03 不等式 - （解析版）.docx

专题三不等式1.（2022临沂二模）10.a, ZR,那么使成立的一个必要不充分条件是（）A. 6Z2+Z?2 >1B. a + b>C. 2。+2”>1D.a b【答案】BC【解析】【分析】对于A、D选项，取特殊值说明既不充分也不必要即可；对于B,先取特殊值说明 不充分，再同时平方证必要即可；对于C,先取特殊值说明不充分，再结合基本不等式证必 要即可；【详解】对于A,当 = = 1时，满足"+>,不满足 +即/+>1推不出q+Z?>1,不充分；1 3当1 =不/时，满足+人>1,不满足即+b>l推不出2 4不必要；A错误；对于B,当. = = 1时，满足|。| + |>1,不满足。+力>1,即|。| + |>1推不出 a+b> ,不充分；当Q + >1时，平方得/ +2。+。2 > ,又（同+问/=问2 +2|园+网2+2" + /,又+阳。，故| +屹|>1,即。+ >1能推出|。| + |。|>1 ,必要；B正确；对于C,当a = b = 0时，满足2" +2" > 1，不满足+匕>1,即T +2" > 1推不出a+b>, 不充分；当。+>1 时，由 2" >0,2" >0, 2" + 2" 2 2d2a.2" = 2VF7r> 20 > 1，即。+人>1 能 推出2"+2'>1，必要；C正确；1 4 b+14 b+对于D,当=一时，满足一+ >10,不满足即一+ >10推不出2 a ba ba+b>l,不充分；4 b+14 b+1当。=21=1时，满足+人>1,不满足一+>10,即+人>1推不出一+>10,a ba b不必要；D错误.应选：BC.2. （2022荷泽二模）10.设质6为两个正数，定义许6的算术平均数为4（%。） = ；-, 几何平均数为G（,= yab.上个世纪五十年代，美国数学家D.H. Lehmer提出了“Lehmer均值”，即乙（4/）=二_二、7 ,其中P为有理数.以下结论正确的选项是（）八.4（。力）4 4 （。力）D.0+i(a,b)<L(a,b)【答案】AB【解析】【分析】根据基本不等式比拟大小可判断四个选项.人 G + 67【详解】对于A, %.5（。/厂=茄4（力）=史一，当且仅当=时，等石十为? = a? = A（q,Z?）,当且仅当 = /?时，等号成立，故C不正确; 2（a + b）2石十为? = a? = A（q,Z?）,当且仅当 = /?时，等号成立，故C不正确; 2（a + b）2号成立，故A正确;lab 2aba + b工二 = G（a,b）,当且仅当。=匕时，等号成立，故B正确;97 9,.,/7、矿+Zr对于 C,乙2(。，")=a + b97 9,.,/7、矿+Zr对于 C,乙2(。，")=a + ba2 +b2 +a2 +b2 > a2 +b2 + 2ab2( + /?)2(a + b)对于D,当孔=1时，由C可知,心2（兄。）2=L、（a,b）,故D不正确.应选：AB3. (2022 日照二模)3.假设 a, b,。为实数，且。人，c0,那么以下不等关系一定成立的A. a + c <b + cC. ac> beD.b-a>c【答案】A【解析】【分析】由不等式的基本性质和特值法即可求解.【详解】对于A选项，由不等式的基本性质知I,不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号方向不变，那么4<b=>Q + C<Z? + C, A选项正确;对于B选项,对于B选项,由不等式的基本性质知，不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号方向改变，假设 =一2, b-y那么B选项错误； a b对于C选项，由不等式的基本性质知，不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号方向不变，c>0, 0<a<bac<bc C选项错误；对于D选项，因为=c>0,所以无法判断一。与c大小，D选项错误.1?4. （2022日照二模）14.第一象限 点在直线x+y 1 = 0上，那么一+ 一的最 a b小值是.【答案】3 + 2拒#2血+ 3【解析】【分析】由第一象限的点"力）在直线x+y1 = 0上，可知+人=1,。>0, b>o,带入原式中，利用基本不等式即可求解.【详解】解:因为第一象限的点"（/）在直线x+y 1 = 0上，所以。+人b>0,所以，+ 2 = （ + /7）|<_1 + 2 = 3 + 2 +网 2 3 + 20,a bb）a b当且仅当。=五1,人=2五时等号成立，故答案为：3 + 272 .5. （2022泰安三模）9.q, Z?eR, >0力>。，且 +人=2,那么以下说法正确的为（ ）B. log2 + log2 Z? 0B. log2 + log2 Z? 0A.必的最小值为1C. 2a + 2/? >4D. - + ->2 + 42a b【答案】BC【解析】【分析】直接根据基本不等式判断各选项的对错即可.【详解】因为，>0力>。，由基本不等式可得a + 茄，当且仅当时等号成立, 又。+ /? = 2,所以当且仅当。=/? = 1时等号成立，故打的最大值为1, A错， log2 a + log2b = log2 ab<0,当且仅当 =/? = 1时等号成立，B对,2" + 2" 2 2J2a2" = 2d2"b = 4，当且仅当a = Z? = 1时等号成立，C对,I b a）2吟,当且仅当 =2后2, = 4 2夜时等号成立，D错, 应选：BC.6. （2022泰安三模）10.实数x,歹满足方程丁 + 94%2y + 4 = 0,那么以下说法正 确的是（）A.2的最大值为一B."的最小值为0x3xC.犬+）,2的最大值为遥+ d.叶丁的最大值为3 + J5【答案】ABD【解析】【分析】根据上的几何意义，结合图形可求得上的最值，由此判断A, B,根据f + j?的 XX几何意义求其最值，判断C,再利用三角换元，结合正弦函数性质判断D.【详解】由实数x, y满足方程f + V4x 2y + 4 = 0可得点（羽丁）在圆（x-2+（"1）2=1上，作其图象如下，因为上表示点与坐标原点连线的斜率, x|2 左一1|4设过坐标原点的圆的切线方程为y =丘，那么,:I,解得：左=0或%,VF7T3二° , A, B 正确;? +表示圆上的点（x,y）到坐标原点的距离的平方，圆上的点（羽丁）到坐标原点的距离的最大值为所以f+最大值为(oq+i)2,又凶=也+产,所以f+尸的最大值为6 + 26，C错,因为£ + y 4因此，一+一的最小值为3.因为£ + y 4因此，一+一的最小值为3. a c _4x _ 2y + 4 = 0 可化为(x 2)2 +(j-1)2 =1,故可设x = 2 + cos8, y = l + sin<9 ,i-( 兀、所以 x+y = 2 + cos8 + l + sine = 3 +J2sin 0- ,I 4j所以当时，即 = 2 +立,y = l +走时x+y取最大值，最大值为3 +血，D对, 422应选：ABD.7. (2022济宁三模)5.二次函数 X)= q2+2x + c(X£R)的值域为l,+oo),那么1 4I的最小值为() a cA. 3B. 3C. -4D. 4【答案】B【解析】11 44【分析】由二次函数的值域可得出，=>0,可得出cl,那么有一+ =。+ 1,利 c-1a cc用基本不等式可求得结果.【详解】假设。=0,那么函数/(x)的值域为R,不合乎题意，因为二次函数= ax2+ 2x+c(x e R)的值域为1,+<句,那么。> 0,且/(x),=如二± =竺二1 = 1,所以， v 7m,n 4a a口-144 1c I4所以，l c1N 2、c 1 = 3,a c c V cac-a 可得4 = >0,那么c>l, c-1当且仅当c = 2时，等号成立，应选：B.7. (2022济宁三模)5.二次函数/(X)= G：2+2x + c(x£R)的值域为1,+8),那么1 4I的最小值为() a cA. 一3【答案】B【解析】B. 3C. -4D. 411 44【分析】由二次函数的值域可得出 >0,可得出cl,那么有+ =。+ 1,利 c-1a cc用基本不等式可求得结果.【详解】假设4 = 0,那么函数/(x)的值域为R,不合乎题意，因为二次函数/(X)= ax 99. (2022济南三模)13.正实数a, b满足力? = 4,那么一+ ：的最小值为a b【答案】3【解析】【分析】利用基本不等式求目标式最小值，注意等号成立条件.因为二次函数/(X)= ax 99. (2022济南三模)13.正实数a, b满足力? = 4,那么一+ ：的最小值为a b【答案】3【解析】【分析】利用基本不等式求目标式最小值，注意等号成立条件. +2x + c(x G R)的值域为1,+8),那么 > 0,4ac 4 ac-l4ac 4 ac-l4a=1,所以，ac-a 可得那么 cl,所以，一 a+=c+4当且仅当。=2时，等号成立,【详解】由题设,当且仅当人=9=6时等号成立.1 4因此，一+ 一的最小值为3.a c应选：B.故答案为：3