“糖水不等式”的23种证法及其应用.docx

“糖水不等式”的23种证法及其应用作者：刘彦永来源：数学教学通讯高中版2020年第02期“糖水不等式”及其背景如果用千克白糖制出a千克糖溶 液，则糖的质量分数为，若在上述溶 a液中再添加机千克白糖，此时糖的质量分 数增加到处外，将这个事实抽象为数学 a+m问题,并给出证明.这是人教A版教材选修4-5不等式 选讲中的一道例题，可以把上述事实抽 象为如下不等式问题:已知0,且m > 0,则如竺 >包.a+m a“糖水不等式”的证法研究由于本题的证法非常多，我们将 其作为教研QQ群每日一题的第1000题 发出，经过群友集体探究梳理出如下23 种证法及点评，供大家参考.证法1 ：(作差法)由a>l)>0,m：fe+zn所以 b+m,ta+m a a(a+m)a+m t痴7证法2：(作商法)因为-= b al)+a因为 q>/)>0, m >0,所以 am>brn>0,所以M +nm>向+/0,所以如 ab+ib+m,0c。+血< 匕二、,b+m I)1,即>1,所以>.I)a+m aa点评：作差法和作商法都是最 最重要的方法，作商法要注意分子 同号.证法3：(分析法)要证如 a+/zi a需证a(b+m)>b()，即证ambm, m>0,所以只需,而这是已知条附证法7:（放缩法）1-。=巴士二 a a（。+加）一（/>+机）（a+m） （6+加）> =1 -aa+mb+ma+m所以如”>_L. a-Vin a点评:放缩法要求有敏锐的观察力，做到放缩有度、恰到好处.证法8：（换元法）由已知a>>0,令°二入6,则易知入>1,所以 b +771 _ b+m > b+m a + mAh +n?Ab + Aznb+m _ 1 _ /> 即 b+m>bA（6+m） A a ' a+m a证法9：（换元法+放缩法）因为心b,所以可设但力+5（3>0）,则有b _ b _ 11_ b+m _a 6y -3-3 b+m1+ 1+b b+mb+m b+mba+m ' a+m a证法10：（双换元法）令A尸如”， a+777A2=,则易知入i,入2 £ （。，1）,所以=主也在（0,+8）上单调递增，于是向 久+a/（0）,即生型_L. a+m a证法13：（构造函数法）显然2 时,函知x）=bx+ab=b （x+a）的图像 函数g（欠）=ax+M=a（%+）图像的下:0,m0,所以.代机）<g（m）,即（ a（m+b），所以 包.a+rn a点评:构造函数利用导数解决I 这是证明不等式的一种重要方法. 也是一种能力，需要在解题过程中 积累经验.证法14：（构造斜率法）如图” 在直角坐标系中，如”二上士也, a+m a- （-m）经过L （a,b）和B（-zn, -th）两点所在 的斜率，设其倾斜角为出而"L二” a a-示经过4 （a,）和。（0,0）两点所在 的斜率，设其倾斜角为氏由a>可 丛。三点不共线，且易知点4在直线下方，所以0孕<a<，所以tan/3<tar 4上。<丝也，所以妇巴包.A2。,代入人产处竺得a（A1-入2） = （ 1 -入1）机>a+ma-0 a- （-m）a+m a,.n 日c b+m I) tan 乙 ACB,艮7>.a+m a证法20：（构造三角形法）如图6所 示，在三角形43c中，48=，延长 BC,BA ,使CD=A Enn,过片作片/1C交 线段延长线于此则山Cs ref, 如j工二<_£_,故如丝_L.b+m a+zn+DF a+m q+机 a:，§曲边梯如麻尸,-dx=ln，5曲边梯员 1bx I）a+m 1 .1 . _1 a+m qq. 一ax-in：，J曲边形八8£尸曲边无呐喘（哈 所以处图6证法21 ：（构造定比分点法）由也二 a+m点评:构造法的主要步骤包括（ 析题意，找出题目中所涉及的问题 么；（2）根据题中所涉及的问题来寻 所涉及的数学中关键知识点；（3）招 知识点融入题意中，找到构造这个 点所必备的基本形式；（4）利用所核 形式,结合这个知识点对问题进行4 找到解题思路；（5）正确解答.“糖水不等式”的应用“糖水不等式”在高中数学联赛>o故如”在2与i之间（内分点）即可知如经分2与1定比入二% < mQ+m aa摘;要在传统的接受式教学中，学生的思维往往习惯于求同性、定向性.“一题多解”恰恰 是克服阜生思维定式的一种有效途径，也是培养学生发散思维和思维灵活的有效方法.通过长 期“一题多解”的训练，学生可以从多角度、多途径寻求解决问题的方法，开拓解题思路，并从 多种解法的对比中选最佳解法，总结解题规律，使分析问题、解决问题的能力提高，使思维的 发散性和创造性增强.下面探讨一道课本例题“糖水不等式”的多种证明方法及其在试题中的应 用.关键词糖水不等式;一题多解;高考试题;应用