2022-2023学年苏教版必修第一册 1.1 集合的概念与表示 学案.docx

第1章集合§1.1集合的概念与表示学习目标I.了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系，记住常用数集的表示符号 并会应用.2.理解集合中元素的基本属性.3.初步掌握集合的两种表示方法列举法、描述法, 会用集合的两种表示方法表示一些简单集合.4.理解集合相等、有限集、无限集、空集等概念. 导语在体育课上，体育老师常说的一句话就是“集合”，这个时候，同学们从四面八方集合到一 起，而这个集合是一个动词，在我们数学课上，也有一个名词“集合”，比如在小学和初中, 我们学习过自然数的集合，同一平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合等，为了进一 步了解集合的有关知识，请同学们观察下面的几个例子.一、集合的相关概念问题I看下面的几个例子，观察并讨论它们有什么共同特点？(1)110之间的所有偶数;(2)立德中学今年入学的全体高一学生；(3)所有正方形；(4)到直线I的距离等于定长d的所有点；(5)方程.F3x+2=0的所有实数根；地球上的四大洋.提示以.上例子中指的都是“所有的”，即某种研究对象的全体，而且每个例子中的研究对 象都是确定的、互不相同的.知识梳理.集合：一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体组成一个集合,通常用大写拉 丁字母来表示集合.元素：集合中的母二念对遂称为该集合的元素，简称元一通常用生”拉丁字母来表示.1 .常用数集及表示符号名称自然数集正整数集整数集有理数集实数集记法NN"或 N+ZQR问题2如果体育老师说“男同学打篮球，女同学跳绳”，你去打篮球吗？ 提示是男生就去，不是男生就不去.9 .已知集合A含有两个元素1和标，若。£4求实数。的值.解由题意可知，4=1或标=%(1)若。=1,则屏=,这与a2rl相矛盾,故aXl.(2)若标=，则a=0或=1(舍去)，又当。=0时，4中含有元素1和0,满足集合中元素的 互异性，符合题意.综上可知，实数的值为0.10 .用适当的方法表示下列集合：(1)方程 x(a2+2x+1)=0 的解集；(2)在自然数集内，小于1000的奇数构成的集合；不等式工一2>6的解的集合；(4)大于0.5且不大于6的自然数的全体构成的集合；2x+y=3,方程组；,的解集.x2y=4解(1)0, -1.(2)小=22+1,且4<1000, &£N.(3)x|x>8.(4)1, 2, 3, 4, 5, 6.(5)解集用描述法表示为3+)，= 3仲，y)一4plx2y4解集用列举法表示为(2, -1).n综合运用.由大于一3且小于11的偶数所组成的集合是()A. x|-3<x<ll, xGZ)x|-3<x<llB. x|3<v<l 1, x=2kx|-3<x<ll, x=?k, kGZ答案D解析 由题意可知，满足题设条件的只有选项D.12.已知a,沙是非零实数，代数式普册+喘的值组成的集合是M,则下列判断正确 的是()A. OeMB. -1WMD.C. 34M 答案B解析 当。，全为正数时，代数式的值是3；当全是负数时，代数式的值是一1；当 人是一正一负时，代数式的值是一1.13.（多选）已知集合M中的元素x满足.1=。+也从 其中小b£Z,则下列选项中属于集合 M的是（）A. 0B. 32-1C侦答案ABD解析 当a=b=O时，x=0；当 a= I, 6=3 时，x= 1+3a/5 = 36-1 ；当 a= -1, b= - 时，x= I-巾,寸1+2 r-1 一也（1 一啦）（1+啦）所以此时x=综上所述，A, B, D中的数都是集合M中的元素.因为a, bWZ,无法满足犬=加，所以C中的数不属于集合M.14 .若集合 A=-3, 2。一1,标一4,且一3£A,则实数。=.答案。或1解析 由题意，若。-3 = - 3,可得4=0,此时集合4 = -3, -1, -4）,符合题意；若 2a 1 = -3,可得。=一1,此时*一4=一3,不满足集合元素的互异性，舍去；若岸一4=-3,可得=1或=1（舍去），当。=1时，集合A = -2, 1, 3,符合题意，综上可得，实数的值为0或1.;拓广探究.已知集合“有2个元素-2一心若一侔M,则下列说法一定错误的是.（填序号） 2WM；1£M；xW3.答案xW 1,解析依题意,2xW1,、xX2-x.解得了N l, xXl且xK3,所以错误，正确.当x=2或2x=2,即x=2或x=0时，M中的元素为0, 2,故可能正确.15 .已知集合 A= .巾=3+1, £Z, 4="仅=3+2, £Z, M= x|x=6+3, £Z.若/“EM,则是否存在bG B,使m=a+b成立?(2)对于任意b£B,是否一定存在使。+/?=?？证明你的结论.解 (1)设阳=6 女+3=32+1+3 A+2(&£Z),令 a=3左+1 /£Z), /?=3&+2(&£Z),则加=a+b.故若用£M,则存在bGB,使切=。+成立.(2)设 a=3%+1, b=3/+2, k, ZeZ,则。+/>=3伏+/) + 3, k, ZeZ.当&+/=2p(p£Z)时，a+6=6+3£M,此时存在使成立；当 k+/=2p+1(£Z)时，a+/?=6p+6庄M,此时不存在机£M,使a+b=m成立.故对于任意bWB,不一定存在/"£/Vf,使+=/".3.元素与集合的关系知识点关系概念记法读法元素与 集合的 关系属于如果4是集合的元素,就说。属于集合4a属于A不属于如果a不是集合4的元素,就 说。不属于集合A展A或aAa不属于A元素与集合之间是属于或不属于的关系，注意符号的书写.例1 （1）下列对象能组成集合的是（）A.g的所有近似值B.某个班级中学习好的所有同学C. 2022年高考数学试卷中所有难题D.北京冬奥会的全体运动员答案D解析 D中的对象都是确定的，而且是不同的.A中的“近似值”，B中的“学习好”，C 中的“难题”标准不明确，不满足确定性，因此A, B, C都不能构成集合.（2）（多选）下列选项中，正确的是（）A. 2£QB. |-3|£NC. |-3|ezD. 0«N答案ABC解析 根据元素与集合的关系得2£Q, A正确；|-3|=3GN, B 正确;|-3|=3GZ, C 正确；0£N, D 错误.反思感悟（1）判断一组对象能构成集合的条件是，能找到一个明确的标准，使得对于任何一 个对象，都能确定它是不是给定集合的元素.（2）判断元素和集合关系的两种方法直接法：集合中的元素是直接给出的.推理法：对于某些不便直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特 征即可.跟踪训练1 （1）（多选）下列说法正确的有工）A.花坛上色彩艳丽的花朵构成一个集合B.正方体的全体构成一个集合C.未来世界的高科技产品构成个集合D.不大于3的所有自然数构成一个集合答案BD解析在A中，花坛上色彩艳丽的花朵不能构成一个集合，故A错误；在B中，正方体的 全体能构成一个集合，故B正确；在C中，未来世界的高科技产品不能构成一个集合，故C 错误；在D中，不大于3的所有自然数能构成一个集合，故D正确.(2)设集合M是由不小于2小的数组成的集合，。=仃，则下列关系中正确的是()A. aGMB.烝MC. a=MD. aWM答案B解析,:小2邓,二、集合元素基本属性的应用知识梳理集合元素的基本属性(1)确定性：集合的元素必须是确定的.(2)互异性：对于一个给定的集合，集合中的元素一定是不同的.(3)无序性：集合中的元素可以任意排列.注意点：集合中的元素必须是确定的，不能是模棱两可的，任何两个元素不能相同，且与顺序无关.例2已知集合A是由a2,加2+5，|2三个元素组成的，且一3£人 求实数外解由一3£八，可得一3=-2 或一3 = 2/+5， a= 或 a=|.当4= 1时，42=-3, %尸+5=一3,不符合集合中元素的互异性，故。=一1应舍去.373当4=5时，42=5，2a2+5= 3,符合集合中元素的互异性，a=-延伸探究 在本例中，若集合4中的三个元素换为-3, 2a-1, a2-4,其余不变，求实数 a的值.解 若。一3= 3,则。=0,此时A中的元素为一3, I, -4,满足题意.若加一1 = 一3,则4=一1,此时A中的元素为一4, 3, 3,不满足元素的互异性.若*一4=-3,则=±1.当。=1时，A中的元素为一2, 1, 3,满足题意；当。=1时，由知不符合题意.综上可知，4 = 0或4=1.反思感悟 利用集合中元素的确定性、互异性求参数的策略及注意点(I)策略：根据集合中元素的确定性，可以解出参数的所有可能值，再根据集合中元素的互异 性对求得的参数值进行检验.(2)注意点：利用集合中元素的互异性解题时，要注意分类讨论思想的应用.跟踪训练2设集合人中含有三个元素3, x,好一2工求实数x应满足的条件；(2)若一2EA,求实数x的值.解(1)由集合中元素的互异性可知，且 xWx22x, x22m#3.解得 xW1 且 4W0, xW3.(2).-2WA,%=一2或9一公=一2.由于 x22x=(x1)21 21, .x=-2.三、集合的表示问题3用人表示“本班所有的男生”组成的集合，这是利用的哪种方法表示的集合？你能 把集合A中的所有元素逐一列举出来吗？提示 这是用自然语言法表示的集合；我们可以把所有男生的名字写出来，或者把所有 男生的学号一一写出.知识梳理列举法：将集合的元素一一列举一来,并置于花括号“ ”内的表示集合的方法叫做到 举法.注意点：(1)集合中的元素之间用逗号分隔，元素不重复，元素无顺序.(2)元素个数较少时，把元素一一列举并用“”括起来即可；元素个数较多且有明显规律， 可用列举法，但必须把规律显示清楚，然后加省略号.问题4你能用列举法表示不等式工一7<3的解集吗？提示 不等式x7<3的解是x<10,因为满足x<10的实数有无数个，所以工一7<3的解集无 法用列举法表示.但是，我们可以利用解集中元素的共同特征，即X是实数，且x<10,把解 集表示为小<10, x£R.问题5仿照上面的例子以及阅读课本，你能表示偶数集吗？提示xx=2k, kSZ.知识梳理.描述法：将集合的所有元素都具有的性质(满足的条件)表示出来，写成母必!的形式，这 样表示集合的方法称为描述法.注意点：(1)用描述法表示集合时，应写清该集合中元素的代表符号，并用简明、准确的语言描述集合 的特征性质.(2)从上下文的关系来看，若元素的取值(或变化)范围是明确的，则可省略不写.1 .为了直观地表示集合，我们常画一条封闭的曲线，用它的内部来表示个集合，称为Venn图.2 .集合的分类按照集合元素的多少，集合可以分为有限集和无限集.(1)一般地，含有有限个元素的集合称为有限集.(2) 般地，含有无限个元素的集合称为无限集.不含任何元素的集合称为空集，记作0.4.集合相等如果两个集合所含的元素完全相同(即A中的元素都是B的元素，B中的元素也都是A的元 素)，那么称这两个集合相等.例3 (1)用恰当的方法表示下列给定的集合：不大于10的非负偶数组成的集合A；方程炉一2»3=0的实数根组成的集合C：方程组的解集D；xy=2不等式2x-3l的解组成的集合A；被3除余2的正整数的集合仪平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合。.解不大于10的非负偶数有0, 2, 4, 6, 8, 10,所以 A=0, 2, 4, 6, 8, 10).方程f2x3=0的实数根为一1, 3,所以。=-1, 3.v -4- 4r A方程组 ;的解为 xy=2y= 1.所以方程组的解集。=(3, 1).不等式标一3<1的解组成的集合为A,则集合A中的元素是数，设代表元素为x,则x满 足 2x-3l,则 A=M2r-3l,即 A=Mx<2.设被3除余2的数为x,则x=3+2, £Z.但元素为正整数，故x=3+2, £N.所以被 3除余2的正整数的集合3=.小=3+2, £N.平面直角坐标系中第二象限内的点的横坐标为负，纵坐标为正，即.NO,)>0,故第二象限 内的点的集合为。=(x, y)x<0, y>0.，y的值为.(2)设集合A=x,田，8= 0,炉，若A, 8相等，则实数x的值为.答案I 0解析 因为集合A, B相等，则4=0或y=0.当x=。时，f=0,不满足集合中元素的互异性，故舍去；当y=0时，解得x=0或x=l,由知x=0应舍去，故x=l.综上可知，x=y y =0.反思感悟(1)用列举法表示集合的注意点把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次.这里“ ”已包含所有的意思，不能出现“全体” “所有”等.(2)利用描述法表示集合的注意点写清楚该集合代表元素的符号.所有描述的内容都要写在花括号内.(3)一个集合可以用不同的方法表示.若两个集合相等，则这两个集合的元素相同，要注意其 中的元素不一定按顺序对应相等，应注意检验元素是否满足互异性.跟踪训练3 (1)用列举法或描述法表示下列集合.由所有小于1()的既是奇数又是质数的自然数组成的集合；®A=(x, ,y)|x+y=3,)，£N；比1大又比10小的实数组成的集合；不等式3x+422x的所有解；直线y=x上的点的集合.解满足条件的数有3, 5, 7,所以所求集合为3, 5, 7.因为 x£N, y£N, x+y=3,所以所以x=0, c 或 b=3x=, c 或U=2x=2.x=3, y=o.0).故人=(0, 3), (1, 2), (2, 1), (3, 可以表示成xl<r<10, x£R.可以表示成x|3x+422i,即小24.可以表示成。，y)|x>=().(2)设 a, Z?£R,集合1, a+b, a=(),b,则 Z?a=.答案2解析由题意可知。六0,则。+。=0, $=-1，*.a= , b= I, :.b-a=2.-课堂小结-.知识清单：(I)集合的概念、元素与集合的关系.(2)集合中元素的特性及应用.(3)用列举法和描述法表示集合.1 .方法归纳：分类讨论、等价转化.2 .常见误区：忽视集合中元素的互异性；忽视点集与数集的区别.N随堂演练1.(多选)下列各组对象能构成集合的有()A.接近于1的所有正整数B.小于0的实数C.点(2022, 1)与点(1, 2022)D.某班级里身高较高的学生答案BC解析 A中，接近于1的所有正整数标准不明确，故不能构成集合；B中，小于0是一个明 确的标准，能构成集合；C中，(2022, 1)与(1, 2022)是两个不同的点，是确定的，能构成集 合；D中，某班级里身高较高的学生不能构成一个集合.2.已知集合A中的元素x满足xlV小，则下列各式正确的是()A. 3sA 且一3GAB. 3WA 且一3仁4C. 3qA 且一34AD. 34A 且一3£A答案D解析 3 1=2k/5,3©4.又一31 = 一4<5,，一3£4.集合.很一3<2, x£N.的另一种表示法是()A. (), I, 2, 3, 4B. 1, 2, 3, 4)C. 0, I, 2, 3, 4, 5D. 1, 2, 3, 4, 5答案B解析 .“一3<2, x£N", A.r<5, xeN.*.x= 1, 2, 3, 4.3 .设集合 4 = 1, , 3=巾。-4)。一。)=。，若 A = 8,则 a=, b=答案0 1解析 A = 1, a,解方程 x(x)(xb)=。，得x=0或a或力，若4 = 4,则 a=0, b=.课时对点练;基础巩固1.（多选）下列选项中能构成集合的是（）A.高一年级跑得快的同学B.中国的大河C. 3的倍数D.大于6的有理数答案CD解析 选项A, B都不具备确定性，不能构成集合.2 .若是R中的元素，但不是Q中的元素，则可以是（）A. 3.14B. -5C部小答案D解析 由题意知。应为无理数，故。可以为市.3 .集合M是由大于一2且小于1的实数构成的，则下列关系式正确的是（）A.小SMB. 06MC.D. 一独W答案D解析 小>1,故A错；-2<0<1,故B错；I不小于1,故C错；一2<一红1,故D正确.4 .若以集合A的四个元素a, b, c, d为边长构成一个四边形，则这个四边形可能是（A.梯形B.平行四边形C.菱形D.矩形答案A解析 由于a, b, c, d四个元素互不相同，故它们组成的四边形的四条边都不相等，则这个 四边形可能是梯形.5 .用列举法表示集合中2您+1=0为()A. 1, 1B. 1C. x=lD. x2-2.r+l=0答案B解析 方程好一法+1=0有两个相等的实数根1,根据集合元素的互异性知B正确.6.(多选)下列说法中不正确的是()A. 0与0表示同一个集合B.集合M=3, 4与=(3, 4)表示同一个集合C.方程(X1)2a2)=0的所有解的集合可表示为(1, 1, 2D.集合34<x<5不能用列举法表示答案ABC解析对于A, 0是一个元素(数)，而0是一个集合，可得0£0,所以A不正确；对于B,集合M=3, 4表示数3, 4构成的集合，集合N=(3, 4)表示点集，所以B不正 确；对于C,根据集合元素的互异性，可得方程a-l)2(x-2)=0的所有解的集合可表示为1, 2, 所以C不正确；对于D,集合*|4今<5含有无穷个元素，不能用列举法表示，所以D正确.7 .设由2, 4, 6构成的集合为4,若实数时，6EA,则.答案2或4解析 代入验证，若。=2,则62=4£A,符合题意；若。=4,则64 = 2£4 符合题意;若。=6,则66=0A,不符合题意，舍去.所以。=2或。=4.8 .若集合卜，今1与集合心a+b, 0相等，则产22+谬2的值为.答案1解析由已知可得。工0,因为两集合相等，所以有2)，或,所以b=0, a= 1b=0, （舍）或经检验，。=-1,=()满足条件, 所以屋°22 +於3=1.