学年人教B版选择性必修第二册4.2.4随机变量的数字特征作业.docx
随机变量的数字特征选题明细表知识点、方法题号离散型随机变量的均值2, 6, 7,10, 11, 12离散型随机变量的方差1, 3, 4, 5, 8, 9基础巩固1 .设随机变量X服从二项分布,且期望E (X)=3, p=|,那么方差D (X)等于 (c )A.-B. -C. D. 2 555解析：由于二项分布的数学期望E(X)=np=3,所以二项分布的方差D (X) =np (l-p)=3 (1-应选C.2 .某日A,B两个沿海城市受台风袭击的概率相同，A市或B市至少有一个受台风袭击的概率为0. 36,假设用X表示这一天受台风袭击的城市个数，那么E(X)等于(D )解析:设A, B两市受台风袭击的概率均为p,那么A市或B市都不受台风袭击的概率为(l-p)2=l-0. 36,解得p=0.2或p=1.8(舍去)，P(X=0)=l-0. 36=0. 64,P(X=l)=2X0. 8X0. 2=0. 32,P (X=2) =0. 2X0. 2=0. 04,所以 E (X)=0 X 0. 64+1 X 0. 32+2 X 0. 04=0. 4.应选 D.Y035P2314112故E(Y)二3义掷义卷1，因为E (X) >E (Y),所以学生甲的策略得分更高.3 .(多项选择题)假设随机变量X服从两点分布,其中P(X=0)4, E(X),D(X)分 别为随机变量X的均值与方差，那么以下结论正确的选项是(AB )A. P(X=1)=E (X) B. E(3X+2)=4C. D(3X+2) =4 D. D(X)三解析：随机变量X服从两点分布，其中 P (X=0) 所以 P (X=l)-17 7E(X) =OX-+lX-=-, 33 3D(X) = (0-f)2xi+(l-f)2xf=f, 3333 9在 A 中，P(X二 1)二E(X),故 A 正确；在 B 中,E (3X+2) =3E (X) +2=3 X -+2=4,故 B 正确;3在 C 中，D (3X+2) =9D (X)=9 X 故 C 错误；9在D中，D(X)=|,故D错误.应选AB. 94.(多项选择题)设离散型随机变量X的分布列为X01234pq0.40. 10.20.2假设离散型随机变量Y满足Y=2X+1,那么以下结果正确的有(ACD )A. q=0. 1B. E(X) =2,D(X)=1.4C. E(X) =2,D(X)=1.8D. E(Y)=5, D(Y)=7. 2解析：因为 q+0. 4+0. 1+0. 2+0. 2=1,所以q=0.1,故A正确；XE(X)=OXO. 1+1X0. 4+2X0. 1+3X0. 2+4X0. 2=2,D(X) = (0-2) 2 X 0. 1+ (12) 2 X 0. 4+ (2-2)2 XO. 1+ (3-2)2 XO. 2+ (4-2)2 X0. 2=1. 8,故 C 正确;因为 Y=2X+1,所以 E (Y)=2E (X) +1=5, D (Y) =4D (X)=7. 2,故D正确.应选ACD.5.设随机变量X服从二项分布B(n, p),且E(X)口.6,D(X)=1. 28,那么n=, p=.解析：因为随机变量X服从二项分布B(n, p),且 E(X)=1.6,D(X)=1.28,所以 E(X)=l. 6=np,D(X)=1.28=np(l-p),与相除可得1-P=O. 8,6所以 p=0. 2, n=i-|=8.答案:8 0.2.高考改革后，学生除了语、数、外三门必选外,可在A类科目：物理、 化学、生物和B类科目：政治、地理、历史共6个科目中任选3门.假设小明同学已经确定选了物理,现在他还要从剩余的5科中再选2 科,求他在历史与地理两科中至少选一科的概率；求小明同学选A类科目数X的分布列、数学期望和方差.解：5选2共有n二鬣二10种结果，历史和地理至少选一科有两种情况：第一种情况为选一科的,共有玛玛二6种结果，第二种情况为两科都选的,有第二1种结果，所以他在历史与地理两科中至少选一科的概率D 6 + 1 7 p=.10 10小明同学选A类科目数X可能的取值为0,1,2, 3,那么X服从超几何分布,P (X二0)二等三，20P(X=1)P(X=2)P(X=3)20- 13 c2003 c20X的分布列为X0123p120920920120E (X) =0X+1X +2 X +3 X 20202020 2D (X)=(0-) 2X+(1-)2X+ (2-)2 X + (3-)2 X 220220220220 20能力提升6 .排球发球考试规那么:每位考生最多可发球三次,假设发球成功,那么 停止发球,否那么一直发到3次结束为止.某考生一次发球成功的概率 为p (0<p<l),发球次数为X,假设X的数学期望E(X)>1. 75,那么p的取值 范围为(A )A. (0, |) B. (0,自C. (1, 1) D. (, 1) 乙JL乙解析：由题可知 P(X=D=P, P(X=2) = (1_p) p, P(X=3) = (1-p)2p+ (1-p)3= (1-p)2,那么 E(X) =P(X=l) +2P(X=2) +3P(X=3) =p+2(1-p)p+3(l-p)2>l. 75,解得p>,或 p<1,由 pe (0, 1)可得 p£ (0,应选 A.8 .(多项选择题)(2021 济南高二期中)袋内有大小完全相同的2个黑球 和3个白球,从中不放回地每次任取1个小球,直至取到白球后停止取 球，那么(BD )A.抽取2次后停止取球的概率为:B.停止取球时,取出的白球个数不少于黑球的概率为白10C.取球次数己的数学期望为2D.取球次数的方差为总解析：设取球次数为鼠可知随机变量己的可能取值有1,2, 3,那么P(=D=I，P(=2)=-X-=, 54 10P(3)=X-=-.54 10对于A选项,抽取2次后停止取球的概率P(W=2)=,A选项错误; 10对于B选项，停止取球时，取出的白球个数不少于黑球的概率为P(=l)+P(=2)=I B 选项正确； 5 10 10对于C选项,取球次数W的数学期望E( W )=1义白2义。+3义白4,C选51010 2项错误；对于D选项,取球次数W的方差D(1) = (1-|)2x|+(2-|)2X-+(3-|)2X 乙J乙，乙1 _ 910 201 _ 910 20D选项正确.应选BD.9 .随机变量 W 的取值为 0, 1, 2,假设 P(& =0) =|, E( )=1,那么 D(2 W +1)=解析：设 P (1二1)二p, P (1=2)=q, ,4p + q =三，所以*-z10x-+lp + 2q = L 5p =-,解得：E(2 +1)=2E( C)+1=2X 1+1=3,D(2 +l) = (2X0+l-3)2xi+(2Xl+l-3)2X-+ (2X2+l-3)2X+-=?. 555 5 5 5答案510.空气质量指数(AQI)是定量描述空气质量状况的指数,空气质量按 照AQI大小分为六级:050为优;51100为良；101150为轻度污 染；151200为中度污染；201300为重度污染；300以上为严重 污染.一环保人士记录去年某地六月10天的AQI的数据分别为45, 50, 75, 74, 93, 90, 117, 118, 199,215.(1)利用该样本估计该地六月空气质量为优良(AQK100)的天数； 将频率视为概率,从六月中随机抽取3天,记三天中空气质量为优 良的天数为2 ,求8的分布列及均值.解：从所给数据可以发现样本中空气质量为优的天数为2,空气质 量为良的天数为4,所以该样本中空气质量为优良的频率为白芸，10 5从而估计该地六月空气质量为优良的天数为30X(=18. 由估计该地空气质量为优良的概率为|,W的所有可能取值为0, 1, 2, 3,且1B|).所以 PG =0)二(|) 3 二治， O JL 乙。P(W=1)二禺(-)1 (-) 2=, 3 55125P2F()(喂， J JJL 乙。P(=3) = (-)3=, 5125自的分布列为g0123p8365427125125125125E(G=3X|=|.11. (2022 全国甲卷)甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项 目，每个工程胜方得10分,负方得0分,没有平局.三个工程比赛结束 后,总得分高的学校获得冠军.甲学校在三个工程中获胜的概率 分别为0. 5, 0. 4, 0. 8,各工程的比赛结果相互独立.求甲学校获得冠军的概率；用X表示乙学校的总得分,求X的分布列与期望.解：(1)设甲学校获得冠军的事件为A,那么甲学校必须获胜2场或者 3场.P(A)=0. 5X0. 4X0. 8+(l-0. 5) X0. 4X0. 8+0. 5X (1-0. 4) XO. 8+0.5X0,4X (1-0. 8)=0. 6.故甲学校获得冠军的概率为0. 6.(2)X的取值可以为0, 10, 20, 30.P(X=0)=0. 5X0. 4X0. 8=0. 16,P(X 二 10)二(10. 5) X0. 4X0. 8+0. 5X (1-0. 4) XO. 8+0. 5X0. 4X (1-0. 8)=0. 44,P (X=20) = (1-0. 5) X (1-0. 4) X 0. 8+0. 5 X (1-0. 4) X (1-0. 8) + (1-0. 5) X 0. 4X (1-0. 8)=0. 34,P(X=30) = (l-0. 5) X (1-0. 4) X (1-0. 8)=0. 06.所以X的分布列为X0102030P0. 160. 440. 340. 06所以 所X) =0X0. 16+10X0. 44+20X0. 34+30X0. 06=13.应用创新12. （2021 江西宜春高二期中）据悉从2021年起，江西省将进行新高 考改革，在选科方式、试卷形式、考查方法等方面都有很大的变化. 在数学学科中，变化如下:新高考不再分文理科数学,而是采用一套试 题测评;新高考增加了多项选择题,给各种层次的学生更大的发挥空间；新 高考引入开放性试题,能有效地考查学生建构数学问题、分析问题、 解决问题的能力.新高考数学共4道多项选择题，评分标准是每题满 分5分,全部选对得5分,漏选得3分,有错误选项的或不选的得0分, 每道多项选择题共有4个选项,正确答案往往为2项或3项.为了研究多项选择 题的答题规律,某数学兴趣小组通过研究发现:多项选择题正确答案“选两项”的概率为正确答案“选三项”的概率为(现有学生甲、乙两人, 多项选择题完全没有思路,只能靠猜.假设学生甲乱猜某多项选择题答案,在该题正确答案“选两项”的条 件下，求他不得0分的概率；学生甲的答题策略是“猜一个选项”，学生乙的策略是“猜两个选 项”，分别求出甲和乙答一道多项选择题得分的数学期望,看看谁的策略得 分更高？解：(1)分两类:乱猜一个选项得3分，乱猜两个选项得5分.猜一个选项得3分的概率为猜两个选项得5分的概率为猜两个选项得5分的概率为22 24c C故学生甲不得0分的概率P=W=1. 2 6 3设甲、乙两人的得分分别为X,Y,两人的得分的数学期望分别为E(X),E(Y),学生甲：P(X=3)三义93乂彳，P(X=O)=-X-+-X-=-, 22 24 8学生甲的得分X的分布列为故 E(X)=3><99X03P38588 8学生乙:P (丫二3)二"券), 2 C4 4P(Y=5)=|x|,P(Y=0)4学生乙的得分Y的分布列为
