单元整体视角下复习教学的实践与思考.docx

单元整体视角下复习教学的实践与思考以“一次函数”章复习课为例复习课是初中数学教学的一个重要环节，它是学生学完了初中 数学全部内容后，进行的一次系统、全面的整理.，从而到达查漏补 缺、深化知识理解、综合运用的目的。复习课的教学中，应注重知识的整体性，多关注学生的薄弱点， 帮助学生更好的理解数学知识。日前，笔者在市初三中考复习会议 中执教一次函数的中考复习课，现将这节课的教学过程及反思 与各位同仁交流提供。01教学过程1.1图象分类，回顾定义师：(如图1)屏幕上有6幅图象，请你将它们分成两类，并 说一说你的理由.生1：我是根据函数的定义分类的，(1) (3) (6)是函数,(2) (4) (5)不是函数.师：这个同学根据函数的定义分类，你能说一说函数的定义是 什么呢？生29：如图8,构造K型相似.过点B作BA的垂线4交于点C, 过点C作CD±x轴于点D.所以 ABO BCD,且相似比为6, 所以得到arC(-2 V3, 后), y = (538)x + 4.JJ*师：那如果将直线4绕点A顺时针旋转。后得到直线,2,且 2呢?生：也是一样构造K型相似.【设计意图】从直线之间平行和垂直的特殊位置时，过渡到普 通的相交位置.通过将题目中特殊的条件一步一步的一般化，利用相 似三角形，帮助学生建立确定直线的方法.同时，也帮学生复习了一 次函数、一元一次方程、二元一次方程组和一元一次不等式的联系.1.4总结思考，扬帆起航学生小结一次函数的图象和性质、k和b的意义以及求解一次 函数的方法，归纳学习过程中的经验和方法，在回顾和感悟中提升 知识的运用能力.02教学思考立足学生，确定新起点在近几年的教学过程中，笔者发现学生对于一次函数k的意义 理解浅显，在遇到通过数据判断函数类型、新定义函数绘制函数图 象、函数增减性分类讨论等实际应用问题中总是会发生错解或者漏 解.这就需要深度研究斜率k的一些相关知识，如其次，s-t图象中 直线的k就是速度v。同时经过探究，学生掌握了当两个一次函数 的图象平行时，k相等；垂直时，k互为负倒数.函数的学习过程中， 学生可以通过观察图象来加深对知识的理解，更可以借助图象深度 理解函数的基本属性，从而突破学生的薄弱点，帮助学生更加深入 的理解知识，让学生在一节课中有所收获.2.1 单元整体构架，旧知新学学生对于用待定系数法求解析式、一次函数的图象是直线是知 其然而不知其所以然.标准提到“数学知识的教学，要重视知识 的“生长点”和“延伸点”，把每堂课教学的知识置于整体知识体系中， 注重知识的结构和体系，处理好局部知识与整体知识的关系，引导 学生感受学生的整体性.”笔者通过列表法帮助如何理解k对于函数 的影响这个过程，其实就梳理了系数k, b对于一次函数的影响，函 数的增减性，也帮助学生理解k的实质，一次函数图象是一条直线 的原因，并建立了 k与三角函数的联系，拓宽了复习的宽度.即解决 了学生的疑难点，又梳理了知识，同时让学生体会数学知识可以从 不同角度加以分析、从不同的层次进行理解.2.2 解决问题，积累活动经验两直线的位置关系不仅仅只有平行和垂直这两种特殊关系，更 多是相交.而这类问题往往出现在填空的压轴题或者是解答的压轴 题的一局部，学生存在畏难情绪.因此笔者设计问题，由学生提出平 面直角坐标系中有两个一次函数可以有哪些问题，如何解决.在梳理 了一次函数与一元一次方程、二元一次方程组、一元一次不等式之 间的联系的基础上，让学生感受到解决这个问题的迫切性.笔者刚开 始给出特殊的数据，帮助学生建立解题的信心.通过原函数k 一般化、 旋转角一般化，帮助学生搭建解决问题的脚手架,利用相似三角形, 通过数形结合，为求解直线的解析式提供新的方法.通过这个环节数 学活动，让学生经历不同角度分析和解决问题的方法的过程，掌握 分析问题和解决问题的一些基本方法，让学生在“解题”和“思考”的过 程中积淀数学活动经验提升数学素养.生2：(学生沉默了一会儿)(1)是一次函数、(3)是二次 函数，(6)是反比例函数.师：这个同学把我们所学过的函数找了出来，但我们所学到只 是众多函数中的冰山一角.判断图象是不是构成函数关系还是应该 从本质定义着手.生3：应该是一个x只能对应一个y, (1) (3) (4) (6) 是函数，(2) (5)不是函数.师：很好！确切的说是有两个变量x, y,对于x的每一个确定 的值，y都有唯一确定的值与之相对应.还有其他分类方式吗？生4： (1) (2)的图象是直线，(3) (4) (5) (6)的图 象是曲线；师：那既是函数，图象又是直线的是哪幅图？这是什么函数？生：(1), 一次函数.【设计意图】学生已经学习了一次函数、反比例函数和二次函 数，具有一定的知识基础.通过图象分类，唤起学生脑海中函数的定 义，将局部知识纳入整体知识体系中，并引出本节课复习的主题一 次函数.1.2 知识重构，百川归海师：如果我想求解这条直线的解析式，你认为题目应该提供哪 些条件？生5：这条直线上的两个点.生6：直线上的一个点和b值.生7：直线上的一个点和k值.师：为什么两个条件就可以确定这条直线的函数解析式？生8：因为图象是直线的函数是一次函数，而一次函数的解析 式是y=kx+b（kHO）,未知量只有k和b,两个未知数，两个方程 就可以解.师：这位同学从代数的角度解释了这个问题.还有其他解释吗？生9：两点确定一条直线.师：直线上的两个点确实可以确定一条直线.那么直线上的一个 点和b值如何确定直线呢？生10： b代表直线与y轴的交点为（0 ,b）,只要两点不重合， 所以也可以解释为两点确定一条直线.师：那么直线上的一个点和k值如何确定直线呢？（大家沉默一会儿）生11： k决定了函数的方向，就像射线一样.师：能不能具体的说k如何决定函数的方向？生12： k>0时，图象是左低右高的，kvo时，图象是左高右 低的.师：从这位同学的表述中我们感受到了 k对于函数y随着自变 量x增大而增大还是y随着自变量x增大而减小的影响.但是我们是 否还可以再具体一些呢？从数量上感受k的大小对于一次函数值的 影响？如何只研究k对于函数的影响？生13：比方一次函数y=2x+5和y=3x+5,两个函数b一样, 但是k=3的一次函数比k=2的一次函数更加陡.师：从这位同学的表述中我们感受到了 k对于函数y随着自变 量x增大而增大的程度.函数的图象可以帮助我们直观感受函数的变 化趋势，但是如果我们想要更加精准的研究k对于一次函数的影响, 可以考虑函数的哪种表达形式？生：列表法.师：那如何列表格可以更加精准的表达k对于一次函数的影响 呢？生14：对于y=2x+5和y=3x+5,研究相同的x值.(众生动手画表格)（表1）X 01234 y 5791113 y .58111417 师：通过比拟数据，大家发现了什么？生15：当k=2时，x增加1个单位，y就增加2个单位；当k=3 时,x增加1个单位,y就增加3个单位；也就是说x增加1个单位， y就增加k个单位.师：很好！如果现在给你2个点(0,5), (5,-15),不用待定系数法，你能求解经过这两点直线的k值吗？请说一说你的算法.生16： x增加5个单位，y就减少了 20个单位，k= (-15-5)-(5-0) =-4师：是否需要有可能是5- (-15) - (5-0) =4呢？生17：不行，从点(0,5)到点(5,5), x增加5个单位，y就减 少了 20个单位，很明显k<0.师：如果给的2个点是(x1,y1), (x2,y2)呢？生：左=3.丫2-怎师：那我们如何在图象上表达呢？生18：如图2,x, -Xj AC就是直线与X轴夹角的正切值.师：当k<0呢？生19： k的绝对值是直线与x轴所夹锐角的正切值.师：所以说用二1311a.那你现在可以从本质上解释为什么一次 函数的图象是一条直线了吗？生20：如图3,以函数y=2x+5为例，从表1中选取 A(0,5),B(1,7),C(4,13),连接 AB,BC,过点 A、B 作 x 轴的平行线， 过点B作BE±AE于点E,过点C作CF±BF于点F,由计算得 k(AB)=k(BC),所以/BAE=nCBF, ABllBC,而这两条直线都经过 点B,所以三个点在同一直线上.【设计意图】通过解决一次函数的图象为什么是一条直线这个 问题，唤醒学生脑海中b和k对一次函数的影响，明确比例系数k 的意义是x增加1个单位，y就增加k个单位.学生已经学习过三角 函数，建立k和直线与x轴所夹锐角的正切值的联系，从本质上解 释函数图象为何是一条直线.1.3 提炼经验，深度挖掘师:你认为附=3&还可以帮互助我们解决那些问题呢？生21 ： 一次函数y随着自变量x增大而增大，或者增大而减小， 不会像二次函数一样，一会儿增一会减.生22：它可以解释函数的取值范围;生23：当一次函数的图象平行时，k1=k2；生24：当一次函数的图象垂直时，k1-k2=-1；师：你能说说为什么吗？生25：如图4,因为两直线垂直，所以n1+n2=90。，而z 2+Z 3=90°,所以N 1=z 3；匕匕=-tan Z3 - tan Z4 = - =-11 -OB OA师：非常优秀！那么除了平行和垂直，两条直线还有可以有其 它位置关系吗？生：相交.师：两条直线相交必然有交点，那么如何求交点呢？交点有什 么意义？生26：交点就是这个点既在直线,1的解析式上，又满足直线与 的解析式，相当于解方程.师：这位同学说的真棒！也就是说我们可以利用一次函数图象 解一元一次方程；还能有什么呢?生27：除了解一元一次方程，还可以解二元一次方程组，还可 以看出不等式的解.如图5,如果点A的横坐标是2,那么如果kx+b >mx+n的解就是x>2.师：同学们都很厉害！老师突然有个想法，刚才我们提到了两 直线平行和垂直这两种特殊位置的k存在特殊数量关系，可以求解 函数关系式.如果我现在仅仅是相交成一个锐角，可以求解函数关系 式吗？我们来看一个具体的问题.（图6）练习1：如图6, 一次函数）'=底+ 4的图象4与y轴相交于点A, 将直线4绕点A顺时针旋转30。后得到直线,2 ,求4的解析式.（学生思考了一会儿）生28：可以，因为广3、+4,所以nABO=60。，又因为旋转”3 x + 4顺时针旋转30。，所以nACO=60。，所以 3'3-师：大家赞同他的解法吗？很厉害哦，直接利用了网.血。的 结论.但是我们只学过13n3°° =?的6。=有，如果k改成其他值呢？我 们还能用这个方法吗？（图7）练习2：如图7, 一次函数y=2x+4的图象4与x轴相交于点A, 将直线4绕点A顺时针旋转30。后得到直线4 ,求,2的解析式.（学生思考了一会儿）师：我们一般如何利用30。?生：和直角放在一个三角形中.师：那你认为可以如何添加辅助线构图呢？生：过点B作BA的垂线.师：你想到了什么？（图8）