《考研资料》2010年全国硕士研究生入学统一考试（数二）试题及答案.doc

2010年全国硕士研究生入学统一考试数二试题一、选择题（18小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，把所选项前的字母填在答题纸指定的位置上）（1）函数的无穷间断点数为（ ）（A） （B） （C） （D）（2）设函数，是一阶非齐次微分方程的两个特解，若常数，使得是该方程的解，是该方程对应的齐次方程的解，则（ ）（A）， （B），（C）， （D），（3）曲线与（）相切，则（ ）（A） （B） （C） （D）（4）设、为正整数，则反常积分的收敛性（ ）（A）仅与有关 （B）仅与有关 （C）与 、都有关 （D）与 、都无关（5）设函数由方程确定，其中为可微函数，且。则（ ）（A） （B） （C） （D）（6）（ ）（A） （B）（C） （D）（7）设向量组可由向量组线性表示，下列命题正确的是（ ）（A）若向量组线性无关，则 （B）若向量组线性相关，则（C）若向量组线性无关，则 （D）若向量组线性相关，则（8）设是阶实对称矩阵，且，若，则相似于（ ）（A） （B） （C） （D）二、填空题（914小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上）（9）阶常系数齐次线性微分方程的通解为 （10）曲线的渐近线方程为（11）函数在处的阶导数（12）当时，对数螺线的弧长为（13）已知一个长方形的长以的速率增加，宽以的速率增加，则当，时，它的对角线增加速率为（14）设，为阶矩阵，且，则 三、解答题（1523小题，共94分，请将解答写在答题纸指定的位置上。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）（15）（本题满分10分）求的单调区间与极值。（16）（本题满分10分）（I）比较与（）；（II）记（），求。（17）（本题满分11分）设函数由参数方程（）所确定，其中具有二阶导数，且，。已知，求函数。（18）（本题满分10分）一个高为的柱体形贮油罐，底面是长轴为，短轴为的椭圆，现将贮油罐平放，当油罐中油面高度为时（如图），计算油的质量。（长度单位为，质量单位为，油的密度为常数） （18题图）（19）（本题满分11分）设函数具有二阶连续偏导数，且满足等式，确定，的值，使等式在变换下简化为。（20）（本题满分10分）计算二重积分，其中。（21）（本题满分10分）设函数在闭区间上连续，在开区间内可导，。证明：存在，使得。（22）（本题满分11分） 设，已知线性方程组存在两个不同的解。（I）求，； （II）求的通解。（23）（本题满分11分）设，正交矩阵使得为对角矩阵，若的第一列为，求，。2010考研数学二真题答案解析一、选择题1.A0 B1 C2 D3详解：有间断点，所以为第一类间断点，所以为连续点，所以为无穷间断点。所以选择B。2.设是一阶线性非齐次微分方程的两个特解，若常数使是该方程的解，是该方程对应的齐次方程的解，则A B C D详解：因是的解，故所以而由已知所以又是非齐次的解；故所以所以。3.A4e B3e C2e De详解：因与相切，故在上，时，在上，时，所以选择C4.设为正整数,则反常积分的收敛性A仅与取值有关 B仅与取值有关C与取值都有关 D与取值都无关详解：，其中在是瑕点，由无界函数的反常积分的审敛法知：其敛散性与有关，而在是瑕点，由于，其中是可以任意小的正数，所以由极限审敛法知对任意，都有收敛，与无关。故选B。5.设函数由方程确定,其中为可微函数,且则=AB C D 详解：， 6.(4)= A B CD详解： 7.设向量组，下列命题正确的是：A若向量组I线性无关，则 B若向量组I线性相关，则r>sC若向量组II线性无关，则 D若向量组II线性相关，则r>s详解：由于向量组I能由向量组II线性表示，所以，即 若向量组I线性无关，则，所以，即，选（A）。8. 设为4阶对称矩阵,且若的秩为3,则相似于A B CD 详解：设为A的特征值，由于所以，即，这样A的特征值为-1或0。由于A为实对称矩阵，故A可相似对角化，即，因此，即。二填空题9.3阶常系数线性齐次微分方程的通解y=_详解：，对应方程为，所以通解为10. 曲线的渐近线方程为_详解：，所以11. 函数详解：由麦克劳林展开有：，12.详解：，。13. 已知一个长方形的长l以2cm/s的速率增加，宽w以3cm/s的速率增加，则当l=12cm,w=5cm时，它的对角线增加的速率为_详解：设由题意知，在时刻，且，又 ，所以 所以 14. 设A，B为3阶矩阵，且详解：由于，所以因为所以，因此。三解答题15.16.(1)比较与的大小,说明理由. (2)记求极限17. 设函数y=f(x)由参数方程18. 一个高为l的柱体形贮油罐，底面是长轴为2a,短轴为2b的椭圆。现将贮油罐平放，当油罐中油面高度为时，计算油的质量。（长度单位为m，质量单位为kg，油的密度为）19.20.21. 设函数f(x)在闭区间0,1上连续，在开区间(0,1)内可导，且f(0)=0,f(1)=,证明：存在22.23.设，正交矩阵Q使得为对角矩阵，若Q的第一列为，求a、Q.答案：BACD BDAD9. 10.y=2x 11.12. 13.3cm/s 14. 3三解答题15.列表讨论如下：x-1(-1,0)0(0,1)1(1,+)-0+0-0+极小极大极小16.17.18解：S1S2yx 19解：20.21.22.23.