2010年全国统一高考数学试卷（文科）（大纲版ⅱ）（含解析版）.docx

2010年全国统一高考数学试卷（文科）（大纲版）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1（5分）设全集U=xN+|x6，集合A=1，3，B=3，5，则U（AB）=（）A1，4B1，5C2，4D2，52（5分）不等式0的解集为（）Ax|2x3Bx|x2Cx|x2或x3Dx|x33（5分）已知sin=，则cos（2）=（）ABCD4（5分）函数的反函数是（）Ay=e2x11（x0）By=e2x1+1（x0）Cy=e2x11（xR）Dy=e2x1+1（xR）5（5分）若变量x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为（）A1B2C3D46（5分）如果等差数列an中，a3+a4+a5=12，那么a1+a2+a7=（）A14B21C28D357（5分）若曲线y=x2+ax+b在点（1，b）处的切线方程是xy+1=0，则（）Aa=1，b=2Ba=1，b=2Ca=1，b=2Da=1，b=28（5分）已知三棱锥SABC中，底面ABC为边长等于2的等边三角形，SA垂直于底面ABC，SA=3，那么直线AB与平面SBC所成角的正弦值为（）ABCD9（5分）将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有（）A12种B18种C36种D54种10（5分）ABC中，点D在边AB上，CD平分ACB，若=，=，|=1，|=2，则=（）A+B+C+D+11（5分）与正方体ABCDA1B1C1D1的三条棱AB、CC1、A1D1所在直线的距离相等的点（）A有且只有1个B有且只有2个C有且只有3个D有无数个12（5分）已知椭圆T：+=1（ab0）的离心率为，过右焦点F且斜率为k（k0）的直线与T相交于A，B两点，若=3，则k=（）A1BCD2二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13（5分）已知是第二象限的角，tan=，则cos= 14（5分）（x+）9展开式中x3的系数是 （用数字作答）15（5分）已知抛物线C：y2=2px（p0）的准线l，过M（1，0）且斜率为的直线与l相交于A，与C的一个交点为B，若，则p= 16（5分）已知球O的半径为4，圆M与圆N为该球的两个小圆，AB为圆M与圆N的公共弦，AB=4，若OM=ON=3，则两圆圆心的距离MN= 三、解答题（共6小题，满分70分）17（10分）ABC中，D为边BC上的一点，BD=33，sinB=，cosADC=，求AD18（12分）已知an是各项均为正数的等比数列a1+a2=2（），a3+a4+a5=64+）（）求an的通项公式；（）设bn=（an+）2，求数列bn的前n项和Tn19（12分）如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，AC=BC，AA1=AB，D为BB1的中点，E为AB1上的一点，AE=3EB1（）证明：DE为异面直线AB1与CD的公垂线；（）设异面直线AB1与CD的夹角为45°，求二面角A1AC1B1的大小20（12分）如图，由M到N的电路中有4个元件，分别标为T1，T2，T3，T4，电流能通过T1，T2，T3的概率都是P，电流能通过T4的概率是0.9，电流能否通过各元件相互独立已知T1，T2，T3中至少有一个能通过电流的概率为0.999（）求P；（）求电流能在M与N之间通过的概率21（12分）已知函数f（x）=x2+ax+1lnx（）当a=3时，求函数f（x）的单调递增区间；（）若f（x）在区间（0，）上是减函数，求实数a的取值范围22（12分）已知斜率为1的直线l与双曲线C：相交于B、D两点，且BD的中点为M（1，3）（）求C的离心率；（）设C的右顶点为A，右焦点为F，|DF|BF|=17，证明：过A、B、D三点的圆与x轴相切2010年全国统一高考数学试卷（文科）（大纲版）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1（5分）设全集U=xN+|x6，集合A=1，3，B=3，5，则U（AB）=（）A1，4B1，5C2，4D2，5【考点】1H：交、并、补集的混合运算菁优网版权所有【专题】11：计算题【分析】由全集U=xN+|x6，可得U=1，2，3，4，5，然后根据集合混合运算的法则即可求解【解答】解：A=1，3，B=3，5，AB=1，3，5，U=xN+|x6=1，2，3，4，5，U（AB）=2，4，故选：C【点评】本题考查了集合的基本运算，属于基础知识，注意细心运算2（5分）不等式0的解集为（）Ax|2x3Bx|x2Cx|x2或x3Dx|x3【考点】73：一元二次不等式及其应用菁优网版权所有【专题】11：计算题【分析】本题的方法是：要使不等式小于0即要分子与分母异号，得到一个一元二次不等式，讨论x的值即可得到解集【解答】解：，得到（x3）（x+2）0即x30且x+20解得：x3且x2所以无解；或x30且x+20，解得2x3，所以不等式的解集为2x3故选：A【点评】本题主要考查学生求不等式解集的能力，是一道基础题3（5分）已知sin=，则cos（2）=（）ABCD【考点】GO：运用诱导公式化简求值；GS：二倍角的三角函数菁优网版权所有【专题】11：计算题【分析】先根据诱导公式求得cos（2a）=cos2a进而根据二倍角公式把sin的值代入即可求得答案【解答】解：sina=，cos（2a）=cos2a=（12sin2a）=故选：B【点评】本题考查了二倍角公式及诱导公式考查了学生对三角函数基础公式的记忆4（5分）函数的反函数是（）Ay=e2x11（x0）By=e2x1+1（x0）Cy=e2x11（xR）Dy=e2x1+1（xR）【考点】4H：对数的运算性质；4R：反函数菁优网版权所有【专题】11：计算题；16：压轴题【分析】从条件中中反解出x，再将x，y互换即得解答本题首先熟悉反函数的概念，然后根据反函数求解三步骤：1、换：x、y换位，2、解：解出y，3、标：标出定义域，据此即可求得反函数【解答】解：由原函数解得x=e 2y1+1，f1（x）=e 2x1+1，又x1，x10；ln（x1）R在反函数中xR，故选：D【点评】求反函数，一般应分以下步骤：（1）由已知解析式y=f（x）反求出x=（y）；（2）交换x=（y）中x、y的位置；（3）求出反函数的定义域（一般可通过求原函数的值域的方法求反函数的定义域）5（5分）若变量x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为（）A1B2C3D4【考点】7C：简单线性规划菁优网版权所有【专题】31：数形结合【分析】先根据约束条件画出可行域，设z=2x+y，再利用z的几何意义求最值，只需求出直线z=2x+y过可行域内的点B时，从而得到m值即可【解答】解：作出可行域，作出目标函数线，可得直线与y=x与3x+2y=5的交点为最优解点，即为B（1，1），当x=1，y=1时zmax=3故选：C【点评】本题考查了线性规划的知识，以及利用几何意义求最值，属于基础题6（5分）如果等差数列an中，a3+a4+a5=12，那么a1+a2+a7=（）A14B21C28D35【考点】83：等差数列的性质；85：等差数列的前n项和菁优网版权所有【分析】由等差数列的性质求解【解答】解：a3+a4+a5=3a4=12，a4=4，a1+a2+a7=7a4=28故选：C【点评】本题主要考查等差数列的性质7（5分）若曲线y=x2+ax+b在点（1，b）处的切线方程是xy+1=0，则（）Aa=1，b=2Ba=1，b=2Ca=1，b=2Da=1，b=2【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程菁优网版权所有【专题】11：计算题；52：导数的概念及应用【分析】由y=x2+ax+b，知y=2x+a，再由曲线y=x2+ax+b在点（1，b）处的切线方程为xy+1=0，求出a和b【解答】解：y=x2+ax+b，y=2x+a，y|x=1=2+a，曲线y=x2+ax+b在点（1，b）处的切线方程为yb=（2+a）（x1），曲线y=x2+ax+b在点（1，b）处的切线方程为xy+1=0，a=1，b=2故选：B【点评】本题考查利用导数求曲线上某点切线方程的应用，解题时要认真审题，仔细解答8（5分）已知三棱锥SABC中，底面ABC为边长等于2的等边三角形，SA垂直于底面ABC，SA=3，那么直线AB与平面SBC所成角的正弦值为（）ABCD【考点】MI：直线与平面所成的角菁优网版权所有【专题】11：计算题【分析】由图，过A作AE垂直于BC交BC于E，连接SE，过A作AF垂直于SE交SE于F，连BF，由题设条件证出ABF即所求线面角由数据求出其正弦值【解答】解：过A作AE垂直于BC交BC于E，连接SE，过A作AF垂直于SE交SE于F，连BF，正三角形ABC，E为BC中点，BCAE，SABC，BC面SAE，BCAF，AFSE，AF面SBC，ABF为直线AB与面SBC所成角，由正三角形边长2，AE=，AS=3，SE=2，AF=，sinABF=故选：D【点评】本题考查了立体几何的线与面、面与面位置关系及直线与平面所成角9（5分）将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有（）A12种B18种C36种D54种【考点】D9：排列、组合及简单计数问题菁优网版权所有【专题】11：计算题【分析】本题是一个分步计数问题，首先从3个信封中选一个放1，2有3种不同的选法，再从剩下的4个数中选两个放一个信封有C42，余下放入最后一个信封，根据分步计数原理得到结果【解答】解：由题意知，本题是一个分步计数问题，先从3个信封中选一个放1，2，有=3种不同的选法；根据分组公式，其他四封信放入两个信封，每个信封两个有=6种放法，共有3×6×1=18故选：B【点评】本题考查分步计数原理，考查平均分组问题，是一个易错题，解题的关键是注意到第二步从剩下的4个数中选两个放到一个信封中，这里包含两个步骤，先平均分组，再排列10（5分）ABC中，点D在边AB上，CD平分ACB，若=，=，|=1，|=2，则=（）A+B+C+D+【考点】9B：向量加减混合运算菁优网版权所有【分析】由ABC中，点D在边AB上，CD平分ACB，根据三角形内角平分线定理，我们易得到，我们将后，将各向量用，表示，即可得到答案【解答】解：CD为角平分线，故选：B【点评】本题考查了平面向量的基础知识，解答的核心是三角形内角平分线定理，即若AD为三角形ABC的内角A的角平分线，则AB：AC=BD：CD11（5分）与正方体ABCDA1B1C1D1的三条棱AB、CC1、A1D1所在直线的距离相等的点（）A有且只有1个B有且只有2个C有且只有3个D有无数个【考点】LO：空间中直线与直线之间的位置关系菁优网版权所有【专题】16：压轴题【分析】由于点D、B1显然满足要求，猜想B1D上任一点都满足要求，然后想办法证明结论【解答】解：在正方体ABCDA1B1C1D1上建立如图所示空间直角坐标系，并设该正方体的棱长为1，连接B1D，并在B1D上任取一点P，因为=（1，1，1），所以设P（a，a，a），其中0a1作PE平面A1D，垂足为E，再作EFA1D1，垂足为F，则PF是点P到直线A1D1的距离所以PF=；同理点P到直线AB、CC1的距离也是所以B1D上任一点与正方体ABCDA1B1C1D1的三条棱AB、CC1、A1D1所在直线的距离都相等，所以与正方体ABCDA1B1C1D1的三条棱AB、CC1、A1D1所在直线的距离相等的点有无数个故选：D【点评】本题主要考查合情推理的能力及空间中点到线的距离的求法12（5分）已知椭圆T：+=1（ab0）的离心率为，过右焦点F且斜率为k（k0）的直线与T相交于A，B两点，若=3，则k=（）A1BCD2【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合菁优网版权所有【专题】11：计算题；16：压轴题【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），根据求得y1和y2关系根据离心率设，b=t，代入椭圆方程与直线方程联立，消去x，根据韦达定理表示出y1+y2和y1y2，进而根据y1和y2关系求得k【解答】解：A（x1，y1），B（x2，y2），y1=3y2，设，b=t，x2+4y24t2=0，设直线AB方程为，代入中消去x，可得，解得，故选：B【点评】本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题此类题问题综合性强，要求考生有较高地转化数学思想的运用能力，能将已知条件转化到基本知识的运用二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13（5分）已知是第二象限的角，tan=，则cos=【考点】GG：同角三角函数间的基本关系菁优网版权所有【分析】根据，以及sin2+cos2=1可求出答案【解答】解：=，2sin=cos又sin2+cos2=1，是第二象限的角故答案为：【点评】本题考查了同角三角函数的基础知识14（5分）（x+）9展开式中x3的系数是84（用数字作答）【考点】DA：二项式定理菁优网版权所有【分析】本题考查二项式定理的展开式，解题时需要先写出二项式定理的通项Tr+1，因为题目要求展开式中x3的系数，所以只要使x的指数等于3就可以，用通项可以解决二项式定理的一大部分题目【解答】解：写出（x+）9通项，要求展开式中x3的系数令92r=3得r=3，C93=84故答案为：84【点评】本题是一个二项展开式的特定项的求法解本题时容易公式记不清楚导致计算错误，所以牢记公式它是经常出现的一个客观题15（5分）已知抛物线C：y2=2px（p0）的准线l，过M（1，0）且斜率为的直线与l相交于A，与C的一个交点为B，若，则p=2【考点】K8：抛物线的性质菁优网版权所有【专题】11：计算题；16：压轴题【分析】设直线AB的方程与抛物线方程联立消去y得3x2+（62p）x+3=0，进而根据，可知M为A、B的中点，可得p的关系式，解方程即可求得p【解答】解：设直线AB：，代入y2=2px得3x2+（62p）x+3=0，又，即M为A、B的中点，xB+（）=2，即xB=2+，得p2+4P12=0，解得p=2，p=6（舍去）故答案为：2【点评】本题考查了抛物线的几何性质属基础题16（5分）已知球O的半径为4，圆M与圆N为该球的两个小圆，AB为圆M与圆N的公共弦，AB=4，若OM=ON=3，则两圆圆心的距离MN=3【考点】JE：直线和圆的方程的应用；ND：球的性质菁优网版权所有【专题】11：计算题；16：压轴题【分析】根据题意画出图形，欲求两圆圆心的距离，将它放在与球心组成的三角形MNO中，只要求出球心角即可，通过球的性质构成的直角三角形即可解得【解答】解法一：ON=3，球半径为4，小圆N的半径为，小圆N中弦长AB=4，作NE垂直于AB，NE=，同理可得，在直角三角形ONE中，NE=，ON=3，MN=3故填：3解法二：如下图：设AB的中点为C，则OC与MN必相交于MN中点为E，因为OM=ON=3，故小圆半径NB为C为AB中点，故CB=2；所以NC=，ONC为直角三角形，NE为ONC斜边上的高，OC=MN=2EN=2CN=2××=3故填：3【点评】本题主要考查了点、线、面间的距离计算，还考查球、直线与圆的基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题三、解答题（共6小题，满分70分）17（10分）ABC中，D为边BC上的一点，BD=33，sinB=，cosADC=，求AD【考点】GG：同角三角函数间的基本关系；HP：正弦定理菁优网版权所有【分析】先由cosADC=确定角ADC的范围，因为BAD=ADCB所以可求其正弦值，最后由正弦定理可得答案【解答】解：由cosADC=0，则ADC，又由知BADC可得B，由sinB=，可得cosB=，又由cosADC=，可得sinADC=从而sinBAD=sin（ADCB）=sinADCcosBcosADCsinB=由正弦定理得，所以AD=【点评】三角函数与解三角形的综合性问题，是近几年高考的热点，在高考试题中频繁出现这类题型难度比较低，一般出现在17或18题，属于送分题，估计以后这类题型仍会保留，不会有太大改变解决此类问题，要根据已知条件，灵活运用正弦定理或余弦定理，求边角或将边角互化18（12分）已知an是各项均为正数的等比数列a1+a2=2（），a3+a4+a5=64+）（）求an的通项公式；（）设bn=（an+）2，求数列bn的前n项和Tn【考点】88：等比数列的通项公式；8E：数列的求和菁优网版权所有【专题】11：计算题【分析】（1）由题意利用等比数列的通项公式建立首项a1与公比q的方程，然后求解即可（2）由bn的定义求出通项公式，在由通项公式，利用分组求和法即可求解【解答】解：（1）设正等比数列an首项为a1，公比为q，由题意得：an=2n1（6分）（2）bn的前n项和Tn=（12分）【点评】（1）此问重基础及学生的基本运算技能（2）此处重点考查了高考常考的数列求和方法之一的分组求和，及指数的基本运算性质19（12分）如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，AC=BC，AA1=AB，D为BB1的中点，E为AB1上的一点，AE=3EB1（）证明：DE为异面直线AB1与CD的公垂线；（）设异面直线AB1与CD的夹角为45°，求二面角A1AC1B1的大小【考点】LM：异面直线及其所成的角；LQ：平面与平面之间的位置关系菁优网版权所有【专题】11：计算题；14：证明题【分析】（1）欲证DE为异面直线AB1与CD的公垂线，即证DE与异面直线AB1与CD垂直相交即可；（2）将AB1平移到DG，故CDG为异面直线AB1与CD的夹角，作HKAC1，K为垂足，连接B1K，由三垂线定理，得B1KAC1，因此B1KH为二面角A1AC1B1的平面角，在三角形B1KH中求出此角即可【解答】解：（1）连接A1B，记A1B与AB1的交点为F因为面AA1BB1为正方形，故A1BAB1，且AF=FB1，又AE=3EB1，所以FE=EB1，又D为BB1的中点，故DEBF，DEAB1作CGAB，G为垂足，由AC=BC知，G为AB中点又由底面ABC面AA1B1B连接DG，则DGAB1，故DEDG，由三垂线定理，得DECD所以DE为异面直线AB1与CD的公垂线（2）因为DGAB1，故CDG为异面直线AB1与CD的夹角，CDG=45°设AB=2，则AB1=，DG=，CG=，AC=作B1HA1C1，H为垂足，因为底面A1B1C1面AA1CC1，故B1H面AA1C1C又作HKAC1，K为垂足，连接B1K，由三垂线定理，得B1KAC1，因此B1KH为二面角A1AC1B1的平面角B1H=，C1H=，AC1=，HK=tanB1KH=，二面角A1AC1B1的大小为arctan【点评】本试题主要考查空间的线面关系与空间角的求解，考查考生的空间想象与推理计算的能力三垂线定理是立体几何的最重要定理之一，是高考的热点，它是处理线线垂直问题的有效方法，同时它也是确定二面角的平面角的主要手段通过引入空间向量，用向量代数形式来处理立体几何问题，淡化了传统几何中的“形”到“形”的推理方法，从而降低了思维难度，使解题变得程序化，这是用向量解立体几何问题的独到之处20（12分）如图，由M到N的电路中有4个元件，分别标为T1，T2，T3，T4，电流能通过T1，T2，T3的概率都是P，电流能通过T4的概率是0.9，电流能否通过各元件相互独立已知T1，T2，T3中至少有一个能通过电流的概率为0.999（）求P；（）求电流能在M与N之间通过的概率【考点】C5：互斥事件的概率加法公式；C8：相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式菁优网版权所有【专题】11：计算题【分析】（1）设出基本事件，将要求事件用基本事件的来表示，将T1，T2，T3至少有一个能通过电流用基本事件表示并求出概率即可求得p（）根据题意，B表示事件：电流能在M与N之间通过，根据电路图，可得B=A4+（1A4）A1A3+（1A4）（1A1）A2A3，由互斥事件的概率公式，代入数据计算可得答案【解答】解：（）根据题意，记电流能通过Ti为事件Ai，i=1、2、3、4，A表示事件：T1，T2，T3，中至少有一个能通过电流，易得A1，A2，A3相互独立，且，P（）=（1p）3=10.999=0.001，计算可得，p=0.9；（）根据题意，B表示事件：电流能在M与N之间通过，有B=A4+（1A4）A1A3+（1A4）（1A1）A2A3，则P（B）=P（A4+（1A4）A1A3+（1A4）（1A1）A2A3）=0.9+0.1×0.9×0.9+0.1×0.1×0.9×0.9=0.9891【点评】本题考查了概率中的互斥事件、对立事件及独立事件的概率，注意先明确事件之间的关系，进而选择对应的公式来计算21（12分）已知函数f（x）=x2+ax+1lnx（）当a=3时，求函数f（x）的单调递增区间；（）若f（x）在区间（0，）上是减函数，求实数a的取值范围【考点】3D：函数的单调性及单调区间；3E：函数单调性的性质与判断菁优网版权所有【专题】16：压轴题【分析】（1）求单调区间，先求导，令导函数大于等于0即可（2）已知f（x）在区间（0，）上是减函数，即f（x）0在区间（0，）上恒成立，然后用分离参数求最值即可【解答】解：（）当a=3时，f（x）=x2+3x+1lnx解f（x）0，即：2x23x+10函数f（x）的单调递增区间是（）f（x）=2x+a，f（x）在上为减函数，x时2x+a0恒成立即a2x+恒成立设，则x时，4，g（x）0，g（x）在上递减，g（x）g（）=3，a3【点评】本题考查函数单调性的判断和已知函数单调性求参数的范围，此类问题一般用导数解决，综合性较强22（12分）已知斜率为1的直线l与双曲线C：相交于B、D两点，且BD的中点为M（1，3）（）求C的离心率；（）设C的右顶点为A，右焦点为F，|DF|BF|=17，证明：过A、B、D三点的圆与x轴相切【考点】J9：直线与圆的位置关系；KC：双曲线的性质；KH：直线与圆锥曲线的综合菁优网版权所有【专题】11：计算题；14：证明题；16：压轴题【分析】（）由直线过点（1，3）及斜率可得直线方程，直线与双曲线交于BD两点的中点为（1，3），可利用直线与双曲线消元后根据中点坐标公式找出a，b的关系式即求得离心率（）利用离心率将条件|FA|FB|=17，用含a的代数式表示，即可求得a，则A点坐标可得（1，0），由于A在x轴上所以，只要证明2AM=BD即证得【解答】解：（）由题设知，l的方程为：y=x+2，代入C的方程，并化简，得（b2a2）x24a2xa2b24a2=0，设B（x1，y1），D（x2，y2），则，由M（1，3）为BD的中点知故，即b2=3a2，故，C的离心率（）由知，C的方程为：3x2y2=3a2，A（a，0），F（2a，0），故不妨设x1a，x2a，|BF|FD|=（a2x1）（2x2a）=4x1x2+2a（x1+x2）a2=5a2+4a+8又|BF|FD|=17，故5a2+4a+8=17解得a=1，或（舍去），故=6，连接MA，则由A（1，0），M（1，3）知|MA|=3，从而MA=MB=MD，且MAx轴，因此以M为圆心，MA为半径的圆经过A、B、D三点，且在点A处与x轴相切，所以过A、B、D三点的圆与x轴相切【点评】本题考查了圆锥曲线、直线与圆的知识，考查学生运用所学知识解决问题的能力