10.3　频率与概率.docx

10.3频率与概率课标要求素养要求1 .结合实例，会用频率估计概率.2 .了解随机数的意义，会用模拟的方法 估计概率.通过运用恰当的例子抽象出频率的稳定 性，理解频率与概率之间的联系与区别， 开展数抽象与逻辑推理素养.-课前预习r知识探究自主梳理L频率的稳定性大量的试验说明，在任何确定次数的随机试验中，一个随机事件/发生的频率 具有随机性.一般地,随着试验次数的增大，频率偏离概率的幅度会缱小，即 事件A发生的频率力(4)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A),我们称频率的这 个性质为频率的稳定性.因此我们可以用频率以估计概率PQ).0点睛频率是概率的试验值，概率是频率的稳定值.2 .产生随机数的方法(1)利用计算器或ita软件产生随机数.(2)构建模拟试验产生随机数.3 .随机模拟方法(蒙特卡洛方法)利用计算机或计算器产生的随机数做模拟试验，通过模拟试验得到的频茎估计概 率，这种用计算机或计算器模拟试验的方法称为随机模拟方法或蒙特卡洛方法.自主检验1.思考辨析，判断正误(1)随机事件的频率和概率都随着试验次数的变化而变化.(><)(2)概率能反映随机事件发生可能性的大小，而频率那么不能.(><)(3)在用计算器模拟抛硬币试验时，假设计算器只能产生09之间的随机数，那么 可以用4, 5, 6, 7, 8, 9代表正面.(X)(4)用随机模拟试验估计事件的概率时，试验次数越多，所得的估计值越接近实(1)计算表中的各组频率；(2)读者对此教辅图书满意的概率P(4)约是多少？(3)根据(1)(2)说明读者对此教辅图书的满意情况.解 (1)表中各个频率依次是0.998, 0.998, 0.998, 0.999, 1.(2)由第(1)问的结果，知某出版社在5次“读者问卷调查”中，收到的反应信息 是“读者对此教辅图书满意的概率约是P(4) = 0.998” .用百分数表示就是P(Z)=99.8%.(3)由(1)(2)可以看出，读者对此教辅图书满意程度较高.10 .为了估计某自然保护区中天鹅的数量，可以使用以下方法：先从该保护区中 捕出一定数量的天鹅，例如200只，给每只天鹅做上记号，不影响其存活，然后 放回保护区，经过适当的时间，让其和保护区中其余的天鹅充分混合，再从保护 区中捕出一定数量的天鹅，例如150只，查看其中有记号的天鹅，设有20只， 试根据上述数据，估计该自然保护区中天鹅的数量.解设保护区中天鹅的数量约为凡假定每只天鹅被捕到的可能性是相等的，从 保护区中任捕出一定量的天鹅，设事件/ = 带有记号的天鹅,那么 p(/)=¥，第二次从保护区中捕出150只天鹅，其中有20只带有记号，由概率的统计定义 可知PQ)=需，由两式，得平=奇，解得 =1 500,所以该自然保护区中天鹅的数量约为1 500只.I能力提升I.(多项选择题)以下说法中，正确的有()A.一年按365天计算，两名生的生日相同的概率是七B.买彩票中奖的概率是0.001,那么买1 000张彩票一定能中奖C.乒乓球比赛前，用抽签决定谁先发球，抽签方法是从110共10个数中各抽取1个，再比拟大小，这种抽签方法是公平的D.昨天没有下雨，那么说明关于气象局预报昨天“降水概率为90%”是错误的答案AC解析 根据概率的意义逐一判断可知AC正确，BD不正确.11 .对某厂生产的某种产品进行抽样检查，数据如下表所示:抽查件数50100200300500合格件数4792192285478根据表中所提供的数据，假设要从该厂生产的此种产品中抽到950件合格品，大约 需抽查 件产品.答案1 000解析 由表中数据知：抽查5次，产品合格的频率依次为0.94, 0.92, 0.96, 0.95,0.956,可见频率在0.95附近摆动，故可估计该厂生产的此种产品合格的概率约 为0.95.设大约调查n件产品,那么曳Q0.95,所以n 000.n.某公司在过去几年内使用某种型号的灯管共1 000支，该公司对这些灯管的使 用寿命(单位：小时)进行了统计，统计结果如下表所示：分组频数频率700, 900)48900, 1 100)1211 100, 1 300)2081 300, 1 500)2231 500, 1 700)1931 700, 1 900)1651 900, +8)42(1)将各组的频率填入表中;根据上述统计结果，估计灯管使用寿命缺乏1 500小时的概率.解(1)利用频率的定义可得：700, 900)的频率是0.048； 900, 1 100)的频率是 0.121； 1 100, 1 300)的频率是 0.208； 1 300, 1 500)的频率是 0.223； 1 500, 1 700)的频率是 0.193； 1 700, 1 900)的频率是 0.165； 1 900,+8)的频率是 0.042. 所以频率依次是 0048, 0.121, 0.208, 0.223, 0.193, 0.165, 0.042.(2)样本中使用寿命缺乏1 500小时的灯管的频率是0.048+0.121+0.208+0.223 = 0.6,所以估计灯管使用寿命缺乏1 500小时的概率是06创新拓展12 .一个容量为20的样本，数据的分组及各组的频数如下：10, 20)2个；20, 30)3 个；30, 40> 个；40, 50)5 个；50, 60)4 个；60, 702 个，并且样本 在30, 40)之间的频率为0.2,那么=；根据样本的频率分布估计，数据 落在10, 50)内的概率约为.答案4 0.7解析由元=0.2,得=4,2+3+4+5 7样本中数据落在10, 50)内的频率=彳一=七 / UJL U所以估计总体中数据落在10, 50)内的概率约为0.7.际值.(v)提示(1)频率会发生变化，是变量，而概率是不变的，是客观存在的.(2)频率和概率都能反映随机事件发生的可能性的大小.(3)由于正面出现的概率为今 所以应该用五个数表示正面.2.气象台预测“本市明天降雨的概率是90%”，对预测的正确理解是()A.本市明天将有90%的地区降雨B.本市明天将有90%的时间降雨C.明天出行不带雨具肯定会淋雨D.明天出行不带雨具可能会淋雨答案D解析“本市明天降雨的概率是90%”为“本市明天降雨的可能性为90%” .3.利用抛硬币产生随机数1和2,出现正面表示产生的随机数为1,出现反面表 示产生的随机数为2.小王抛两次，那么出现的随机数之和为3的概率为()A.gB.1C,4D5答案A解析抛硬币两次产生的随机数为(1, 2), (1, 1), (2, 1), (2, 2),21工出现随机数之和为3的概率p=4=2.4.随机事件力发生的频率是0.02,事件/出现了 10次,那么共进行了次试验.答案500解析设共进行了 次试验，那么乎=0.02,解得“ = 500.-Q课堂互动了题型剖析题型一频率与概率的计算【例1】下表是某品牌乒乓球的质量检查统计表：抽取球数501002005001 0002 000优等品数45921944709541 902优等品频率(1)计算各组优等品频率，填入上表；(2)根据频率的稳定性估计事件“抽取的是优等品”的概率.价等品教解 根据优等品频率=谓、球最 可得优等品的频率从左到右依次为：0.9,0.92, 0.97, 0.94, 0.954, 0.951.(2)由(1)可知乒乓球抽取的优等品频率逐渐稳定在0.95附近，故估计“抽取的是 优等品”的概率是0.95.思维升华1.解题的关键是根据统计图表分析满足条件的事件发生的频数，计算 频率，用频率估计概率.2,频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定 的值，通常用概率反映随机事件发生的可能性的大小，通过大量的重复试验，事 件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数(概率)，因此有时也用频率作为随机事件 概率的估计值.【训练1】 某射手在同一条件下进行射击，结果如下表所示：射击次数n102050100200500击中靶心次数”8194492178455击中靶心的频率£填写表中击中靶心的频率；(2)这个射手射击一次，击中靶心的概率约是多少？解(1)表中依次填入的数据为:0.80, 0.95, 0.88, 0.92, 0.89, 0.91.(2)由于频率稳定在常数0.9附近，所以这个射手射击一次，击中靶心的概率约是 0.9.题型二游戏公平性的判断例2 某校高二年级(1)(2)班准备联合举行晚会，组织者欲使晚会气氛热烈、 有趣，筹划整场晚会以转盘游戏的方式进行，每个节目开始时，两班各派一人先进行转盘游戏，胜者获得一件奖品，负责表演一个节目.(1)班的文娱委员利用分 别标有数字1, 2, 3, 4, 5, 6, 7的两个转盘(如下图)，设计了一种游戏方案： 两人同时各转动一个转盘一次，将转到的数字相加，和为偶数时(1)班代表获胜， 否那么(2)班代表获胜.该方案对双方是否公平？为什么？解 该方案是公平的，理由如下:各种情况如下表所示：所以(1)班代表获胜的概率pi =(2)班代表获胜的概率夕2 = JL乙 乙6_=112 = 29由上表可知该游戏可能出现的情况共有12种，其中两数字之和为偶数的有6种, 为奇数的也有6种，、和45671567826789378910即P1=夕2,机会是均等的，所以该方案对双方是公平的.思维升华 游戏规那么公平的判断标准及判断方法：在各类游戏中，如果每人获胜的概率相等，那么游戏就是公平的，这就是说 是否公平只要看获胜的概率是否相等.(2)具体判断时，可以求出按所给规那么双方的获胜概率，再进行比拟.【训练2】 有一个转盘游戏，转盘被平均分成10等份(如下图)，转动转盘, 当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字.游戏规那么如下：两个人参加， 先确定猜数方案，甲转动转盘，乙猜，假设猜出的结果与转盘转出的数字所表示的 特征相符，那么乙获胜，否那么甲获胜,猜数方案从以下两种方案中选一种：A.猜“是奇数”或“是偶数”；B.猜“是4的整数倍数”或“不是4的整数倍数”.请回答以下问题：(1)如果你是乙，为了尽可能获胜，你将选择哪种猜数方案，并且怎样猜？为什 么？(2)为了保证游戏的公平性，你认为应选哪种猜数方案？为什么？解(1)A方案中，“是奇数”和“是偶数”的概率都为0.5； B方案中，”是4的整数倍数”的概率为0.2, “不是4的整数倍数”的概率为0.8,为了尽可能获胜，应选择B方案，猜“不是4的整数倍数”获胜的概率最大.(2)为了保证游戏的公平性，应中选择方案A.因为方案A猜“是奇数”或“是偶数”的概率均为0.5,从而保证了该游戏是公 平的.题型三用随机模拟法估计概率【例3】 盒中有大小、形状相同的5个白球、2个黑球，用随机模拟法求以下 事件的概率：(1)任取一球，得到白球.(2)任取三球(分三次，每次放回再取)，都是白球.解 用计算器或计算机产生1到7之间取整数值的随机数，用1, 2, 3, 4, 5 表示白球，6, 7表示黑球.N(1)统计随机数个数N及小于6的个数Ni,那么管即为任取一球，得到白球的概率 的近似值.(2)三个数一组(每组内可重复)，统计总组数K及三个数都小于6的组数Ki,那么与即为任取三球(分三次，每次放回再取)，都是白球的概率的近似值.思维升华 用随机数模拟法求事件概率的方法在使用整数随机数模拟试验时，首先要确定随机数的范围和用哪个代表试验结 果.（1）试验的基本结果是等可能时，样本点的总数即为产生随机数的范围，每个随 机数代表一个样本点.研究等可能事件的概率时，用按比例分配的方法确定表示各个结果的数字个 数及总个数.【训练3】 天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为40%,用随 机模拟的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率.可利用计算机产生0到9之间 的整数值的随机数，如果我们用1, 2, 3, 4表示下雨，用5, 6, 7, 8, 9, 0 表示不下雨，顺次产生的随机数如下：那么这三天中恰有两天下雨的概率约为（）A乂B工八.20.20,2020答案B解析由题意知，模拟三天中恰有两天下雨的结果，经随机模拟产生了 20组随 机数，在20组随机数中表示三天中恰有两天下雨的有：191, 271, 932, 812,7631, 393, 137,共7组随机数,故三天中恰有两天下雨的概率约为布.课堂小结.频率与概率：频率是随机的，在试验之前无法确定的，大多会随着试验次数的 改变而改变，做同样次数的重复试验，得到的频率值也可能会不同.概率是一个事件的固有属性，是一个在0与1之间确实定值，不随试验结果的改 变而改变.频率是概率的近似值,概率是频率的稳定值.随着试验次数的增加，频率会越接近 概率，在实际问题中，通常事件的概率是未知的，常用频率估计概率.1 .随机数据产生：计算机或计算器产生的随机数是依照确定算法产生的数，具有 周期性,我们常用随机模拟法估计概率，主要步骤：（1）设计概率模型.（2）进行模拟 试验，（3）统计试验结果，估计概率.素养提升基础达标一、选择题.每道选择题有4个选择支，其中只有1个选择支是正确的，某次考试共有12 道选择题，某人说：“每个选择支正确的概率是去我每题都选择第一个选择支， 那么一定有3道题选择结果正确”这句话（）A.正确B.错误C.不一定正确D.无法解释答案B解析3道题选择结果可能都正确，也可能都错误，还可能仅1道题正确，或仅 2道题正确.1 .抛掷一枚质地均匀的硬币，如果连续抛掷1 000次，那么第999次出现正面朝 上的概率是（）A，入9990,1 000答案D解析 抛掷一枚质地均匀的硬币，如果连续抛掷1 000次，每一次出现正面朝上 的概率均为弓3假定某运发动每次投掷飞镖正中靶心的概率为40%,现采用随机模拟的方法估 计该运发动两次投掷飞镖恰有一次命中靶心的概率：先由计算器产生0到9之间 取整数值的随机数，指定1, 2, 3, 4表示命中靶心，5, 6, 7, 8, 9, 0表示未 命中靶心；再以每两个随机数为一组，代表两次的结果，经随机模拟产生了 20 组随机数：据此估计，该运发动两次掷镖恰有一次正中靶心的概率为（）答案A解析两次掷镖恰有一次正中靶心表示随机数中有且只有一个数为1, 2, 3, 4 中的一个.它们分别是 93, 28, 45, 25, 73, 93, 02, 48, 30, 35,共 10 个. 因此估计所求的概率为*=0.50.4.甲、乙两人做游戏，以下游戏中不公平的是()A.抛一枚骰子，向上的点数为奇数那么甲胜，向上的点数为偶数那么乙胜B.同时抛两枚相同的骰子，向上的点数之和大于7那么甲胜，否那么乙胜C.从一副不含大、小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色那么甲胜，是黑色那么乙胜 D.甲、乙两人各写一个数字，假设是同奇或同偶那么甲胜，否那么乙胜答案B解析 A中，甲胜、乙胜的概率都是:，游戏是公平的；对于B, “向上的点数 之和大于7”的样本点数，小于“向上的点数之和小于等于7”的样本点数，那么 甲胜的概率小于乙胜的概率，游戏不公平；选项C、D中，甲胜、乙胜的概率都 是去游戏是公平的.5.以下结论正确的选项是()A.事件A的概率为尸(/),那么必有0<P(/)<lB.事件/的概率P(Z) = 0.999,那么事件2是必然事件C.用某种药物对患有胃溃疡的500名病人治疗，结果有380人有明显的疗效，现 有患胃溃疡的病人服用此药，那么估计有明显疗效的可能性为76%D.某奖券中奖率为50%,那么某人购买此券10张，一定有5张中奖答案C解析 A不正确，因为0WP(4)Wl；假设/是必然事件，那么P.)=l,故B不正确； 对于D,奖券中奖率为50%,假设某人购买此券10张，那么可能会有5张中奖，所 以D不正确，应选C.二' 填空题.在利用整数随机数进行随机模拟试验中，整数。到整数b之间的每个整数出现 的可能性是答案 解析 口，切中共有b个整数，每个整数出现的可能性相等，所以每个整数出现的可能性是Aba-1.玲玲和倩倩是一对好朋友，她俩都想去观看周杰伦的演唱会，可手里只有一张 票，怎么办呢？玲玲对倩倩说：“我向空中抛两枚同样的一元硬币，如果落地后 一正一反，我就去；如果落地后两面一样，你就去！ ”你认为这个游戏 （“公平”或“不公平”）.答案公平解析 向空中同时抛两枚同样的一元硬币，落地后的结果有“正正”、“反正”、 “正反”、“反反”四种情况，其中“一正一反”和“两面一样”的概率都是今 因此游戏是公平的.6 .规定投掷飞镖3次为一轮，假设3次中至少两次投中8环以上为优秀，现采用随 机模拟试验的方法估计某选手投掷飞镖的情况，先由计算机根据该选手以往的投 掷情况产生随机数0或1,用0表示该次投掷未在8环以上，用1表示该次投掷 在8环以上；再以每三个随机数为一组，代表一轮的结果，经随机模拟试验产生 了如下20组随机数：据此估计，该选手投掷1轮，可以拿到优秀的概率为.答案0.6解析3次中至少两次投中8环以上的有101, 111, 011, 101, Oil, 111, 110,12Oil, 111, 011, 101, 101,共12个，因此所求概率约为=m=06三' 解答题9.某出版社对某教辅图书的写作风格进行了 5次“读者问卷调查”，结果如下:被调查人数1 0011 0001 0041 0031 000满意人数m9999981 0021 0021 000满意频率蓝