2010年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标).pdf

1 210 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标 )一、选择题（共12小题 ,每小题 5 分，满分分）1.（分）已知集合A=xR| | 2,则 AB(）A.(0,2）?B ， 2?C 0，2D.0，1，22 （5 分)已知复数,是的共轭复数，则=（）.B?C?23(5 分)曲线 y=在点(1,）处的切线方程为（)A.y=2 ?B.y=xC.y= 2x3?D.y 24.(5 分)如图,质点在半径为2 的圆周上逆时针运动 ,其初始位置为 P0(,)，角速度为 ,那么点 P到 x 轴距离 d 关于时间的函数图象大致为()A.?B.?C D.5(分)已知命题:函数 y22x在为增函数 ,p2：函数 y=2xx在为减函数，则在命题q:p1p，q：p1p2,3： （p1)2和：p1(2）中，真命题是 ( ).1,q3?Bq2，q3?Cq1,q4D.q2,q4B=KGZ|VX4V3+i(lV3i)ii%2/VA03TI:望2 6.（分）某种种子每粒发芽的概率都为0.,现播种了 100 粒,对于没有发芽的种子 ,每粒需再补种 2 粒，补种的种子数记为X，则 X的数学期望为（)A 0?.20C.30 ?D 07.(5 分)如果执行右面的框图 ,输入 N=5，则输出的数等于 ( ）A.?D8(5 分）设偶函数 f(x)满足 f（） 24(x),则 | f(x2）0 （)A. x| x2 或 x4xx0 或 x ? x| 29.（5 分)若，是第三象限的角，则=( )?.?C.?D.10 (5 分)设三棱柱的侧棱垂直于底面,所有棱长都为 a,顶点都在一个球面上 ,则该球的表面积为 ( ）Aa2?B.?C.5 211.(5 分）已知函数，若 a，b，互不相等 ,且 f（a）=ff音B5c_1-Han-1a-cosa52221Al2n子丌3:i33f|1SKI，碑s103 （b）=f（c),则 ac 的取值范围是 ()A （1，10) B （5,6)?.（10，1) （20,2)2 （5 分）已知双曲线E 的中心为原点 ,P（，0)是 E 的焦点，过的直线l与 E相交于 A,B两点，且 AB的中点为（ 12,15),则 E的方程式为（)A.?C.?.二、填空题 (共小题，每小题分 ,满分 20分)13.（分 )设 y=f（)为区间 ,1 上的连续函数 ,且恒有 0（ x）1，可以用随机模拟方法近似计算积分，先产生两组 (每组 N 个)区间 0，1上的均匀随机数 x,x2，x和 y1,y2，yN，由此得到 N 个点(xi，yi)(=1,2, ,N）,再数出其中满足f（xi）(i=1, ,N) 的点数 N1，那么由随机模拟方案可得积分的近似值为 .1.(5 分)正视图为一个三角形的几何体可以是(写出三种）15 （5 分)过点 (4，1）的圆 C与直线 y=1相切于点 B(,1)，则圆 C的方程为.1 （5 分）在 ABC中,D 为边 C上一点 ,BD= D,ADB=12 ,A=,若ADC的面积为,则 AC=.三、解答题 (共 8 小题,满分 0 分）7.(分）设数列满足a=2,a1a=3?n1（1）求数列n的通项公式；(2)令 bnnan，求数列 bn的前 n 项和 Sn.1 （2 分)如图,已知四棱锥 ABCD的底面为等腰梯形 ,BCD ，AC BD，垂足为 ,P是四棱锥的高， E为 AD中点(1）证明： PE C（2)若APB= AB6 ,求直线 A 与平面 PEH所成角的正弦值 .362zi-zl.632A4SSnf(s)dl23乃4 9.（分）为调查某地区老人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了50位老年人，结果如表 :性别是否需要志愿男 女需要4030不需要10270(1）估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；(2)能否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？(3）根据 (2)的结论 ,能否提供更好的调查方法来估计该地区老年人中,需要志愿帮助的老年人的比例 ?说明理由附 :P（k2k)0。0100.01k3.8416.650。8280(12 分)设 F，2分别是椭圆的左、右焦点 ,过 F斜率为 1 的直线 ? 与 E相交于 ,B两点，且AF2| ， AB，BF2| 成等差数列（1）求 E的离心率 ;（2）设点 P(0,1）满足 | PA | =| PB,求 E的方程.21.（12 分）设函数 f（)=e1xax.n(adbe)22B=(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)E:-+-=l(ab0)a2b25 （）若 a=,求 f(x)的单调区间 ;(2)若当 x0 时 f（x）0,求 a 的取值范围 .22.(1分)如图:已知圆上的弧，过 C 点的圆的切线与 A 的延长线交于E点,证明：（)AC =BCD.()BC2=?CD 2 （0 分)已知直线1（t 为参数） ,（为参数 ),()当 时，求 C1与 C2的交点坐标 ;(）过坐标原点 O做 C1的垂线 ,垂足为 A,P为 OA中点,当 变化时，求 P点的轨迹的参数方程 ,并指出它是什么曲线24.(10 分）设函数 f(x)=| 2x4|+ 1.（)画出函数 y=(）的图象 :(）若不等式 f（x)ax的解集非空，求a 的取值范围2010 年全国统一高考数学试卷(理科） （新课标）参考答案与试题解析一、选择题 (共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分)1(5 分）(2010?宁夏)已知集合 A=xR| x| 2 ，,则 AB=( ）.（0,2）?.0,2 ? ,2?D.,1，2【分析】先化简集合和B，注意集合 B 中的元素是整数，再根据两个集合的交集的意义求解【解答】 解： =xRx| 2, xR2x2 ，ACBD9K=l+-tCOS1=1y=tsins-costy=sin97T3B=ktZlVpo1d*1K/A/.:/A/TTt0371tOJTId,:vw,LX8 真命题， p1()为真命题 .【解答】 解：易知 p1是真命题 ,而对 p2:y 2ln2l2=l2（）,当 0，+)时,又 ln2,所以 0,函数单调递增；同理得当 x(， 0）时,函数单调递减 ,故 p2是假命题由此可知 ,真,q2假，q3假,q真.故选 .6.(5 分)(00?宁夏)某种种子每粒发芽的概率都为0。9,现播种了 00 粒,对于没有发芽的种子 ,每粒需再补种 2 粒,补种的种子数记为，则X 的数学期望为（)A.100 B20?C300?D.4【分析】 首先分析题目已知某种种子每粒发芽的概率都为0。9，现播种了 1000粒,即不发芽率为 0。 1， 故没有发芽的种子数 服从二项分布， 即 B(1000,0.1 ） .又没发芽的补种 2 个,故补种的种子数记为X=2 ,根据二项分布的期望公式即可求出结果 .【解答】 解：由题意可知播种了 000 粒，没有发芽的种子数服从二项分布 ,即 B(10， 0。1） 而每粒需再补种 2 粒,补种的种子数记为X故=,则X=2 1000.1=200故选 B.7 （5 分)(010?新课标）如果执行右面的框图,输入 =5，则输出的数等于 ( ）2s29 A?B. ?D【分析】 分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出S=的值.【解答】 解:分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序,可知:该程序的作用是累加并输出S=的值.S =1=故选 D.8.(5 分） （2010?新课标 )设偶函数 (x）满足 f(x)x4(0),则x(x2)0 =（)A.x| x2 或 4?B | x4C. x| x0 或 ?D.x| x2【分析】 由偶函数 f（x）满足 f(x）=2x4(） ,可得 f（x）=f（x| )=|x|,根据偶函数的性质将函数转化为绝对值函数,再求解不等式，可得答案【解答】解:由偶函数 f(x)满足 f（x）=x4(x0),可得 f(x)=f（ | )2| 4，则（x)=( 2)=2|x2|4，要使 f(| 2| ）0,只需 2240，开始Nk=lt5=0=S+t=+lkk)k(N出5结束._1547百651X22X33X4X55X61X22X33X44X55X6H1X22X33X44X55X610 | x2| 解得 x4,或 x0应选:. （5 分)（00?宁夏)若, 是第三象限的角 ,则( )A.?C 2?D.2【分析】 将欲求式中的正切化成正余弦，还要注意条件中的角与待求式中角的差别，注意消除它们之间的不同【解答】 解:由，是第三象限的角，可得,则,应选 A10.(5 分）(2010?宁夏)设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为()A.a2?5a2【分析】 由题意可知上下底面中心连线的中点就是球心,求出球的半径，即可求出球的表面积【解答】 解:根据题意条件可知三棱柱是棱长都为a 的正三棱柱 ,上下底面中心连线的中点就是球心 ,则其外接球的半径为,球的表面积为,fTC0SrI=-i5a1-t22a1+tan-a2a24CDSG=-5sina=-251sinTUsinaa卜言_Htarr-CDaaaa-A2cos1-toirycoy-sin-2571122371=1了丌21RT:I:)inly)二2Ta7S247T-=7TQ12311 故选 (5 分）(2010?新课标）已知函数,若 a,b,c 互不相等,且 f()=f(b)f(c),则 c 的取值范围是 (）A(1,10)?B.（5,6） C(1,2）?D.（20，24）【分析】 画出函数的图象，根据f(a）=f(）=f(c),不妨 bc，求出 bc 的范围即可【解答】 解:作出函数 f（x)的图象如图，不妨设 abc,则ab=1,则 abc=c(10,12）.故选 C2.(分)(2010?宁夏)已知双曲线 E的中心为原点， (3，）是 E的焦点 ,过 P的直线 l 与 E相交于 A，两点，且 B的中点为（ 2，15）,则 E的方程式为( ）A.?.?.D【分析】 已知条件易得直线l 的斜率为 ,设双曲线方程 ,及 A,B点坐标代入方程联立相减得 x+x2=4，根据=，可求得 a 和 b 的关系 ,再根据 c=3，求得 a 和 b，进而可得答案【解答】 解:由已知条件易得直线l 的斜率为 k=kPN=1，|lgx|,010fGO4-c+6C(0,1)lga=lgb=0_yC+65a2rJfti)dcLJJf(K)dNSJf(x)dsHiS占f(x)dxMjIISJf(s)dx13 故答案为 :14(分)(010?宁夏）正视图为一个三角形的几何体可以是三棱锥、三棱柱、圆锥（其他正确答案同样给分)（写出三种）【分析】 三棱锥一个侧面的在正视图为一条线段的情形；圆锥;四棱锥有两个侧面在正视图为线段的情形,即可回答本题【解答】解：正视图为一个三角形的几何体可以是三棱锥、三棱柱（放倒的情形 )、圆锥、四棱锥等等 .故答案为 :三棱锥、圆锥、三棱柱 .15. （分) （01?宁夏）过点 A(，1)的圆 C与直线 x=1 相切于点 B(,1)，则圆 C的方程为(x3）2+y22 【分析】设圆的标准方程，再用过点A（4，)，过 B,两点坐标适合方程 ,圆和直线相切 ,圆心到直线的距离等于半径,求得圆的方程 .【解答】 解:设圆的方程为（ xa)2+(yb)=r，则,解得,故所求圆的方程为 (x3)2+y2=2故答案为 :(3)2y221(5 分)(2010?宁夏)在AC中,D 为边 BC上一点， B=C， D=12 ，D2，若 DC的面积为，则BAC 60【分析】先根据三角形的面积公式利用A的面积求得 DC ，进而根据三角形ABC的面积求得 BD和 B,进而根据余弦定理求得AB.最后在三角形 B中利用余弦定理求得 csBAC ，求得 BAC的值.【解答】 解：由 ADC的面积为可得ANb-1C4-a)2+(l-b)2r2,(2-a)2+(l_b2=r2,a-2a=3rb=0,1_23A/1。粤-而SAAEC.AD，EC,sin&0ABC今。AB-AC-sinZBAC二14 解得，则.B=D2+BD22AD?B ?cos120=,则=.故BC=6 三、解答题（共8 小题，满分 90 分）17.（2 分)（200?宁夏）设数列满足 a1=,a1=3?22n1(）求数列 n的通项公式；（2)令n=nan,求数列 bn 的前 n 项和 Sn.【分析】 (）由题意得 an+(a1an）+(ana1)+ +(aa1）+a1=3（22n12n3 +)2=2(n)1.由此可知数列n的通项公式为n22n1.（）由 bn=a=n?21知 Sn=1?22?233?25+n?2n，由此入手可知答案.【解答】 解:（)由已知 ,当 n时 ,a+1= (an+an)(nn1)+ (a2a1)+a1=3（22n1+223+ +2)+23+2=22（n+）.而 a=2，所以数列 a的通项公式为an=22n1.(）由n=a=n?221知 S=?2+2?2+3?2 +n?22n1K=2V5_2-UBC=3-34+(l)2+2tV3-1)=AE=S6AC2=AD2+CD2-2AD-CE-cos50*:仍_l)2-4(V5_1):24-1奶AC=V6(V3-l)BA2+-AC2-Be2-123-9(4-23)63-&26PV6(V51)12yf31)2cos/BAC:2AB，AC2(1-4n)15 从而2Sn1?2+2?25+ +n?22n+1得 (2)?Sn=+23+25 +n1?22n+1.即18.（12 分)（2010?宁夏）如图 ,已知四棱锥 ACD 的底面为等腰梯形， BCD ，AB，垂足为 H，PH是四棱锥的高 ,E为 AD 中点(1)证明： PE C(2）若 APB= ADB ，求直线 P与平面 PEH所成角的正弦值【分析】以为原点 ,H,B,H分别为 x，,z 轴，线段 HA的长为单位长 ,建立空间直角坐标系（)表示,，计算,就证明 PE BC.()AB=AD=60 ，求出 C,的坐标，再求平面PEH的法向量 ,求向量 ,然后求与面 EH的法向量的数量积，可求直线A 与平面 PEH所成角的正弦值【解答】 解:以 H 为原点 ,HA,HB, P分别为 x，y,轴，线段 HA的长为单位长 ,建立空间直角坐标系如图,则 A（1，,),B（0,，0）(）设 C（m，0,）,P(， )（m,n0）则可得.因为所以 EBC.（）由已知条件可得m=,n= ，故C （ifo=o+4-|=ja*3di(01-(ui)=39(ti-(。I)3c)a*UI0=09*3d川0|=h16 ),设=(,y,z）为平面 PEH的法向量则即因此可以取,由，可得所以直线 PA与平面 EH所成角的正弦值为19.（12 分)(01?新课标 )为调查某地区老人是否需要志愿者提供帮助,用简单随机抽样方法从该地区调查了50位老年人，结果如表 :性别是否需要志愿男 女需要43不需要1670(）估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例;(2)能否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？誉。)，V3Y，o,oD(O,fcom)-涵=0in,HP=0nz:Qfn=(l,V3-0)UoSl17 (3)根据(2）的结论 ,能否提供更好的调查方法来估计该地区老年人中,需要志愿帮助的老年人的比例？说明理由.附:P（kk)0。0。00。001k3。8416。65。828【分析】 （1）由列联表可知调查的50 位老年人中有 40+30=70位需要志愿者提供帮助，两个数据求比值得到该地区老年人中需要帮助的老年人的比例的估算值.（2)根据列联表所给的数据， 代入随机变量的观测值公式,得到观测值的结果， 把观测值的结果与临界值进行比较,看出有多大把握说该地区的老年人是否需要帮助与性别有关（3)从样本数据老年人中需要帮助的比例有明显差异,调查时 ,可以先确定该地区老年人中男、 女的比例， 再把老年人分成男、 女两层并采用分层抽样方法比采用简单随机抽样方法更好 .【解答】 解：(1)调查的 0位老年人中有 40+30=70位需要志愿者提供帮助，该地区老年人中需要帮助的老年人的比例的估算值为.(2）根据列联表所给的数据，代入随机变量的观测值公式,。 7665，有 9%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关（）由 (2)的结论知 ,该地区老年人是否需要帮助与性别有关,并且从样本数据能看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异,因此在调查时,先确定该地区老年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女两层并采用分层抽样方法比采用简单随机抽样方法更好.2.(ad-be)E=-(a+b)(c+d)(ate)(b+d)7014%5002500 x(40X270-3OX160)E2：U7200X300X70X43018 2 （12 分) （2 ?宁夏）设 F1,分别是椭圆的左、右焦点 ,过 F1斜率为 1 的直线 ? 与相交于 A，两点，且 | AF2| ，| AB| ,| BF2| 成等差数列(）求的离心率；(2）设点 P(0,)满足| A| =P| ,求的方程 .【分析】(I)根据椭圆的定义可知 | F2+| 2+B4，进而根据 | F，| AB| ,BF2| 成等差数表示出 AB,进而可知直线 l 的方程,设（1,y1）,B（x2，y2） ，代入直线和椭圆方程 ,联立消去，根据韦达定理表示出xx2和 x1x2进而根据,求得 a 和 b 的关系，进而求得和c的关系 ,离心率可得 .(I)设 AB的中点为（ x0，y0） ，根据（ )则可分别表示出0和 y0，根据| | =| PB| ，推知直线 N 的斜率，根据求得 c,进而求得和b，椭圆的方程可得 .【解答】 解：(I)由椭圆定义知 | ABF2+A| 4，又 2| ABF2|+| B2| ,得,的方程为 y=x+c,其中.设 A(1,y1） ，B(x2,y2）,则 A、两点坐标满足方程组化简的（ a+b2）2+22x+2(c2）=则因为直线 AB斜率为 1,| AB=| x12| ，得，故 a2=2aEia2b24ab2也_0a2-y=x4c一2a2c2Twa2W)2:Ab244ab233F19 所以的离心率(II） 设 AB的中点为 N （x， y0)， 由 （I)知，由PA =B| ,得 kPN=，即得 c=3,从而故椭圆 E的方程为.2.（12 分)（010?宁夏)设函数（ x)=ex1xax2(1）若 a=0,求 f()的单调区间；（)若当 x0 时(x)0，求的取值范围 .【分析】 （）先对函数 f（x)求导，导函数大于 0 时原函数单调递增 ,导函数小于0 时原函数单调递减 .（2）根据 e1x 可得不等式 f (x）x2ax=(12a)x，从而可知当 12a0,即时， ()判断出函数f(x)的单调性，得到答案【解答】 解： （1）a0 时，f（)ex1x，f ()ex当 x(,0)时，f(x)0；当 x(，+）时， f (x）0故(x）在(,0）单调减少，在 (0,+)单调增加(I）f （x)=ex12x由()知 e x,当且仅当 x=时等号成立 .故 f (x)xax=（12a)x,从而当 12a0,即时，f （） 0(x0）,而 f()=0，于是当 x0 时,f(x） .由 ex1x（x0）可得 ex（ 0)从而当时，f (x）ex1+a(ex)=ex(ex1)（ex2a)，故当（ 0,n2a）时,f （x)0,而 f(0）,于是当 (0,lna）时,f(）.cVa2-4e二asl+x2_aZc_一2:3x0-2=-iQix糾S-(09T(綠#D)Z令ITIT1(I-)A122 函数 y=f(x)的图象如图所示 .(）由函数 yf()与函数 y=x 的图象可知，极小值在点 (2,1)当且仅当 a2 或 a时，函数 y=（x)与函数 y=ax的图象有交点故不等式 f(x)ax的解集非空时 ,的取值范围为 (,2),+)音25V32-5-4-3.2-1C12345y-2-3-4-5