中考数学高频考点突破——圆的切线的证明.docx

中考数学高频考点突破圆的切线的证明1. 如图，AB 是 O 的弦，OPOA 交 AB 于点 P，过点 B 的直线交 OP 的延长线于点 C，且 CP=CB(1) 求证：BC 是 O 的切线；(2) 若 O 的半径为 5，OP=1，求 BC 的长2. 如图，在 RtABC 中，点 O 在斜边 AB 上，以 O 为圆心，OB 为半径作圆，分别与 BC，AB 相交于点 D，E，连接 AD已知 CAD=B(1) 求证：AD 是 O 的切线(2) 若 BC=8，tanB=12，求 O 的半径3. 如图，AB 是 O 的直径，AC=BC，E 是 OB 的中点，连接 CE 并延长到点 F，使 EF=CE连接 AF 交 O 于点 D，连接 BD，BF(1) 求证：直线 BF 是 O 的切线；(2) 若 OB=2，求 BD 的长4. 如图，AB 是 O 的直径，C 为 AB 的中点，延长 AC 到点 D，使 CD=AC，连接 BD(1) 求 A 的度数；(2) 求证：BD 与 O 相切5. 已知：如图，ABC 中，AB=AC，以 AB 为直径的 O 交 BC 于点 P，PDAC 于点 D(1) 求证：PD 是 O 的切线；(2) 若 CAB=120，AB=2，求 BC 的值6. 如图，AB 是圆 O 的直径，D 为 BC 的中点，延长 OD 交弧 BC 于点 E，点 F 为 OD 的延长线上一点且满足 OBC=OFC(1) 求证：CF 为 O 的切线(2) 若 DE=1，ABC=30求 O 的半径 求 AD 的长7. 如图，直角 ABC 内接于 O，点 D 是直角 ABC 斜边 AB 上的一点，过点 D 作 AB 的垂线交 AC 于 E，过点 C 作 ECP=AED，CP 交 DE 的延长线于点 P，连接 PO 交 O 于点 F(1) 求证：PC 是 O 的切线(2) 若 PC=3，PF=1，求 AB 的长8. 如图，以 AB 为直径的 O 外接于 ABC，点 D 在 BC 的延长线上，ABC 的平分线与 AD 交于点 E，与 AC 交于点 F，且 AE=AF(1) 证明：直线 AD 是 O 的切线(2) 若 AD=16，sinD=45，求 BC 的长9. 如图，在 RtABO 中，C=90，点 E 在边 AB 上，点 D 在边 BC 上，且 AE 是 O 的直径，CAB 的平分线于 O 相交于点 D(1) 证明：直线 BC 是 O 的切线；(2) 连接 ED，若 ED=4，B=30，求边 AB 的长10. 如图，已知 AB 为 O 的直径，PA 与 O 相切于 A 点，点 C 是 O 上的一点，且 PC=PA(1) 求证：PC 是 O 的切线；(2) 若 BAC=45，AB=4，求 PC 的长11. 如图，AB 是 O 的直径，AC 是弦，ACD=12AOC，ADCD 于 D(1) 求证：CD 是 O 的切线；(2) 若 AB=10，AD=2，求 cosOAC 的值12. 如图，已知 P 是 O 外一点，PO 交 O 于点 C，OC=CP=4，弦 ABOC，劣弧 AB 的度数为 120，连接 PB(1) 求 BC 的长(2) 求证：PB 是 O 的切线13. 如图，在 RtABC 中，C=90，BD 平分 ABC，过 D 作 DEBD 交 AB 于点 E，经过 B，D，E 三点作 O(1) 求证：AC 与 O 相切于 D 点(2) 若 AD=15，AE=9，求 O 的半径14. 如图，AB 是 O 的直径，射线 BC 交 O 于点 D，E 是劣弧 AD 上一点，且 AE=DE，过点 E 作 EFBC 于点 F，延长 FE 和 BA 的延长线交与点 G(1) 证明：GF 是 O 的切线；(2) 若 AG=6，GE=62，求 GOE 的面积15. 如图，AC 是 O 的弦，过点 O 作 OPOC 交 AC 于点 P，在 OP 的延长线上取点 B，使得 BA=BP(1) 求证：AB 是 O 的切线；(2) 若 O 的半径为 4，PC=25，求线段 AB 的长16. 已知：AB 是 O 的直径，BD 是 O 的弦，延长 BD 到点 C，使 AB=AC，连接 AC，过点 D 作 DEAC，垂足为 E(1) 求证：DC=BD；(2) 求证：DE 为 O 的切线17. 如图，AB 为 O 的直径，C 为 O 上一点，D 是 BC 的中点，过点 D 作 AC 的垂线，交 AC 的延长线于点 E，连接 AD(1) 求证：DE 是 O 的切线(2) 连接 CD，若 CDA=30，AC=2，求 CE 的长18. 如图，AB 为 O 的直径，D，T 是圆上的两点，且 AT 平分 BAD，过点 T 作 AD 的延长线的垂线 PQ，垂足为 C(1) 求证：PQ 是 O 的切线；(2) 已知 O 的半径为 2，若过点 O 作 OEAD，垂足为 E，OE=3，求弦 AD 的长19. 如图，AB 是 O 的直径，AC，DC 是 O 的两条弦，点 P 在 AB 的延长线上已知，ACD=60，APD=30(1) 求证：PD 是 O 的切线；(2) 若 AB=4，求图中阴影部分的面积20. 如图，已知 AB 是 O 的直径，C 是 O 上一点，ACB 的平分线交 O，作 PDAB，交 CA 的延长线于点 P，连接 AD，BD求证：(1) PD 是 O 的切线；(2) PADDBC答案1. 【答案】(1) 连接 OB，如图 OPOA， AOP=90， A+APO=90， CP=CB， CBP=CPB，而 CPB=APO， APO=CBP， OA=OB， A=OBA， OBC=CBP+OBA=APO+A=90， OBBC， BC 是 O 的切线(2) 设 BC=x，则 PC=x，在 RtOBC 中，OB=5，OC=CP+OP=x+1， OB2+BC2=OC2， 52+x2=x+12，解得 x=2，即 BC 的长为 22. 【答案】(1) 连接 OD， OB=OD， 3=B， B=1， 1=3，在 RtACD 中，1+2=90， 4=1802+3=90， ODAD，则 AD 为圆 O 的切线(2) 设圆 O 的半径为 r，在 RtABC 中，AC=BCtanB=4，根据勾股定理得：AB=42+82=45， OA=45r，在 RtACD 中，tan1=tanB=12， CD=ACtan1=2，根据勾股定理得：AD2=AC2+CD2=16+4=20，在 RtADO 中，OA2=OD2+AD2，即 45r2=r2+20，解得：r=3523. 【答案】(1) 连接 OC， AB 是 O 的直径，AC=BC， BOC=90， E 是 OB 的中点， OE=BE，在 OCE 和 BFE 中， OE=BE,OEC=BEF,CE=EF, OCEBFESAS， OBF=COE=90， 直线 BF 是 O 的切线(2) OB=OC=2，由（1）得：OCEBFE， BF=OC=2， AF=AB2+BF2=42+22=25， SABF=12ABBF=12AFBD， 4×2=25BD， BD=4554. 【答案】(1) 连接 OC AB 是 O 的直径，C 为 AB 的中点， BOC=90， A=12BOC， A=45(2) OA=OB，AC=CD， OCBD， BOC+ABD=180， B=180BOC=90， 点 B 在 O 上， BD 与 O 相切5. 【答案】(1) 连接 AP，OP， AB=AC， C=B，又 OP=OB，OPB=B， C=OPB， OPAD；又 PDAC 于 D， ADP=90， DPO=90， 以 AB 为直径的 O 交 BC 于点 P， PD 是 O 的切线(2) AB 是直径， APB=90； AB=AC=2，CAB=120， BAP=60， BP=3， BC=236. 【答案】(1) 连接 CO， D 为 BC 的中点，且 OB=OC， ODBC， OB=OC， OBC=OCB，又 OBC=OFC， OCB=OFC， ODBC， DCF+OFC=90， DCF+OCB=90，即 OCCF， CF 为 O 的切线(2) 设 O 的半径为 r， ODBC 且 ABC=30， OD=12OB=12r，又 DE=1，且 OE=OD+DE， r=1+12r, 解得：r=2作 DHAB 于 H，在 RtODH 中，DOH=60，OD=1， DH=32，OH=12，在 RtDAH 中， AH=AO+OH=52， 由勾股定理：AD=77. 【答案】(1) 如图，连接 OC， PDAB， ADE=90， ECP=AED，又 EAD=ACO， PCO=ECP+ACO=AED+EAD=90， PCOC， PC 是 O 切线(2) 延长 PO 交圆于 G 点， PF×PG=PC2，PC=3，PF=1， PG=9， FG=91=8， AB=FG=88. 【答案】(1) 因为 AB 为 O 的直径，所以 ACB=90，因为 AF=AE，所以 AEF=AFE，因为 BE 平分 ABC，所以 ABE=CBF，因为 CFB=AFE，所以 CFB=AEB，因为 CFB+FBC=90，所以 ABE+AEB=90，即 BAE=90，因为 AB 是 O 的直径，所以直线 AD 是 O 的切线(2) 因为 sinD=45，所以设 AB=4k，BD=5k，所以 AD=3k，因为 AD=16，所以 k=163，所以 AB=643，因为 BAD=ACB=90，所以 D+CAD=CAD+BAC=90，所以 D=BAC，所以 sinBAC=sinD=45，因为 sinBAC=45=BCAB，所以 BC=256159. 【答案】(1) 连接 OD， AD 平分 CAB， CAD=BAD， 在 O 中，OA=OD， OAD=ADO， CAD=ADO， ACOD， RtABC 中，C=90， ODBC， 直线 BC 为圆 O 的切线(2) 如图：连接 DE， RtABC 中，C=90，B=30， CAB=60， 由（1）可得：ACOD， DOB=60， DOE 为等边三角形，OD=OE=DE=4， OA=OD=4， 由（1）可得 ODB=90，且 B=30， 在 RtODB 中，OB=2OD=8， AB=OA+OB=1210. 【答案】(1) 连接 CO， PA 是 O 的切线， PAB=90， OA=OC， OAC=OCA， PC=PA， PAC=PCA， PCO=PCA+ACO=PAC+OAC=PAB=90， PCCO， OC 是半径， PC 是 O 的切线(2) 连接 BC， AB 为 O 直径， ACB=90， BAC=45， ABC=BAC=45， AC=BC， AC2+BC2=AB2，AB=4， AC=22， PAB=90， PAC=PABBAC=9045=45， PA=PC， PAC=PCA=45， PC=PA，APC=90， PA2+PC2=AC2，AC=22， PC=211. 【答案】(1) OA=OC， OCA=OAC， AOC+OCA+OAC=180， AOC+2OCA=180， 12AOC+OCA=90， ACD=12AOC， ACD+OCA=90，即 DCO=90，又 OC 是半径， CD 是 O 的切线(2) 连接 BC， B=12AOC， ACD=12AOC， B=ACD， ADCD， D=90， AB 是 O 的直径， ACB=90， ACB=D， ACDABC， ABAC=ACAD， AB=10，AD=2， AC2=ABAD=20， AC=25， cosOAC=ACAB=5512. 【答案】(1) 连接 OB， 弦 ABOC，劣弧 AB 的度数为 120， 弧 BC 与弧 AC 的度数为：60， BOC=60， OB=OC， OBC 是等边三角形， BC=OC=4(2) OC=CP，BC=OC， BC=CP， CBP=CPB， OBC 是等边三角形， OBC=OCB=60， CBP=30， OBP=CBP+OBC=90， OBBP， 点 B 在 O 上， PB 是 O 的切线13. 【答案】(1) 连接 OD，如图所示： OD=OB， 1=2，又 BD 平分 ABC， 2=3， 1=3， ODBC，而 C=90， ODAD， AC 与 O 相切于 D 点(2) ODAD， 在 RtOAD 中，OA2=OD2+AD2，又 AD=15，AE=9，设半径为 r， r+92=152+r2，解方程得，r=8，即 O 的半径为 814. 【答案】(1) 如图，连接 OE， AE=DE， 1=2， 2=3， 1=3， OEBE， BFGF， OEGF， GF 是 O 的切线(2) 设 OA=OE=r，在 RtGOE 中， AG=6，GE=62， 由 OG2=GE2+OE2 可得 6+r2=622+r2，解得 r=3，即 OE=3，则 SGOE=12OEGE=12×3×62=9215. 【答案】(1) BA=BP， BPA=BAP OA=OC， OAC=OCA OPOC， COP=90 OPC+OCP=90 APB=OPC， BAP+OAC=90，即 OAB=90， OAAB OA 为半径， AB 为 O 的切线(2) 在 RtOPC 中，OC=4，PC=25， OP=2设 AB=x，则 OB=x+2在 RtAOB 中，x2+42=x+22， x=3即 AB=316. 【答案】(1) 连接 AD AB 是 O 的直径， ADB=90又 AB=AC， DC=BD(2) 连接 OD OA=OB，CD=BD， ODAC， ODE=CED又 DEAC， CED=90 ODE=90，即 ODDE， DE 是 O 的切线17. 【答案】(1) 如图 1，连接 OD， D 是 BC 的中点， BAD=CAD， OA=OD， BAD=ODA， CAD=ODA， ODAE， DEAC， DEOD， DE 是 O 的切线(2) 如图 2，连接 OC， CDA=30， AOC=2CDA=60， AOC 是等边三角形， 由（1）可得，四边形 ACDO 是菱形， CD=AC=2，CDE=30， CE=118. 【答案】(1) 连接 OT，如图 1 所示： OA=OT， OAT=OTA， AT 平分 BAD， OAT=CAT， OTA=CAT， OTAC， PQAC， PQOT， PQ 是 O 的切线；(2) 如图 2 所示： OEAD， AE=DE，AEO=90， AE=OA2OE2=2232=1， AD=2AE=219. 【答案】(1) 连接 OD， ACD=60， AOD=120， BOD=60， APD=30， ODP=90，即 PDOD， PD 是 O 的切线(2) 在 RtPOD 中，OD=2cm，APD=30， PD=23， 图中阴影部分的面积 =12×2×2316××22=232320. 【答案】(1) 如图中，连接 OD DCA=DCB， AD=BD， ODAB， ABPD， ODPD， PD 是 O 的切线(2) PAD+CAD=180，DBC+CAD=180， PAD=DBC，由（1）可得：PDA=BCD=45， PADDBC学科网（北京）股份有限公司