《考研资料》2012年全国硕士研究生入学统一考试（数二）试题及答案.doc
2012年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题:18小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.（1）曲线渐近线的条数为（）（A）0 （B）1 （C）2 （D）3（2）设函数，其中为正整数，则（ ）（A） （B）（C） （D）（3）设，则数列有界是数列收敛的（ ）(A)充分必要条件. (B)充分非必要条件.（C）必要非充分条件. （D）即非充分地非必要条件.（4）设 (k=1,2,3),则有（ ）（A） (B) (C) (D) （5）设函数可微，且对任意 都 有，则使得成立的一个充分条件是（ ）(A) (B) (C) (D) （6）设区域D由曲线围成，则（7）设其中为任意常数，则下列向量组线性相关的是（ ）（A） （B）（C） （D）（8）设为3阶矩阵，为3阶可逆矩阵，且，则（ ）（A） （B）（C） （D）二、填空题：914小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上.(9) 设是由方程所确定的隐函数，则 .(10) .(11) 设其中函数可微，则 .(12) 微分方程满足条件的解为 .(13) 曲线上曲率为的点的坐标是 .(14) 设为3阶矩阵，为伴随矩阵，若交换的第1行与第2行得矩阵，则 . 三、解答题：1523小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)(本题满分 10 分)已知函数，记，(I)求的值;(II)若时，与是同阶无穷小，求常数的值.(16)(本题满分 10 分)求函数的极值.(17)(本题满分12分) 过点作曲线的切线,切点为,又与轴交于点,区域由与直线围成,求区域的面积及绕轴旋转一周所得旋转体的体积.(18)(本题满分 10 分)计算二重积分，其中区域为曲线与极轴围成.(19)(本题满分10分)已知函数满足方程及,(I) 求的表达式;(II) 求曲线的拐点.(20)(本题满分10分) 证明,.(21)(本题满分10 分)(I)证明方程，在区间内有且仅有一个实根；(II)记(I)中的实根为，证明存在，并求此极限.(22)(本题满分11 分)设，(I) 计算行列式；(II) 当实数为何值时，方程组有无穷多解，并求其通解.(23)(本题满分11 分)已知，二次型的秩为2，(I) 求实数的值；(II) 求正交变换将化为标准形.2012年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、选择题：18小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.（1）曲线渐近线的条数为（）（A）0 （B）1 （C）2 （D）3【答案】：（C）【解析】：，所以为垂直渐近线 ，所以为水平渐近线，没有斜渐近线，总共两条渐近线，选（C）。（2）设函数，其中为正整数，则（A） （B）（C） （D）【答案】：（C）【解析】： 所以，故选（C）。（3）设，则数列有界是数列收敛的(A)充分必要条件. (B)充分非必要条件.（C）必要非充分条件. （D）即非充分地非必要条件.【答案】：(B)【解析】：由于，是单调递增的，可知当数列有界时，收敛，也即是存在的，此时有，也即收敛。反之，收敛，却不一定有界，例如令，显然有收敛，但是无界的。故数列有界是数列收敛的充分非必要条件，选(B)。（4）设 (k=1,2,3),则有D（A） (B) (C) (D) 【答案】：(D)【解析】：由于当时，可知，也即，可知。又由于，对做变量代换得，故由于当时，可知，也即，可知。综上所述有，故选(D).（5）设函数可微，且对任意 都 有，则使得成立的一个充分条件是(A) (B) (C) (D) 【答案】：(D)【解析】：，表示函数关于变量是单调递增的，关于变量是单调递减的。因此，当时，必有，故选D（6）设区域D由曲线围成，则【答案】：（D）【解析】：区域D如图中阴影部分所示，为了便于讨论，再引入曲线将区域分为四部分。由于关于轴对称，可知在上关于的奇函数积分为零，故；又由于关于轴对称，可知在上关于的奇函数为零，故。因此，故选（D）。（7）设其中为任意常数，则下列向量组线性相关的是（ ）（A） （B）（C） （D）【答案】：（C）【解析】：由于，可知线性相关。故选（C）。（8）设为3阶矩阵，为3阶可逆矩阵，且，则（ ）（A） （B）（C） （D）【答案】：（B）【解析】：，则，故故选（B）。二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.（9）设是由方程所确定的隐函数，则_。【答案】：【解析】：将代入原方程可得方程两端对求导，有，将、代入可得，所以再次求导得，再将、代入可得。（10）计算_。【答案】：【解析】：原式（11）设,其中函数可微，则_。【答案】：.【解析】：因为，所以（12）微分方程满足初始条件的解为_。【答案】：【解析】：为一阶线性微分方程，所以又因为时，解得，故.（13）曲线上曲率为的点的坐标是_。【答案】：【解析】：将代入曲率计算公式，有整理有，解得，又，所以，这时，故该点坐标为（14）设为3阶矩阵，,为的伴随矩阵，若交换的第一行与第二行得到矩阵,则_。【答案】：【解析】：，其中，可知。三、解答题：1523小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分10分）已知函数，记（1）求的值（2）若当时，是的同阶无穷小，求【解析】：（1），即（2）,当时，由又因为，当时，与等价，故，即（16）（16）（本题满分10分）求的极值。【解析】：，先求函数的驻点：令，解得驻点为.又对点，有所以，故在点处取得极大值.对点，有所以，故在点处取得极小值.（17）（本题满分11分）过点（0，1）点作曲线的切线，切点为，又与轴交于点，区域由与直线及轴围成，求区域的面积及绕轴旋转一周所得旋转体的体积。【解析】：如图设切点坐标为，斜率为，所以设切线方程为，又因为该切线过，所以，故切线方程为：切线与轴交点为（1）（2）（18）（本题满分10分）计算二重积分，其中区域D为曲线与极轴围成。【解析】： 令得，原式。（19）（本题满分10分）已知函数满足方程及1）求表达式2）求曲线的拐点【解析】：1）特征方程为，特征根为，齐次微分方程的通解为.再由得，可知。故2）曲线方程为，则，令得。为了说明是唯一的解，我们来讨论在和时的符号。当时，可知；当时，可知。可知是唯一的解。同时，由上述讨论可知曲线在左右两边的凹凸性相反，可知点是曲线唯一的拐点。（20）（本题满分10分）证明：【解析】：令，可得当时，有，所以，故。而，即得，也即。当时，有，所以，故。而，即得，也即。当时，显然有。可知，（21）（本题满分11分）（1）证明方程，在区间内有且仅有一个实根；（2）记（1）中的实根为，证明存在，并求此极限。【解析】： (1)由题意得：令，则，再由，由零点定理得在至少存在一个零点，也即方程在区间内至少有一个实根。又由于在上是单调的，可知在内最多只有一个零点。故方程在区间内有且仅有一个实根。（2）由于，可知（），进而有，可知（），比较（）式与（）式可知，故单调。又由于，也即是有界的。则由单调有界收敛定理可知收敛，假设，可知。当时，。（22）（本题满分11分）设，（）求（）已知线性方程组有无穷多解，求，并求的通解。【解析】：（）（）可知当要使得原线性方程组有无穷多解，则有及，可知。此时，原线性方程组增广矩阵为，进一步化为行最简形得可知导出组的基础解系为，非齐次方程的特解为，故其通解为线性方程组存在2个不同的解，有.即：，得或-1.当时, ，显然不符，故.（23）（本题满分11分）三阶矩阵，为矩阵的转置，已知，且二次型。1）求2）求二次型对应的二次型矩阵，并将二次型化为标准型，写出正交变换过程。【解析】：1）由可得，可知。2） 令矩阵解得矩阵的特征值为：对于得对应的特征向量为：对于得对应的特征向量为：对于得对应的特征向量为：将单位化可得：，令可将原二次型化为。
