高考数学专题：导数的概念及运算.pdf

专题专题 导数的概念及运算导数的概念及运算 一一 选择题选择题 1. 若 f (x0)4，则limx0 fx02xfx0 x( ) A2 B4 C18 D8 2.已知奇函数 f(x)满足 f (1)1，则limx0 fx1f1x等于( ) A1 B1 C2 D2 3. 已知 yf(x)的图象如图，则 f(xA)与 f(xB)的大小关系是( ) Af(xA)f(xB) Bf(xA)f(xB) Cf(xA)f(xB) D不能确定 4. 曲线 y13x32 在点1，53处切线的倾斜角为( ) A1 B4 C54 D4 5. 已知 P，Q 为抛物线 y12x2上两点，点 P，Q 横坐标分别为 4，2，过 P，Q 分别作抛物线的切线，两切线交于点 A，则点 A 的坐标为( ) A(1，4) B(2,4) C(1,4) D(2,4) 6.设函数 f(x)x3(a1)x2ax，若 f(x)为奇函数，则曲线 yf(x)在点(0,0)处的切线方程为 Ay2x Byx Cy2x Dyx 7. 曲线 yax在 x0 处的切线方程是 xln2y10，则 a( ) A.12 B2 Cln2 Dln12 8. 已知 f(x)x(2 014lnx)，f(x0)2 015，则 x0( ) Ae2 B1 Cln2 De 9. 若曲线 y=f(x)=ln x+ax2(a 为常数)不存在斜率为负数的切线,则实数 a 的取值范围是 A.(-12, + ) B.*-12, + ) C.(0,+) D.0,+) 10. 已知 f(x)=acos x,g(x)=x2+bx+1,若曲线 y=f(x)与曲线 y=g(x)在交点(0,m)处有公切线,则 a+b=( ) A.-1 B.0 C.1 D.2 11.如图为函数 yf(x)，yg(x)的导函数的图象，那么 yf(x)，yg(x)的图象可能是( ) 12. 已知曲线1C: 2yx与曲线2C: 2ln ()2yx x,直线l是曲线1C和曲线2C的公切线,设直线l与曲线1C切点为P,则点P的横坐标t满足( ) A. 102te B. 1122te C. 1222t D. 222t 二二 填空题填空题 13. 若 f(x)2xf(1)x2，则 f(0)等于_. 14. 如图,y=f(x)是可导函数,直线 l:y=kx+2 是曲线 y=f(x)在 x=3 处的切线,令 g(x)=xf(x),其中 g(x)是 g(x)的导函数,则 g(3)= . 15. 已知函数( )f x满足：121( )(1)(0)2xf xfefxx，则-( )=f x 16. 已知实数a，b，c满足2111aaecbd，其中e是自然对数的底数，那么22acbd的最小值为 . 专题专题 导数的概念及运算导数的概念及运算 一一 选择题选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 二 填空题 13. 14. 15. 16. 三 解答题 1717. . 已知曲线 y13x343. (1)求曲线在点 P(2，4)处的切线方程； (2)求曲线过点 P(2，4)的切线方程. 1818. . 已知直线 l：y4xa 和曲线 C：yf(x)x32x23 相切，求 a 的值及切点坐标 19.设函数 f(x)axbx，曲线 yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程为 7x4y120. (1)求f(x)的解析式； (2)证明： 曲线 yf(x)上任一点处的切线与直线 x0 和直线 yx 所围成的三角形的面积为定值，并求此定值 20. 设等差数列an的公差为 d，点(an，bn)在函数 f(x)2x的图像上(nN*) (1)若 a12，点(a8，4b7)在函数 f(x)的图像上，求数列an的前 n 项和 Sn； (2)若 a11，函数 f(x)的图像在点(a2，b2)处的切线在 x 轴上的截距为 21ln 2， 求数列anbn的前 n 项和 Tn. 21.21. 已知0a ,函数( )2xaf xxa. (I)记( )0,4f xa在区间上的最大值为g( ),求ag( )的表达式; (II)是否存在a,使函数( )yf x在区间0,4内的图像上存在两点,在该两点处的切线相互垂直?若存在,求a的取值范围;若不存在,请说明理由. 22. 已知函数22,0( )ln ,0 xxa xf xx x， 其中a是实数 设11(,()A xf x，22(, ()B xf x为该函数图象上的两点，且12xx （）指出函数( )f x的单调区间； （）若函数( )f x的图象在点,A B处的切线互相垂直，且20 x ，求21xx的最小值； （）若函数( )f x的图象在点,A B处的切线重合，求a的取值范围 专题专题 导数的概念及运算导数的概念及运算答案答案 1.D 解析 limx0 fx02xfx0 x2limx0 fx02xfx02x2f (x0)8，故选 D 2.A.A 解析 由 f(x)为奇函数，得 f(1)f(1)， 所以limx0 fx1f1xlimx0 f1xf1xf (1)1.答案：A 3.B 解析 由图可知，曲线在点 A 处的切线的斜率比曲线在点 B 处的切线的斜率小，结合导数的几何意义知 f(xA)0),根据题意有 f (x)0(x0)恒成立,所以2ax2+10(x0)恒成立,即 2a-12(x0)恒成立,所以 a0,故实数 a 的取值范围为0,+). 10.C解析 依题意得, f (x)=-asin x,g(x)=2x+b, f (0)=g(0),-asin 0=20+b,故 b=0,m=f(0)=g(0),m=a=1,因此 a+b=1,故选 C. 11.D解析 由 yf(x)的图象知，yf(x)在(0，)上是单调递减的，说明函数yf(x)的切线的斜率在(0，)上也是单调递减的，故可排除 A，C； 又由图象知 yf(x)与 yg(x)的图象在 xx0处相交，说明 yf(x)与 yg(x)的图象在 xx0处的切线的斜率相同，故可排除 B.故选 D. 12B.【解析】设l 是曲线1C 和曲线2C 的公共切线，切点分别是2,lnt tmm ， 则221ln22,ln 210(0)2mtttttmmt ， 令 2l n 21fxxx， 21 2xfxx ， 所 以 当 20 ,0 ,2xfxfx在20,2 增 函 数 ， 当 2,0,2xfxf x在2,2 减函数， 211111 0,0242ffee ， 2ln21f xxx ，在11,22e 存在唯一零点，故选 B. 13.-4 解析 f(x)2f(1)2x，令 x1，得 f(1)2，f(0)2f(1)4. 14. 0 解析由图可得曲线 y=f(x)在 x=3 处的切线的斜率等于-13,即 f (3)=-13.因为g(x)=xf(x),所以 g(x)=f(x)+xf (x),g(3)=f(3)+3f (3),由题图可知 f(3)=1,所以g(3)=1+3(-13)=0. 15. 212xexx 解析：1211( )(1)(0)( )(1)(0)2xxf xfefxxfxfefx， 令1x 得：(0)1f，1211( )(1)(0)(1)1(1)2xf xfexxffefe 得：21( )2xf xexx 16. 8解析把22acbd看成两点距离的平方，然后利用数形结合点到直线的距离 17. 解 (1)P(2，4)在曲线 y13x343上，且 yx2，y|x24. 曲线在点 P(2，4)处的切线方程为 y44(x2)，即 4xy40. (2)设曲线 y13x343与过点 P(2，4)的切线相切于点 Ax0，13x3043， 则切线的斜率为 y|xx0 x20.切线方程为 y13x3043x20(xx0)， 即 yx20 x23x3043.点 P(2，4)在切线上，42x2023x3043，即 x303x2040， x30 x204x2040，x20(x01)4(x01)(x01)0，(x01)(x02)20， 解得 x01 或 x02，故所求的切线方程为 xy20 或 4xy40. 18. 解析 设直线 l 与曲线 C 相切于点 P(x0，y0)， f (x)limx0 fxxfxxlimx0 xx32xx23x32x23x3x24x， kf (x0)3x204x0.由题意可知 k4，即 3x204x04， 解得 x023或 x02，切点的坐标为(23，4927)或(2,3) 当切点为(23，4927)时，有49274(23)a，解得 a12127. 当切点为(2,3)时，有 342a，解得 a5. 当 a12127时，切点坐标为(23，4927)；当 a5 时，切点坐标为(2,3) 19. 解 (1)方程 7x4y120 可化为 y74x3.当 x2 时，y12.又 f(x)abx2， 于是 2ab212，ab474， 解得 a1，b3.故 f(x)x3x. (2)设 P(x0，y0)为曲线上任一点，由 y13x2知曲线在点 P(x0，y0)处的切线方程为 yy013x20(xx0)，即 yx03x013x20(xx0) 令 x0，得 y6x0， 从而得切线与直线 x0 的交点坐标为0，6x0. 令 yx，得 yx2x0，从而得切线与直线 yx 的交点坐标为(2x0,2x0) 点 P(x0，y0)处的切线与直线 x0，yx 所围成三角形面积为 S126x0|2x0|6. 故曲线 yf(x)上任一点处的切线与直线 x0，yx 所围成的三角形的面积为定值，且此定值为 6. 20.【解析】(1)由已知得，b72a7，b82a84b7，所以 2a84 2a72a72，解得 da8a72， 所以 Snna1n（n1）2d2nn(n1)n23n. (2)函数 f(x)2x在点(a2，b2)处的切线方程为 y2a2(2a2ln 2)(xa2)， 其在 x 轴上的截距为 a21ln 2.由题意有 a21ln 221ln 2，解得 a22. 所以 da2a11.从而 ann，bn2n，所以数列anbn的通项公式为anbnn2n， 所以 Tn12222323n12n1n2n， 2Tn1122322n2n1， 因此，2TnTn11212212n1n2n212n1n2n2n1n22n. 所以，Tn2n1n22n. 21 解:时，是单调递减的。当时，是单调递增的。或当axaaxaaxaxaxaxaxaaxaxxfa2,231-2,2,23-12)(, 0 31（1）易知，当4时， ( )在0,4上单调递减，其最大值为 (0)-122aaf xxfa 上单调递增。上单调递减，在在时，当4 , 0)(4aaxfa );0()(4, 1 (,4, 1 (,21)0(243-1)4(fagaafaaf的最大值为时，即当解得：令 )4()( 1 , 0(faga的最大值为时，当 ，时当时当), 1 (,21 1 , 0(,243-1综上，g(a)aaaa (II)由前知,y=f(x)的图像是由两段反比例函数的图像组成的.因此,若在图像上存在两点),(),(2211yxQyxP满足题目要求,则 P,Q 分别在两个图像上,且1)( )( 21xfxf. 402,)2(3,2,)2(3)( 22aaxaaxaaxaxaxaxf时当时或当 不妨设)2)(2(38 ,(), 0(, 1)2(3)2(321212221axaxaaxaxaxaaxa 824230242334)(202222222122121xaaaxaaxaaxaaxaxaaxxaxx )21, 0(40311642432434216222424328214230222222aaaaaaaaxaxaaxxaaxax，且 所以,当)21, 0(a时成立； 22. 解: 函数 f x的单调递减区间为, 1 ,单调递增区间为1,0,0, 由导数的几何意义可知,点 A 处的切线斜率为1fx,点 B 处的切线斜率为2fx,故当点 A 处的切线与点 B 处的切垂直时,有 121fxfx . 当0 x 时,对函数 f x求导,得 22fxx. 因为120 xx,所以1222221xx , 所以12220, 220 xx. 因此 21121212222222212xxxxxx 当且仅当122x=222x =1,即123122xx 且时等号成立. 所以函数( )f x的图象在点,A B处的切线互相垂直时,21xx的最小值为 1 当120 xx或210 xx时, 12fxfx,故120 xx. 当10 x 时,函数( )f x的图象在点 11,xf x处的切线方程为 21111222yxxaxxx,即21122yxxxa 当20 x 时,函数( )f x的图象在点22,xf x处的切线方程为 2221lnyxxxx,即221ln1yxxx. 两切线重合的充要条件是12221122 ln1 xxxxa 由及120 xx知,110 x . 由得,2211111ln1ln 22122axxxx . 设 21111ln 221( 10)h xxxx , 则 1111201h xxx. 所以 1110h xx 是减函数. 则 10ln2 1h xh , 所以ln2 1a . 又当1( 1,0)x 且趋近于1时, 1h x无限增大,所以a的范围是ln2 1,. 故当函数( )f x的图像在点,A B处的切线重合时,a的取值范围是ln2 1,