（本科）概率论与数理统计模拟试卷试题及答案2套.docx

概率论与数理统计模拟试卷试题及答案2套一、填空题(每题3分，共15分).某门诊有三个诊室，先后有三个患者来看病，病人可随机选择诊室，那么每个诊室恰好接 待一个患者的概率为.1 .设随机变量X伙1,-),随机变量y = 2X + l,那么PYW2=.41v V3 .设随机变量(X,y)N(2,0,22,32,), Z=2L,那么。(Z)二.24 2.设X«)，其中 > 1,那么.X.设总体X仇l,p),1,0, 1, 1, 0是来自总体X的样本观察值，那么的矩估计值为.二、选择题(每题3分，共15分).假设事件A和B满足P(例A) = l,那么().(A) A是必然事件 (B) P(8|Q = 0(C)AoB (D) Au4(-11 A.设随机变量x与y独立同分布，x ,，那么必有().12/3 1/3；(D) PX = Y = (A) X = Y (B) PX = Y=5/S(C) PX = Y = 5/9.设X(i = l,2,是独立同分布的随机变量，E(Xi) = ,。(乂,.)= 4且E(X;)存在,i = l,2,，对任意整数£>0,那么()成立.limP"TOO制-3(D)<£> = ).1 .在假设检验中，原假设为M),检验显著性水平为。，那么以下各式正确的选项是(A) P接受 HolHo正确=a(B) P拒绝 H()M 正确二a(C) P接受 HolHo 正确=-a(D) P拒绝 Ho|Ho 正确二1 - a.设有一批零件的长度服从正态分布N("«2),其中，均未知，现从中随机抽取16个零件，测得样本均值1 = 9(cm),样本标准差为s = l(cm),那么的置信度为0.95的置信区间为().所以X是。的有效估计.（A） （9±?°g（16）（B） （9±lr005（16）（C） （9±，o.o5（15）（D） （9±1/o.O25（15）元件制造厂次品率提供元件的份额10.020.1020.010.753().030.15三、（10分）某电子设备制造厂所用的元件是由三家元件制造厂提供的，根据以往的记录有 以下的数据：设这三家工厂的产品在仓库中是均匀混合的。在仓库中随机取一只元件，求它是次品的 概率.四、（14分）设（X,Zy(l - x), 0 < x < 1, 0 < y < x0其它（I）求常数%（2）求（X, V）关于X及y的边缘密度打。）和/y（y）;（3）计算概率Px + y<i.五、（10分）设总体x在区间（0,。）上服从均匀分布，X, , X2, X3, X4为其样本.试求（1） max（X.）的概率密度函数；（2） E（- max（X.） - 0）.l</<4 '2 ”话4 1六、（12分）某箱装有100个产品，其中一、二、三等品分别为60、30、10件.现在从中随机抽取-件，记X,=L抽要¥，（i = l,2,3）.（）, 其它试求:（1） X1与X2的联合分布律；（2） X1与X2的相关系数p.七、（12分）某家庭的日开支X （元）的任意三次抽样为40, 20, 30,设x-/（x）=r（x-10）e "叫"i° ,求参数的极大似然估计值（保存三位小数）, 0,x<10八、（12分）机器包装袋盐，假设袋盐重量服从正态分布，规定袋重标准差不能超过12g, 某天开工后要检查机器工作是否正常，从装好的袋盐中随机抽查9袋，测得样本标准差为 16.03g,问按显著性水平。= 0.05,能否认为包装机工作是正常的？参考答案：一、填空题1. 22. 394二、选择题4. F(n, 1)5-i(1) D 2. C 3. C 4. B 5. D三、解：记A表示“取到的是一只次品"，B, (i = l,2,3)表示“取到的产品是由第i家工厂提供的”那么 P(B,) = 0.10, P(B2) = 0.75,P(50 = 0.15,P(A|B1) = 0.02, P(A| 与)=0.01, P(A|&) = 0.03,由全概率公式得 P(A) = Z P(Bj)P(A I BJ = 0.014.f=l四、解：(1)由 Jwj /(x,y)&Edy = £1；%)，( 1一工)dxdy = / = l ,得 Z: = 24.(2), 用“ ,I fV24y(l-A：)dy, 0<x<l 12(1-x), ()<x<l/x(x)= L/ay)d),= J。= n甘J-0,其它°， 其匕心)=小加$24y(一曲，0<y<l J12y(/-2y + l), 0<y<1Jr 0,其它1°，其它P(X + y < 1 = jj f(x, y)drdy = j； j24y(1 - x)cLrdy = £2 2y - 24)，dy =.x+y<.y°2五、解.：令y:理”p,由x的分布函数2x)=五、解.：令y:理”p,由x的分布函数2x)=o, x 91,x<00 W x V。得,x> 0丫的分布函数为月(y) = F(y)4,0 < y < 0其它0 < y < 0其它4)产所以y的概率密度为力()，)=(7- o(3) E(D = J：舁y =1 , 、143E( max(X.) -0) = 0-0 = - 0 .P X, = 0, X2 = 0 = P X3 = 11 = 0.1.X0100.10.60.710.300.30.40.6(2) £(%,) = 0.6, E(X2) = 0.3, E(X；) = 0.6, E(X22) = 0.3,O(XJ = 0.6-06 =0.24, 0(X1 = 0.3-0.32 =0.21, E(X/) = 0 ,E&XJ-aX) Eg _ 一0.6x().3 _ V42J/XXjjDg7624 x/02T14七、解：构造似然函数:n£，（七_0）2x > 10, i = 1, 2,，x > 10, i = 1, 2,，L（加=口八七）= 口（七 一 1。） e1=l 2 '其对数似然函数为:In L(a) = In n /区)= In a + g ln(xz -10)-J； (x,.-10)2/=1i=2 9xi > 10, i = 1, 2,，令色lnL() =巴一十(七一10)2=0,得6 =da a 2 Th£)£®to)2i=代入相关数据得4 « 0.004. 八、解：检验假设 0：/22 H, :O-2 >122,取检验统计量Z2 =%二乎1? （ - 1）, %拒绝域形式为/27/5一）,。7,T中。7,T中« 14.276 < 15.507 = ZoO52(8)/值不在拒绝域内，接受“0：。24|22,综上讨论，认为包装机工作正常.概率论与数理统计试卷4一、填空题(每题3分，共15分).随机变量X的分布函数为Ax)=A+8arctanx,那么A=, B=,概率密度函数 /W=1 .设随机变量X和y的数学期望都是2,方差分别为1和4,而相关系数为0.5,那么根据切 比雪夫不等式PX-Y> 6<.2 .设X” X2, X3, X4是来自正态总体N(0, 3?)的简单随机样本，X = « (Xi-2X2)2+Z? (3X3 4X4)2.那么当", h=时，统计量X服从%2分布，其自由度为.3 .设总体 XN(,。2),那么生W分布，E (S 2) =, D (S 2)=.4 .设随机变量X, 丫相互独立都服从正态分布N(0,32),而X|,X2,X9和匕，匕,，丫9分别是来自总体X和y的简单随机样本，那么统计量U=+ X, + X%服从分布,标+ +.+/参数为.二、选择题(每题3分，共15分).x服从参数为，的二项分布且石(X) = 3.6, E(X2) = 14.4,那么，的值分 别为()(A) 6,0.6(B) 12,0.3(C) 36,0.1(D) 24,0.15.设两个相互独立的随机变量X和y分别服从正态分布M01)和ML1),那么( )(A) PX+y<0=0.5(B) PX+Y< =0.5(C) PX-y<0=0.5(D) PX-Y<=0.5.设随机变量X, 丫都服从标准正态分布，那么()(A) x+y服从正态分布(B)x2+*服从于分布(O X?和丫?都服从婷分布(D)乂2/产服从F分布1 .设两个随机变量X与y相互独立同分布：PX= -1 = 0.5, PX= 1=0.5,那么以下各 式成立的是()(A) PX= y =0.5(B) PX= Y = 1(C) PX4-y=0 =0.25(D) PXY= I = 0.25.设Xi，X?,X是来自正态总体N(0, 1)的简单随机样本，又、S分别是样本的均值和样本标准差，那么有()(A) /仅N(0,1)(B)又N(0,l)(C)二“-1)(D)为X；/()三、(10分)某射手进行射击，每次射击击中目标的概率为射击进行到击中 目标两次时为止.令X表示第一次击中目标时的射击次数，y表示第二次击中目标时的射击 次数，试求x、y的联合分布列p”，条件分布列御，0，及条件期望臼*y=.四、(15分)某种电子仪器由甲乙两部件构成，以x, 丫分别表示甲乙两部件的寿命(以小时计）.x和y的联合分布函数为_产0,_产0,已-0.5y + e-0.5(.r+y)x>0,y0其它（I）关于X, 丫的边缘分布函数尸X*）及尸卷）；（2）问X和y是否相互独立，为什么？（3）求X与y的联合概率密度/。,），）； （4）计算两个部件的寿命都超过100小时的概率.五、（10分）某单位内部有260部 分机，每个分机有4%的时间要用外线通话，可以认 为各个 分机用不用外线是相互独M的，问总机要备有多少条外线才能以95%的把握保 证各个分机在用外线时不必等候.（。（1.65户0.9505 0（1.64）=0.9495 ）六、（10分）某化工厂的产品中含硫量的百分比在正常情形下服从正态分布N（，。2）为了 知道设备经过维修后产品中平均含硫量的百分比是否改变，测试了 9个产品，它们含硫 量的百分比的均值和方差分别为：1 = 4.364 5 = 0.054,试求（1） 的置信水平为0.9的置信区间；能否认为含硫量的百分比显著小于4.55?（显著性水平a=0.05）七、（10分）设某种商品每年的需求最X （以万吨计）服从4上的均匀分布，设每售出1 吨这种商品可以获利3万元，假设销售不出而囤积于仓库，那么每吨需要花费1万元保管费， 问需要组织多少货源，才能使商店获得的期望利润最大.八、（15分）设X,X2,.X”是取自以下指数分布的一个样本，i -万e1x>0Qx<0参考答案：一、填空题1. 1/2 , 1/7C, 1/nCl+x2）4. x2, cr2,二、选择题1. A 2. B 3. C三、解：据题意知其中9二1 -p,又（1）试求。的矩估计量（2）证明。是。的无偏、一致、有效估计.2. 1/123. 1/45, 1/225, 25.乙94. A 5. DPij=PX=i, Y=j=p2q2, 1 </<y = 2, 3,Pi, = £ pW = pq"，=1，2,六川i-qIj = X1% = Z P2/? =(/ ->2, 3,t=lJ-1于是条件分布列为1 </<j = 2,3,这时Pi 二*pqpqn-1n-1w-ln-i £x|y= = ZM = Zy =1=1f=l - 1四、解：(1) Fx(x)=Fx(xf +oc)=四、解：(1) Fx(x)=Fx(xf +oc)=1 一产0,x>0其它Fy<x)=F><4-oc,)，)=0,y>()其它(2)因为F(x, y)=Fx(x) 所以X和丫相互独立(2)因为F(x, y)=Fx(x) 所以X和丫相互独立d2F 0.25e5(x+y小尸密;0,x > 0, y > 0其它(4)p(x>ioo, y>ioo)(4)p(x>ioo, y>ioo)+00"KO+00= £X/(Qg = U：0.25e<"cUg五、解：令五、解：令Xj =1,0,第i个分机要用外线；=I 9 . OA()第，.个分机不用外线一P(Xi= D = 0.04=pP(Xi= D = 0.04=p(g=l = 0.96)260如果260架分机中同时使用外线的分机数为X,显然有X= £ X, r=l据题意是要求确定最小的整数x,使得P(X<x)>0.95成立.因为 = 260较大，所以有n v .X-260 冗_260、 P(X<x)= P( f < L),260pq J260pq其中260查标准正态分布表, J262 pq其中260查标准正态分布表, J262 pq知道 0(1.65) = 0.9505 >0.95,故取 4=1.65,于是x = b J260Pq + 260p即可求得x Q 15.61即可求得x Q 15.61以 =0.04、q = 0.96 及/? = 1.65 代入, 取x= 16,所以总机要备有16条外线才能以95%的把握保证各个分机在用外线时不必等候. 六、解：(1)的置信水平为0的置信区间为(xr0I(8),x + -/01 (8) = (4.297,4.397)v v 2假设Ho： 2")=4.55,备择假设Hi： <幽=4.55由 p三半.<T =095,杳表一ho5(8)=1.8595,计算三牛=10.28, 5/79s/y/9故拒绝Ho,认为含硫量的百分比显著小于4.55.(/o.i(8)= 1.3968,如(9)=1.3830, /o.o5(8)= 1.8595, /o.os(9)=1.8331) 七、解：设需要组织货源。吨，商店获得的利润UX,a) =UX,a) =3a, 3X-(a-XX>aX<aX的分布函数为=o,2<x<4其它期望利润为 EL( X, a) = J： g (4x - a)dx+J： 3adx = 2 xdxg a(o 2) + 3(4 - a)rci7 9=2 xdxcr +13a J22令 dEL(X,) 二 0 ,得 2a-7a+13 = (),解得 =2.6da八、证明：(1)总体均值1 X r"HRf+<X>EX = J xf(x)dx = £ xe °dx = OA 1«所以。的矩估计量o =£Xj (=i(2)1。因为= o ,所以无是0的无偏估计2。由辛钦大数定律，对任意的£>o, limP4汽Xj - ek£ = l所以又是。的一致估“TOO >2 TT r=l计.3。先求出信息量/(份，色空誉囱=得(-1。89-) = 一3 +奈 Otf Ouu (7(7EK包喀%=砥EK包喀%=砥x_ x _ J_?A 2°2 - 1铲+炉下一"一铲1 _6>2/(。) n_1 n12D(X) = D(-V XJ = nO2= 汽nn