（ ）原式（ ）（ ） （ ）21 3a+2 3a 2 + 3a 1（ 2 ） 29a 4 +9a 6a+1229a +4+9a 6a+16a+52+y 1 2 y 2 2 y +1；（ ）原式（ ）2 （ ）2 （ ）2 22 （ 224 4y+y 4+2y+1）4 +4y+y 1 22 2 2 4 +4y+y 1 4 +4y y +4 2y 1 8y+4 2y 2 【点评】本题考查了平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差即（ ）a+b（ ） 2 2也考查了完全平方公式a b a b（ 分）在平面直角坐标系中， （ ， ）， 为 轴负半轴上一个动点8 3 0y19AB（ ）如图，若 （ ， ），以 点为顶点， 为腰在第三象限作等腰 1B 0 5 A AB，直接写出 点的坐CRt ABC标 （ ， ） ；8 3（ ）如图 ，当 点沿 轴负半轴向下运动时，以 为顶点， 为腰作等腰 2B（点 在第四象限），DByBA Rt ABD过 作D轴于 点，求DEOB DE的值E【分析】（ ）要求点 的坐标，则求 的横坐标与纵坐标，因为 ，则作 CM轴，即求 和AC AB CM1CC的值，容易得MACOBA，根据已知即可求得 点的值；AMC（ ）求2OB DE的值则将其放在同一直线上，过 作DDQ OB于 点，即是求Q的值，由图易求得BQAOB （ ），即可求得BDQ AAS的长BQ【解答】解：（ ）过 作1C轴于 点，CM M ， ，CM OA AC AB °， °，MAC+ OAB 90 OAB+ OBA 90则MACOBA，在MAC 和OBA 中，MAC （ ），OBA AAS ， ，CM OA 3 MA OB 5则点 的坐标为（ ， ），C8 3故答案为：（ ， ）；8 3（） 如 图， 过作于点 ， 则，OQ22DDQOBQDE ，OB DE OB OQ BQ °， °，ABO+ QBD 90 ABO+ OAB 90则QBDOAB，在AOB 和BDQ 中，AOB （ ），BDQ AAS ，QB OA 3 OB DE BQ OA 3【点评】本题考查的是全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键（ 分）将下列多项式因式分解：820（ ） 2 2 31 4ab 4a b b（ ）2 25 6【分析】（ ）直接提取公因式 ，再利用完全平方公式分解因式得出答案；1b（ ）直接分解常数项，进而分解因式即可2【解答】解：（ ） 2 2 31 4ab 4a b b （ 2）4ab+4a +b2b （ ）2；b 2a b（ ）2 （ ）（ ）2 5 6 6 +1【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法、十字相乘法分解因式，正确应用公式是解题关键（ 分）对于多项式3 2 ，我们把 代入此多项式，发现 能使多项式 3 2 的值为 ，2185 +10 2 2 5 +100由此可以断定多项式 3 25 +10中有因式（ ），（注：把 代入多项式，能使多项式的值为 ，2 a0则多项式一定含有因式（ ），于是我们可以把多项式写成：3 2 （ ）（2+m+n），分a 5 +10 2别求出 、 后再代入 3 2m n（ ）（2+m+n），就可以把多项式 352+10 因式分解m n5 +102（ ）求式子中 、 的值；+5 +8+41（ ）以上这种因式分解的方法叫“试根法”，用“试根法”分解多项式322【分析】（ ）根据 3 21（ ）（22），得出有关 ， 的方程组求出即可；+m+n m n5 +102 1 +5 +8+4（ ）由把 代入 3 2，得其值为 ，则多项式可分解为（ ）（2+a+b）的形式，进而将多项式0 +1分解得出答案【解答】解：（ ）在等式 3 21（ ）（2+m+n），中，25 +10分别令 ， ，0 1即可求出： ， m 3 n5（ ）把 代入 3 2 ，得其值为 ，21+5 +8+4 0则多项式可分解为（ ）（2）的形式，（ 分）7+1 +a+b 用上述方法可求得： ， ，（ 分）a 4 b 4 8所以 32（ ）（2+4+4），+5 +8+4 +1（ ）（ ）2（ 分）+1 +2 10【点评】本题主要考查了因式分解的应用，根据已知获取正确的信息，是近几年中考中热点题型同学们应熟练掌握获取正确信息的方法（ 分）列分式方程解应用题：1022雄楚大街公交快速通道开通后，为相应市政府“绿色出行”的号召，家住关山光谷新城的小童上班由自驾车改为乘坐快速公交车已知小童家乘坐快速公家车到上班地点 千米，比他自驾车的路线距离少 千182米，他乘快速公交车平均每小时行驶的路程是他自驾车平均每小时行驶的路程的1.2 倍他从家出发到达上班地点，乘快速公交车方式比自驾车方式还提前少千米？分钟，求小童用自驾车方式上班平均每小时行驶多10【分析】设小童用自驾车方式上班平均每小时行驶千米，根据“已知小童家乘坐快速公家车到上班地点千米，比他自驾车的路线距离少 千米，他乘快速公交车平均每小时行驶的路程是他自驾车平均每小218时行驶的路程的倍他从家出发到达上班地点，乘快速公交车方式比自驾车方式还提前分钟”，101.2列出关于的分式方程，解之，经过检验后即可得到答案【解答】解：设小童用自驾车方式上班平均每小时行驶千米，根据题意得： ，解得： ，30经检验： 是原方程的解，30答：小童用自驾车方式上班平均每小时行驶 千米30【点评】本题考查了分式方程的应用，正确找出等量关系，列出分式方程是解题的关键（ 分）已知10 ABC与ADE 是等边三角形，点 、 、 在一条直线上，B A D CPN 60 °，交直23PN线于点 NAE（ ）若点 在线段1 P上运动，如图 （不与 、 重合），求证： ；1 A B PC PNABAD（ ）若点 在线段2 P上运动（不与 、 重合），在图 中画出图形，猜想线段 、A D 2 PC PN的数量关系的平行线交并证明你的结论【分析】（ ）在上截取 ，可得PCFPNA，所以 ；AF AP PC PN1AC（ ）当 在2 P上时，CPN 的一边交PN AE的延长线于 ，此时也有N 过 作PC PN P ACAD的延长线于 ，由平行线的性质可得出 °，故可得出 APF，根据全等三角形F F BCA 60 FBC 的判定定理得出PCFNPA，由全等三角形的性质即可得出结论【解答】解：（ ） ；理由如下：1 PC PN如图 所示，在1上截取 ，AC AF AP ， °，AP AF BAC 60APF 为等边三角形， ，PF PA °， °，CPF+ FPN 60 FPN+ NPA 60CPFAPN，在PCF 和PNA 中，PCF （ ），PNA ASA ；PC PN（ ） ；理由如下：2 PC PN当 在P上时，CPN 的一边交PN AE的延长线于 ，此时也有 ；N PC PNADAC过 作P的平行线交的延长线于 ，如图 所示：BC F 2 °，APF °，F BCA 60 BAC 60 APF，F ，CF AP °，CPN 60 °FPC，NPF 60 °CPF，BPC 60NPFBPC， °，F PAN 60FCP ° ，APN 60 + APC在PCF 和NPA 中，PCF （ ），NPA AAS ；PC PN 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质及等边三角形的性质；熟练掌握等边三角形的性质及全等三角形的性质，能够利用全等三角形求解线段之间的关系，正确作出辅助线是解答本题的关键（ 分）如图，10中24ABC（ ）若 °， 为1 ABC 45 P边上一点，且 ，PC 2PB APC 60 °，求的大小BCACB（ ）如图，分别以2、AB AC为边作ABD 和ACE，且 ， ，DABCAE