《考研资料》2009年全国硕士研究生入学统一考试（数一）试题及答案.doc

2009年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题：18小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（1）当时，与等价无穷小，则（ ）. . . .-1-111（2）如图，正方形被其对角线划分为四个区域，则（ ）. .（3）设函数在区间上的图形为：1-2023-1O则函数的图形为（ ）.0231-2-11. 0231-2-11.0231-11.0231-2-11（4）设有两个数列，若，则（ ）当收敛时，收敛.当发散时，发散. 当收敛时，收敛.当发散时，发散.（5）设是3维向量空间的一组基，则由基到基的过渡矩阵为（ ）. . .（6）设均为2阶矩阵，分别为的伴随矩阵，若，则分块矩阵的伴随矩阵为（ ）. .（7）设随机变量的分布函数为，其中为标准正态分布函数，则（ ）. .（8）设随机变量与相互独立，且服从标准正态分布，的概率分布为，记为随机变量的分布函数，则函数的间断点个数为（ ）0.1. 2.3.二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.（9）设函数具有二阶连续偏导数，则 。（10）若二阶常系数线性齐次微分方程的通解为，则非齐次方程满足条件的解为 。（11）已知曲线，则 。（12）设，则 。（13）若3维列向量满足，其中为的转置，则矩阵的非零特征值为 。(14)设为来自二项分布总体的简单随机样本，和分别为样本均值和样本方差。若为的无偏估计量，则 。三、解答题：1523小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分9分）求二元函数的极值。（16）（本题满分9分）设为曲线与所围成区域的面积，记，求与的值。（17）（本题满分11分）椭球面是椭圆绕轴旋转而成，圆锥面是过点且与椭圆相切的直线绕轴旋转而成。（）求及的方程（）求与之间的立体体积。（18）（本题满分11分）（）证明拉格朗日中值定理：若函数在上连续，在可导，则存在，使得（）证明：若函数在处连续，在内可导，且，则存在，且。（19）（本题满分10分）计算曲面积分，其中是曲面的外侧。（20）（本题满分11分）设 求满足的. 的所有向量,.对中的任意向量,证明,无关。（21）（本题满分11分）设二次型（）求二次型的矩阵的所有特征值；（）若二次型的规范形为，求的值。（22）（本题满分11分）袋中有1个红色球，2个黑色球与3个白球，现有回放地从袋中取两次，每次取一球，以分别表示两次取球所取得的红球、黑球与白球的个数。（）求；（）求二维随机变量概率分布。（23）（本题满分11 分）设总体的概率密度为，其中参数未知，,是来自总体的简单随机样本()求参数的矩估计量；（）求参数的最大似然估计量2009年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题答案解析一、选择题：18小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（1）当时，与等价无穷小，则. . . .【答案】 【解析】为等价无穷小，则 故排除。-1-111另外存在，蕴含了故排除。所以本题选A。（2）如图，正方形被其对角线划分为四个区域，则. .【答案】A【解析】本题利用二重积分区域的对称性及被积函数的奇偶性。两区域关于轴对称，而，即被积函数是关于的奇函数，所以;两区域关于轴对称，而，即被积函数是关于的偶函数，所以；.所以正确答案为A.（3）设函数在区间上的图形为：则函数的图形为【答案】 【解析】此题为定积分的应用知识考核，由的图形可见，其图像与轴及轴、所围的图形的代数面积为所求函数，从而可得出几个方面的特征：时，且单调递减。时，单调递增。时，为常函数。时，为线性函数，单调递增。由于F(x)为连续函数结合这些特点，可见正确选项为。（4）设有两个数列，若，则当收敛时，收敛.当发散时，发散. 当收敛时，收敛.当发散时，发散.【答案】C【解析】方法一：举反例 A取 B取 D取故答案为（C）方法二：因为则由定义可知使得时，有又因为收敛，可得则由定义可知使得时，有从而，当时，有，则由正项级数的比较判别法可知收敛。（5）设是3维向量空间的一组基，则由基到基的过渡矩阵为. . .【答案】A【解析】因为，则称为基到的过渡矩阵。则由基到的过渡矩阵满足所以此题选。（6）设均为2阶矩阵，分别为的伴随矩阵，若，则分块矩阵的伴随矩阵为. .【答案】B【解析】根据，若分块矩阵的行列式，即分块矩阵可逆故答案为B。（7）设随机变量的分布函数为，其中为标准正态分布函数，则. .【答案】【解析】因为，所以，所以而，所以。（8）设随机变量与相互独立，且服从标准正态分布，的概率分布为，记为随机变量的分布函数，则函数的间断点个数为0.1. 2.3.【答案】 B【解析】独立（1）若，则（2）当，则为间断点，故选（B）二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.（9）设函数具有二阶连续偏导数，则 。【答案】【解析】，（10）若二阶常系数线性齐次微分方程的通解为，则非齐次方程满足条件的解为 。【答案】【解析】由常系数线性齐次微分方程的通解为可知，为其线性无关解。代入齐次方程，有从而可见。微分方程为设特解代入， 特解 把 ， 代入，得 所求（11）已知曲线，则 。【答案】【解析】由题意可知，则，所以（12）设，则 。【答案】【解析】方法一：方法二：由轮换对称性可知所以，（13）若3维列向量满足，其中为的转置，则矩阵的非零特征值为 。【答案】2【解析】, 的非零特征值为2.(14)设为来自二项分布总体的简单随机样本，和分别为样本均值和样本方差。若为的无偏估计量，则 【答案】 【解析】为的无偏估计 三、解答题：1523小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分9分）求二元函数的极值。【解析】 故则而二元函数存在极小值（16）（本题满分9分）设为曲线与所围成区域的面积，记，求与的值。【解析】由题意，与在点和处相交，所以，从而由 取得（17）（本题满分11分）椭球面是椭圆绕轴旋转而成，圆锥面是过点且与椭圆相切的直线绕轴旋转而成。（）求及的方程（）求与之间的立体体积。【解析】（I）的方程为，过点与的切线为，所以的方程为。（II）记，由，记，则（18）（本题满分11分）（）证明拉格朗日中值定理：若函数在上连续，在可导，则存在，使得（）证明：若函数在处连续，在内可导，且，则存在，且。【解析】（）作辅助函数，易验证满足：；在闭区间上连续，在开区间内可导，且。根据罗尔定理，可得在内至少有一点，使，即（）任取，则函数满足；在闭区间上连续，开区间内可导，从而有拉格朗日中值定理可得：存在，使得又由于，对上式（*式）两边取时的极限可得：故存在，且。（19）（本题满分10分）计算曲面积分，其中是曲面的外侧。【解析】，其中+=由于被积函数及其偏导数在点（0，0，0）处不连续，作封闭曲面（外侧）有（20）（本题满分11分）设，（）求满足的所有向量，（）对（）中的任一向量，证明：线性无关。【解析】（）解方程 故有一个自由变量，令，由解得， 求特解，令，得 故 ，其中为任意常数 解方程 故有两个自由变量，令，由得令，由得求特解 故 ，其中为任意常数（）证明：由于 故 线性无关.（21）（本题满分11分）设二次型（）求二次型的矩阵的所有特征值；（）若二次型的规范形为，求的值。【解析】（） （） 若规范形为，说明有两个特征值为正，一个为0。则1) 若，则 ， ，不符题意2) 若 ，即，则，符合3) 若 ，即，则 ，不符题意综上所述，故（22）（本题满分11分）袋中有1个红色球，2个黑色球与3个白球，现有放回地从袋中取两次，每次取一球，以分别表示两次取球所取得的红球、黑球与白球的个数。（）求；（）求二维随机变量的概率分布。【解析】（）在没有取白球的情况下取了一次红球，利用压缩样本空间则相当于只有1个红球，2个黑球放回摸两次，其中摸了一个红球 （）X，Y取值范围为0，1，2，故 XY01201/41/61/3611/31/9021/900（23）（本题满分11 分）设总体的概率密度为，其中参数未知，,是来自总体的简单随机样本()求参数的矩估计量；（）求参数的最大似然估计量【解析】（1）由而为总体的矩估计量（2）构造似然函数 取对数令故其最大似然估计量为