（本科）概率论与数理统计试卷4.docx
概率论与数理统计试卷4一、填空题(每题3分，共15分).随机变量X的分布函数为/(x)=A+3arctag 那么, B=,概率密度函数 /二1 .设随机变量X和y的数学期望都是2,方差分别为1和4,而相关系数为0.5,那么根据切 比雪夫不等式PX-Y>6<.2 .设X, X?, X3, X4是来自正态总体N(0, 32)的简单随机样本，X = 4 (X2X2)2+/? (3X3 4X4)2.那么当, b =时，统计量X服从%2分布，其自由度为.23 .设总体 X N(q2),那么(一?5 分布，£(52)=, D (S 2)=. b.设随机变量X, 5相互独立都服从正态分布N(0,32),而Xi,X2,X9和匕，丫2,.，为分别是来自总体x和y的简单随机样本，那么统计量u = x1+X2+. +配服从分布,氏+一+.+-参数为.二、选择题(每题3分，共15分).x服从参数为，的二项分布且E(X) = 3.6, E(X2) = 14.4,那么，的值分别为()(A) 6, 0.6(B) 12, 0.3(C) 36, 0.1(D) 24,0.151 .设两个相互独立的随机变量X和y分别服从正态分布N(0,l)和MU),那么( ) (A) PX+y<0=0.5(B) PX+Y<l=0.5(C) PX-Y<0=0.5(D) PX-Y<1 =0.5.设随机变量x, y都服从标准正态分布，那么()(A) x+y服从正态分布(B)晓+r2服从为2分布(O *和产都服从%2分布(D) M/F2服从尸分布2 .设两个随机变量X与y相互独立同分布：P(X= -1=0.5, PX=l=0.5,那么以下各 式成立的是()(A) PX= Y = 0.5(B) PX= Y = 1(C) PX+y=0 =0.25(D) PXY= 1 =0.25.设Xi，X2，X是来自正态总体N(0, 1)的简单随机样本，又、S分别是样本的均值和样本标准差，那么有()_Y(A) 又N(0,l)(B)又N(0,l)(C)/( 1)(D)2X；/S/=1三、(10分)某射手进行射击，每次射击击中目标的概率为P (Ovpvl),射击进行到击中 目标两次时为止.令x表示第一次击中目标时的射击次数，y表示第二次击中目标时的射击 次数，试求x、y的联合分布列p办条件分布列p,(j, 及条件期望石%|丫= .四、(15分)某种电子仪器由甲乙两部件构成，以x, y分别表示甲乙两部件的寿命(以小时计).x和y的联合分布函数为y)=y)=1-e一-e45y+e/5(Ay),0,x>Q,y>0其它/(x)= <0,(1)试求曲勺矩估计量必(2)证明。是。的无偏、一致、有效估计.参考答案：一、填空题1. 1/2 , 1/71,1/兀(1+/)4.沈。2, 2 c4/(-1) 二、选择题1. A 2. B 3. C 三、解：据题意知其中q=p,又2. 1/123. 1/45, 1/225, 25. r, 94. A 5. DPij = PX = i, Y=j = p2q厂2, 1 <z<j = 2, 3,Pi.co2 /-IE2 i-2 P qi-1p q=- = pqj=i+1qP.j=£Pij=Ep2qL2 =(jT)p2q2,产2, 3, i=i-于是条件分布列为AvPu = 1P.j J-l(1)关于X, y的边缘分布函数&(x)及B<y)；(2)问X和y是否相互独立，为什么？(3)求X与y的联合概率密度/(x,y)； (4)计算两个部件的寿命都超过100小时的概率. 五、(10分)某单位内部有260部 分机，每个分机有4%的时间要用外线通话，可以认 为各个 分机用不用外线是相互独立的，问总机要备有多少条外线才能以95%的把握保 证各个分机在用外线时不必等候.(0(1.65)=0.9505 0(1.64)=0.9495 )六、(10分)某化工厂的产品中含硫量的百分比在正常情形下服从正态分布N(为了 知道设备经过维修后产品中平均含硫量的百分比是否改变，测试了 9个产品，它们含硫量 的百分比的均值和方差分别为：元= 4.364 s = 0.054,试求(1) 4的置信水平为0.9的置信区间；(2) 能否认为含硫量的百分比显著小于4.55?(显著性水平。=0.05)七、(10分)设某种商品每年的需求量X (以万吨计)服从2, 4上的均匀分布，设每售出1 吨这种商品可以获利3万元，假设销售不出而囤积于仓库，那么每吨需耍花费1万元保管费， 问需要组织多少货源，才能使商店获得的期望利润最大.八、(15分)设X1,X2,，尤是取自以下指数分布的一个样本，x>0x < 0这时Pij P Qjj-i-.、. i oPii =k = pq-1,2,Pi. pqn-EXY=n = Xi=l四、解:(1) Fx(x)=Fx(x9 +oc)=l-e-05x0,x>0其它Fy(X)= Fy( + oc，y)=1-e Io,>0其它(2)因为F(x, y) = &(x)aOO，所以X和y相互独立(3)/(x,y)=(3)/(x,y)=d2F0.25e45(?dxdy 0,x > 0, y>0 其它(4)p(x>ioo, r>ioo)+ooKO五、解:令Xi =1,第，个分机要用外线'7 . 7600,第，个分机不用外线P(Xi= l) = 0.04=p260如果260架分机中同时使用外线的分机数为X,显然有X= £ X,.i=据题意是要求确定最小的整数x,使得P (Xv x) > 0.95成立.因为二260较大，所以有-260p x-260pxP (X< x) = P( /S < /L)4260 PqJ260Pq其中8=.查标准正态分布表,7260pq知道G(l.65) = 0.9505 >0.95,故取 1.65,于是x = 260pq + 260以 p = 0.04 > q = 0.96 及/? = 1.65 代入,即可求得x x 15.61取了=16,所以总机要备有16条外线才能以95%的把握保证各个分机在用外线时不必等候. 六、解：(1)4的置信水平为0.1的置信区间为"1(8) = (4.297,4.397)假设H（）： 2（）= 4.55,备择假设Hi： <欣=4.55由 P< %()5 (8) 0.05，查表一/(),()5(8) = 1.8595，计算y=- 10.28,s/y/9s/49故拒绝Ho,认为含硫量的百分比显著小于4.55.（hi（8）=L3968,而.1（9）=1.3830, 七、解：设需要组织货源。吨，-05(8)=1.8595,加.05(9)=1.8331)商店获得的利润L(X,a)=L(X,a)=3a,3X (a X),X的分布函数为=0,X>aX <a2<x<4其它期望利润为皮(X, a) = J； |(4x-«)dx+£期望利润为皮(X, a) = J； |(4x-«)dx+£a13a(h: = 21 xdx a(ci -2) + 3(4 - a)22ra7 2=21 xdx ci +13ciJ22ra7 2=21 xdx ci +13ciJ22令 dEL（X,a） 二 ° ,得 2a7+13 = 0,解得 a = 2.6 da八、证明：（1）总体均值EX+8xfxAx =J-001 Xr 3ct I 一I xe 3dx = 0Jo ®所以。的矩估计量。H i=11一（2） 1。因为EX = E£x,= e ,所以X是。的无偏估计 i=l2°由辛钦大数定律，对任意的£ > 0,1 lim P-YXi-0< = l8 n "/=1所以X是。的一致估计.30先求出信息量如等2=袅一现°江一呆木1 _6>2nl(9) n_1 n1，2D(父)=D(£x i) = =一n i= rr n所以又是。的有效估计.感谢您的支持与使用如果内容侵权请联系删除仅供教学交流使用
