因式分解 讲义-初升高数学衔接校本教材.docx

初升高衔接教学校本教材一、多项式运算一）必会的乘法公式： （1）平方差公式：（2）完全平方公式：公式拓展：【公式 1】(a + b + c)2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2bc + 2ca证明：Q (a + b + c)2 =3学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司【公式 2】(a + b)(a 2 - ab + b 2 ) = _ (立方和公式)证明:说明:请同学用文字语言表述公式 【公式 3】(a - b)(a 2 + ab + b 2 ) = _(立方差公式)1. 计算（1） （3x+2y）（9x2-6xy+4y2）=（2） （2）（2x-3）（4x2+6xy+9）=（3）（a+b）（a2-ab+b2）（a-b）（a2+ab+b2）=【公式 4】(a + b)3 = a3 + b3 + 3a2b + 3ab2【公式 5】(a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3【例 1】计算：（1） (4 + m)(16 - 4m + m 2 ) （2） (a + 2)(a - 2)(a 4 + 4a 2 + 16) （3） (x 2 + 2xy + y 2 )(x 2 - xy + y 二、因式分解因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，它与整式乘法是相反方向的变形在分式运算、解方程及各种恒等变形中起着重要的作用是一种重要的基本技能因式分解的方法较多，除了初中课本涉及到的提取公因式法和公式法(平方差公式和完全平方公式)外，还有公式法(立方和、立方差公式)、十字相乘法和分组分解法等等一）公式法【例 1】用立方和或立方差公式分解下列各多项式：(1)8 + x3(2)0.125 - 27b3【例 2】分解因式：(1)3a3b - 81b4(2)a7 - ab6练习1把下列各式分解因式：(1)a3 + 27(2)8 - m3(3)-27 x3 + 82把下列各式分解因式：(1)xy3 + x4(2)xn+3 - xn y3(3)y2 (x2 - 2x)3 + y2二)分组分解法从前面可以看出，能够直接运用公式法分解的多项式，主要是二项式和三项式而对于四项以上的多项式，如 ma + mb + na + nb 既没有公式可用，也没有公因式可以提取因此， 可以先将多项式分组处理这种利用分组来因式分解的方法叫做分组分解法分组分解法的关键在于如何分组1. 分组后能提取公因式【例 3】把 2ax -10ay + 5by - bx 分解因式【例 4】把 ab(c2 - d 2 ) - (a2 - b2 )cd 分解因式说明：由例 3、例 4 可以看出，分组时运用了加法结合律，而为了合理分组，先运用了加法交换律，分组后，为了提公因式，又运用了分配律由此可以看出运算律在因式分解中所起的作用2. 分组后能直接运用公式【例 5】把 x2 - y2 + ax + ay 分解因式解：【例 6】把 2x2 + 4xy + 2 y2 - 8z2 分解因式解： 说明：从例 5、例 6 可以看出：如果一个多项式的项分组后，各组都能直接运用公式或提取公因式进行分解，并且各组在分解后，它们之间又能运用公式或有公因式，那么这个多项式就可以分组分解法来分解因式三)、十字相乘法1 x2 + ( p + q)x + pq 型的因式分解这类式子在许多问题中经常出现，其特点是：(1) 二次项系数是 1；(2) 常数项是两个数之积；(3) 一次项系数是常数项的两个因数之和x2 + ( p + q)x + pq = x2 + px + qx + pq = x(x + p) + q(x + p) = (x + p)(x + q)因此， x2 + ( p + q)x + pq = (x + p)(x + q)运用这个公式，可以把某些二次项系数为 1 的二次三项式分解因式【例 7】把下列各式因式分解：7(1)x2 - 7x + 6(2)x2 + 13x + 36(3)x2 + 5x - 24(4)x2 - 2x - 15解：常数项为负数时，应分解为两个异号的因数，其中绝对值较大的说明：此例可以看出，因数与一次项系数的符号相同【例 8】把下列各式因式分解： ( )x2 + xy - 6y2 (2)(x2 + x)2 - 8(x2 + x) + 12解：1. 把下列各式分解因式：(1)x2 - 3x + 2 (2)x2 - 6x - 27 (3)m2 - 4mn - 5n2 2一般二次三项式 ax2 + bx + c 型的因式分解【例 9】把下列各式因式分解：(1)解：(1)12x2 - 5x - 2(2)5x2 + 6xy - 8 y2小结：4. 把下列各式分解因式：(1)ax5 - 10ax4 + 16ax3(2)an+2 + an+1b - 6anb2(3)(x2 - 2x)2 - 9(4)8x2 + 26xy -15 y2(5)7(a + b)2 - 5(a + b) - 2四)其它因式分解的方法拆、添项法【例 10】分解因式 x3 - 3x2 + 4分析：此多项式显然不能直接提取公因式或运用公式，分组也不易进行细查式中无一次项，如果它能分解成几个因式的积，那么进行乘法运算时，必是把一次项系数合并为 0 了， 可考虑通过添项或拆项解决解： 一般地，把一个多项式因式分解，可以按照下列步骤进行：(1) 如果多项式各项有公因式，那么先提取公因式；(2) 如果各项没有公因式，那么可以尝试运用公式来分解；(3) 如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组或其它方法(如十字相乘法)来分解；(4) 分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止练习1把下列各式分解因式：(1)a3 + 27(2)8 - m3(3)-27 x3 + 8 5. 把下列各式分解因式：(1)3ax - 3ay + xy - y 2(2)8x3 + 4x2 - 2x -1(3)5x2 -15x + 2xy - 6 y(4)4xy + 1 - 4x2 - y 2(5)a 4 b + a 3b 2 - a 2 b3 - ab 4(6)x6 - y6 - 2x3 + 1(7) x2 (x + 1) - y(xy + x)8