《高考试卷模拟练习》2006年专升本高数二答案新.doc

2006年浙江省普通高校“专升本”联考高等数学（二）试题 参考答案及评分标准2006年浙江省普通高校“专升本”联考高等数学（二）参考答案考试说明：1. 考试时间为150分钟；2. 满分为150分3. 答案请写在试卷纸上，用蓝色或黑色墨水的钢笔、圆珠笔答卷，否则无效；4. 密封线左边各项要求填写清楚完整。一、 填空题：（只需在横线上直接写出答案，不必写出计算过程。本 题共有8小题，每小题5分，共40分。）1. 若 在连续，则 1 .2. 曲线在处的切线方程为 .3. 设函数，则其导数为 .4. 4 .5. 设，则 .6. 曲线与直线，及轴所围成的图形绕轴旋转一周，所得旋转体体积为 .7. 微分方程 的通解为 .8. 若级数收敛，则的取值范围是 .二、选择题：（本题5个小题，每小题4分，共20分.每小题给出的4个选项中，只有一项符合要求.）1（ B ）. (A) (B) (C) 1 (D) 不存在2. 当时， 是比 的（ ）. 高阶无穷小 等价无穷小 同阶无穷小 低阶无穷小3. 级数 为（ ）. 绝对收敛 条件收敛 发散 无法判断4.曲线与直线所围成的图形的面积是 （ ）. 5.广义积分为（ ）. 0 三、 计算题：（计算题必须写出必要的解题过程，只写答案的不给分.本题共10个小题，每小题6分，共60分）.1. 计算极限 .解： （5分） （6分）2计算函数 的导数 .解1： 两边取对数，得 （1分） 两边求导数 （4分） （6分）解2： 由于，所以 （4分） （6分）3 计算由隐函数 确定的函数 的微分.解： 方程两边关于求导数，把 看成的函数. （3分）解得 （4分）所以函数的微分 （6分）4. 判别正项级数的敛散性.解1： 由于，所以 （3分）已知级数收敛 （5分）由比较判别法知级数 收敛. （6分）解2： 取，1 （4分） 因为级数收敛 （5分） 所以原级数收敛。 （6分）5. 计算不定积分 解1： （4分） （6分）解2： 设 ，则，于是 （4分） = = （5分） = （6分）6. 求幂级数 的收敛半径与收敛区间.解： 当 时， （2分 ） 所以当 ，即 时，幂级数 收敛；当 ，即时，幂级数 发散，所以幂级数的收敛半径 （3分）因此幂级数收敛区间为 （6分）7. 计算定积分 解： 由于公式 ，所以 （2分） （ 3分） （5分） （6分）8. 计算微分方程 满足初始条件 的特解.解： 分离变量得 （2分） 两边积分 于是有 即 （4分） 或 将初始条件代入得 （5分） 所求特解是 （6分）9. 计算函数 的二阶导数 .解： （3分） （6分）10. 将函数 展成的幂级数并指出收敛区间.解： 因为 （1分） 根据幂级数展开式 ， （2分）于是 （5分） 收敛区间是 （6分）四、综合题（本题4个小题，共30分）1. 本题7分 设，证明不等式 证明： 设， （ 2分 ）则 在闭区间上满足 Lagrange定理条件， 于是存在一点，使 （3分）即 （4分）因为且，所以 ， （5分）因此 ,从而. （7分）2本题7分设函数，求在区间上的最大值与最小值.解： 由于定积分是一确定的实数，设 （1分）对的等式两边积分有 于是 （2分）由上式解得 （3分）令得驻点 （4分） 当时，恒有 ，表明在区间内严格增加， （5分）所以 是函数在的最小值 （6分） 是函数在的最大值. （7分）3 3. 本题8分 设， （为实数）试问在什么范围时（1）在点连续；（2）在点可导.解： （1）当时，是时的无穷小量，而是有界变量， （2分） 所以当时， （3分） 即当时，在点连续。 （4分） （2）当时，由导数定义及有界变量乘无穷小量是无穷小量，得 （6分） （7分）所以当时，在点可导. （8分）4本题8分 若函数，求.解： 上式两边关于求导数， （1分） （ 2分）记 ，则上式是二阶常系数非齐次微分方程 ，即 （I）的通解是，为任意常数。 （3分）由于是的特征方程 的单根，所以设是方程 （I）的一个特解， 于是有 与 将它们代入方程（I）得 （4分）于是方程（I）的通解为，（II）这里为任意常数.从已知条件可求得，并代入方程（II） （5分）得解得 （7分）所求函数 （8分）第 8 页 共 8 页