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精选优质文档-倾情为你奉上项目主题讨论FIR滤波器的约束最小二乘实现摘要： 数字FIR滤波器广泛应用于人们日常生产生活中，由于它在一定条件下能实现严格的线性相位，其在图像去噪处理，信号无失真传输等领域都起到关键的作用。FIR滤波器的设计可最终归结于求解一组滤波器脉冲响应系数，采用最小二乘法优化这些系数，使其能尽可能与理想滤波器相近。在实际工程应用中，为了简化滤波器设计过程中计算的复杂度，人们提出了各种各样的近似方法，本文主要介绍了两种近似方法，并给出了实验仿真。Abstract Digital FIR filter is widely used in people's daily production and living. Because of its strict linear phase under certain conditions, digital FIR filter plays a key role in image denoising and signal lossless transmission. The FIR filter design can be ultimately attributed to solving a set of filter impulse response coefficients and using least-squares to optimize these coefficients so that they are as close as possible to the ideal filter. In practical engineering application, a variety of approximate methods have been proposed in order to simplify the computational complexity of the filter design process. In this paper, two approximate methods are introduced and the experimental simulations are given.1. FIR滤波器及最小二乘法简介 FIR滤波器主要采用非递归结构， 因而实际工程中有限精度的运算都是稳定的，不存在IIR滤波器有时会产生的震荡。FIR滤波器可得到严格的线性相位，这在一些工程诸如信号无失真传输中是非常重要的，又由于其冲激响应是有限长的， 因而可以用快速傅里叶变换算法加快运算速度，因此FIR滤波器得到了广泛的应用。但是，FIR滤波器阶数比较高，也没有现成的设计公式，各项指标计算量很大，设计相对繁琐。如何设计出符合工程要求的FIR滤波器成了一个关键的问题。最小二乘法原理就是在给定所期望的滤波器幅频响应D()和几个约束条件的情况下，寻求一个与期望幅频响应相近的响应函数，使得在整个频域上相对方差最小。可以看出，这种设计方法主要着重于总的误差最小，并不保证在每个局部频段上误差最小。但是常规得到的代价函数E过于复杂，运算量很大且不适合计算机机械化运算，这给FIR滤波器设计平添了几分难度。为了能在工程实际中快速设计出符合指标的FIR滤波器，人们提出了种种优化算法，这些算法的核心是改变E中部分变量或常量，将其与数值相近的变量相替换，使得代价函数E能够约分为结构相近的式子，这样可以极大地简化计算，提高效率。2. 第一种方法在设计低通滤波器时，期望的响应为：D()=1 0 p 0 sdon't care s p由于线性相位FIR滤波器具有对称性（hn=h(N-n-1)），如果N为偶数，其幅频响应为：Hej=n=0N-1h(n)e-jn=2n=0M-1h(n)cos(2n+1)2其中M=N2，代价函数ELS可以用距离平方函数表示，代价函数越小意味着拟合效果越好，越接近理想状态。ELS=D-H()2d 0,sp,设参数矩阵b,和c()分别为：b=b0 b1 b2 bM-1Tc=cos2 cos32 cos(N-1)2T这样H（）就可以被上述参数矩阵表示，H=bTc()。阻带代价函数ES可以写成：ES=1SD-H()2d=1SbTccTbd=bTPSb其中PS=1SccTd。为了能让通带代价函数EP也能写成上述形式（bTPPb），D的取值应该选为某个具体频点的幅频响应，这里选取零频点，即D=H0=bTc(0),将其代入得：EP=10PD-H()2d=10PH0-H()2d=10PbTc0-bTc2d=bTPPb其中PP=10Pc0-c(c0-c)Td给阻带和通带损失函数赋予不同的权值和(1-)，总代价函数可得：E=ES+1-EP=bTPb其中P=PS+1-PP。到现在为止，滤波器设计问题可以转化为在bTb=1的约束条件下，找到使得代价函数E最小的b值。P是正定的，由瑞利准则可知当b为P特征向量时，E取得最小值，因此问题实际转化为求解P的特征值和特征向量问题。将PS与PP的表达式带入到中，可以得到P的展开形式，分为奇偶两种情况：当N为偶数时，P的值推导后如下当N为奇数时同理。仿真实现我们设计了一个24阶（N=24）低通滤波器，其通带截止频率P=0.25 ，阻带截止频率S=0.5 ，权重因子=0.5。图一为其脉冲响应h（n）的取值，图二为其幅频响应。图一.h（n）的取值图二.幅频响应3. 第二种方法设参数矩阵b, c, s为：b=b0 b1 b2 bN-1Tc=1 cos cos2 .cos(N-1)Ts=1 sin sin2 .sin(N-1)TFIR滤波器频率响应可由上述参数矩阵表示：Hej=hTc-jhTs()期望的频率响应D是幅频响应M和相频响应的函数。D=Me-j=Mcos-jMsin P0 Sda代价函数用平方差表示：Emse=p|D-H(ej)|2d+s|H(ej)|2d为了使Emse函数最小，我们设Emseh=0，对上式左右同时对求h偏导，得到一个线性方程：Q+Rh=d其中 Q=p(ccT+ssT)dR=s(ccT+ssT)dd=pM(cos(c+sin(s)d我们注意到Q，R是实对称矩阵，有简便算法而且计算量相对较小。仿真实现我们设计了一个29阶（N=29）低通滤波器，其通带截止频率P=0.4 ，阻带截止频率S=0.5 ，权重因子=1。图三为其脉冲响应h（n）的取值，图四为其幅频响应。图三.h（n）的取值图四.幅频响应专心-专注-专业