湘教版选择性必修第一册3.1.2椭圆的简单几何性质学案.docx
3. 1.2椭圆的简单几何性质1 ,椭圆的简单几何性质思考1椭圆上的点到焦点的最大距离与最小距离分别是什么?焦点的 位置焦点在X轴上焦点在y轴上标准方程久2 y2土+匕二 1 a2匕2(a>b>0)生Ml a2 b2(a>b>0)图象ay小yVAk 08)a2%fill 0对称性对称轴:X轴和V轴,对称中心:(0, 0)范围a a,x£ -b, b, y e -a, aye -b, b顶点Ai (-a, 0), A2 (a, 0), Bi (0, -b), B2 (0, b)Ai (0, -a), A2 (0, a),Bi(b,0),B2(b, 0)轴长短轴长BiB2二2b,长轴长AiA2 =2a隹占八、八、一 (-c,0),F2(c, 0)Fi(0,c),F2(0, c)焦距1FF21 =2c离心率e(0<e<l) a提示:最大距离为a+c;最小距离为a-c.22思考2椭圆方程,为1 (a>b>。)中a, b, c的几何意义是什么?_4V2一丁，可得而二1,即1Tl二土 1.答案：±122提示:在椭圆方程t+*l（a>b>0）中,a, b,c的几何意义如下图,即 az bza, b,c正好构成了一个以对称中心、一个焦点、一个短轴顶点为顶点的直角三角形.222.点P （xo, y0）与椭圆?卷二1 （ab0）的位置关系点p在椭圆上0胃+*1；a2 b2-22点P在椭圆内部=引合1;22点P在椭圆外部=争碧>1.a2 b2223.直线y=kx+m与椭圆今+9=1 （ab0）的位置关系判断方法 az bzy = kx + m,/ y2 _消去y得一个一元二次方程.忘+记=L位置关系解的个数的取值相交2A>0相切1A=0相离0 <01 .判断正误（正确的画“，错误的画“X” ）.22椭圆今+2=lG>b>0）的长轴长等于a. （ X ） a2 b2椭圆上的点到焦点的距离的最小值为a-c.（V ）椭圆的长轴、短轴就是x轴和y轴.（X ）v2 c（4）椭圆，y2=l中，变量x的取值范围是（X ）椭圆的离心率e越小，椭圆越圆.（V ）2 .椭圆6x?+y2=6的长轴端点坐标为（D ）A. （-1,0）, （1,0） B. （-6, 0）, （6, 0）C. (-V6, 0), (V6, 0) D. (0, -V6), (0, V6)3.椭圆x2+4y2=4的离心率为,焦距为.答案:f 2V3至探究点一椭圆的几何性质例1求椭圆4x?+9y2=36的长轴长、焦距、焦点坐标、顶点坐标和 离心率.22解:椭圆方程变形为3+一二1,94所以 a3, b=2,所以 c=Va2-/)2=V9-4=V5.所以椭圆的长轴长和焦距分别为2a=6,2c=2V5,焦点坐标为 Fi (-V5, 0), F2(V5, 0),顶点坐标为 A1 (-3, 0) ,A2(3,0), Bi (0, -2), B2 (0, 2),离心率e，晔 a 3求椭圆的几何性质时,应把椭圆方程化为标准方程,注意分清楚焦点 的位置,这样便于直观地写出a, b的数值,进而求出c,求出椭圆的长 轴长和短轴长、离心率、焦点坐标和顶点坐标等几何性质.变式训练1假设椭圆方程为9x?+16y2=144,求其长轴长、短轴长、离 心率、焦点坐标和顶点坐标.解：椭圆方程化成标准方程为16 9所以 a=4, b=3, c=V16-9=V7.所以椭圆的长轴长与短轴长分别为8和6,离心率e=a 4焦点坐标为件(一夕,0), F2 (V7, 0);四个顶点的坐标分别为A1(-4, 0), A2(4, 0),B1(0,-3),B2(0, 3).探究点二由椭圆的性质求椭圆方程例2求适合以下条件的椭圆的标准方程.椭圆过点(3,0),离心率在X轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直,且焦距为8.解：(1)假设焦点在x轴上,贝I a=3.因为e=-=,所以c=V6, a 3所以 b2=a2-c2=9-6=3.22所以椭圆的标准方程为3+5=1.假设焦点在y轴上,那么b=3,解得a2=27.22所以椭圆的标准方程为方针1.综上,椭圆的标准方程为署+?=1或3+9=L22设椭圆的标准方程为/V二1 az bz(a>b>0).如下图,ZXAFAz为等腰直角三角形，0F为斜边AR的中线(高)，MI OF | =c, | AiA21 =2b,所以 c=b=4,所以 a2=b2+c2=32,22故所求椭圆的标准方程为3+2=1.32 16用几何性质求椭圆的标准方程通常采用的方法是待定系数法.根据条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准,定参数”，即 先明确焦点的位置或分类讨论.一般步骤是:求出a2, b2的值;确 定焦点所在的坐标轴；写出标准方程.在求解a2, b2时常用方程（组）思想,通常由条件与关系式 a2=b2+c2, e二等构造方程（组）加以求解.a变式训练2求适合以下条件的椭圆的标准方程.焦点在x轴上,短轴长为2,离心率罟:长轴长是短轴长的5倍,且过点A（5, 0）.22解：设椭圆的标准方程为=+2=l（ab0）, az bz（a2 = b2 4- c2,由题意知=也， I a 2 （2b = 2,解得 a-V2, b-1,2 因此,椭圆的标准方程为乎+y2=l.假设椭圆焦点在X轴上，22设其标准方程为？刍二1 （ab>0）, az bz（2a = 5 x 2b,- r由题意得25,01解得厂支v2故所求椭圆的标准方程为+y2=1.假设焦点在y轴上,设其标准方程为yj2 v2三+弓=1 （a>bO）, az bz2a = 5 x 2瓦（门nr由题意，得9,至解得A二件，（。2 十匕2 &b - 5.22故所求椭圆的标准方程为*+,=1.625 2522 2综上所述,所求椭圆的标准方程为+y2=l或鼻+=1.25625 25&>探究点三 椭圆的离心率例3假设椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形,那么该椭圆的离心率为（）A. -B. C. D.2244解析:设椭圆的短轴的一个端点为B, Fb F2为两个焦点,0为坐标原点,依题意，BFE是正三角形.因为在 RtZXOBFz 中，IOF2I =c,|BF2|=a, Z0F2B=60o ,所以 acos 60° =c,所以与 a 2即椭圆的离心率e=1应选A.求e的值或取值范围问题就是寻求关于e的方程或不等式,具体如下:假设a, c可直接代入e，求解； a假设a, b,那么使用e=5号求解;假设b, c,那么求a,再利用或求解;(4)假设a, b, c的关系,可转化为关于离心率e的方程(不等式)求值 (范围).变式训练3件为椭圆的左焦点,A, B分别为椭圆的右顶点和上 顶点,P为椭圆上的一点，当PF】_LF】A, POAB(O为椭圆的中心)时,求 椭圆的离心率.解:由可设椭圆的标准方程为V2 yj2?2(ab0),为2那么由题意可知p(-c,t).a因为PFQsaboa,b2所以陪二噜,所以即b二C, I BO| OA|b a所以a2=2c2,所以e上坐.a 2探究点四一直线与椭圆的位置关系丫2、例4对不同的实数m,讨论直线y=x+m与椭圆+丫?=1的位置关系.4 ry = x + m,2解:由色+俨=1消去y,得+(x+m)2=1,整理得 5x2+8mx+4m2-4=0.二(8m) 2-4 X 5 (4m2-4) =16 (5-m2).S-V5<m<V50t, A >0,直线与椭圆相交；当m二-遍或方伤时， =0,直线与椭圆相切；当水-遮或inV5时，A<0,直线与椭圆相离.直线与椭圆位置关系的判定及弦长公式的运用直线与椭圆公共点个数问题,一般转化为方程根的问题，由判别式 进行判断.求直线椭圆截得的弦长,一般用弦长公式| AB I 二川1 + H | X1-X2 I =a/1 + k2 J (%1 + %2)2-4%1%2进行求解，也可 利用IAB|=J1 +专|y-y2|=J1 +表- J(yi +y2)之7丫必进行求解.变式训练4如图，一直线与椭圆4x?+9y2=36相交于A, B两点, 弦AB的中点为M(l, 1),求直线AB的方程.解:设过点M(l, 1)的直线AB的方程为y二k(x-1)+1,代入椭圆方程,整 理得(9k2+4) x2+18k(l-k) x+9 (1-k) -36=0.设点A, B的横坐标分别为X1,x2,那么第二募翳二1，解得 故直线AB的方程为y=-l(x-l)+l,9即 4x+9y-13=0.22L椭圆三+9=1的离心率为(D ) 15 16V7T A1 - 41 - 3B.解析：由题意得a2=16, b2=15, c2=l,从而e=-=i.应选D. a 4222.(多项选择题)点3)在椭圆9+9=1上,那么以下说法不正确的选项是(ABC )A.点(-2, 3)在椭圆外B.点2)在椭圆上C.点(-2, -3)在椭圆内D.点(2, -3)在椭圆上解析：由椭圆的对称性知点(2,-3), (-2,-3), (-2, 3)也在椭圆上.应选ABC.22.直线y=x+l被椭圆-+一二1所截得的弦的中点坐标是(C )3 2A. (-, -)B.(-,-)3 33 4C.i) D.(-兰巧3 322解析:设A(xi, yi), B(x2, y2)为直线与椭圆的交点,AB中点为M(x0, y0),(y = % + 1,由立+艺=1,I 42得 3x2+4x-2=0.那么(令-|,y0=x0+l=所以所求中点坐标为(-1,应选C.4.椭圆x2+2y2=2与直线y=x+m交于A, B两点,且| AB |二警,那么实数m的 值为.解析:设 A (xi, yi), B (x2, y2),由仔2 + 2y2 = 2,得 3x2+4mx+2m2-2=o, (y = % + m贝！ X1+X2=一等,xix2=2m 2.所以 I ab|二V5|xx2 =a/2 / (%1 + %2)2-4%1%22_ 8m2-83
