北京市大兴区2021-2022学年高一上学期期末考试数学试题解析高中数学.docx

北京市大兴区2021-2022学年高一上学期期末考试数学试卷数学第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要 求的一项.1 .已知。0,则心&=（）1 3个QA. 2B. 2c.D. /【答案】B【解析】【分析】将根式转化为分数指数幕，然后根据幕的运算性质即可求解.【详解】解：因为。0,所以 故选：B.3 - 2Q - 1 - 2Q.已知集合4 = %|% = 23止Z,则（）A -IgAB.C. -V2 e AD. 2eA【答案】D【解析】【分析】利用元素与集合的关系判断即可.【详解】由集合A = x|% = 23攵eZ,即集合A是所有的偶数构成的集合.所以一leA, leA, 更 A, 2e A故选：D3.下列函数中在定义域上为减函数的是（）A. y = xB. y = lgxC. y = 2xD. y = V【答案】C【解析】【分析】根据基本初等函数的单调性逐一判断各个选项即可得出答案.【详解】对于A,由函数y = x,定义域为且在R上递增，故A不符题意；对于B,由函数y = lgx,定义域为（0,+"）,且在（0,+"）上递增，故B不符题意；对于C,由函数二2一"，定义域为A,且在A上递减，故C符合题意;所以函数图象关于4对称， 57r由图可知。二多适合题意，(答案不唯一)1219.已知函数/(X)= log2 (1-号.(1)求/(X)的定义域；(2)判断了。)的奇偶性，并说明理由；(3)设0<可V工2<1,证明：/(七)/().【答案】(-1,1)(2)偶函数；理由见解析(3)证明见解析【解析】【分析】(1)根据对数函数的真数大于。建立不等式求解;(2)根据函数的奇偶性定义判断即可；(3)利用不等式的性质及对数函数的单调性证明即可.【小问1详解】因为 1一%2 >0，即一 1VXV1 ,所以函数/(X)= 10g2 (l f)的定义域是(一1 J).【小问2详解】因为 Vx£(-l,l),都有-X£(-1,1),且 f(-x) = log2(l-(-x)2 ) = log2(l-x2) = /(x),所以函数/(X)= log2(l-炉)为偶函数.【小问3详解】因为 0 v % v / v 1 , 所以 0<X2 < x22 < 1 .所以一1 < xj < x： < 0 .所以0 < 1 -2 < 1 - X： < 1.因为y = log2 X是增函数，所以 10g2 (1 X；)>k)g2 (1-X22).因为/(X)= 10g2(1 -X；)，/区)=1。82(1-2)，所以/(西)>/(%2)20.已知函数/(x) = sin2x, (x) = /4cos2 cox .(1)求/(%)的单调递增区间;(2)令函数力。)=/(幻-g(x),再从条件、条件这两个条件中选择一个作为已知，求/z(x)在区间0, 1上的最大值及取得最大值时工的值.条件：4 = 1,69 = 2；条件：A = 2,co = .注：如果选择条件和条件分别解答，按第一个解答计分.ITIT【答案】(1) + E, + E, keZ 44(2)答案不唯一，具体见解析【解析】【分析】(1)根据正弦函数的单调增区间建立不等式求解即可得出；(2)选代入，化简版幻，令 = sin2x,转化为二次函数求值域即可，选择条件代入化简"(X),令u = 2x- ,根据正弦函数的图象与性质求最值即可求解. 4【小问1详解】IT7T函数V = sinx的单调增区间为+ 2E, + 2攵兀| ( Z： e Z ) 22兀7T由F 2kjt < 2x W F 2kit,左 £ Z ,22兀71解得F ku W x W F kji, k eZ ,44TTTV所以/(x)的单调增区间为:+ E,： + E, keZ. 44【小问2详解】选择条件：A = 1,g = 2.hx = sin 2x - cos2 2x,2=sin 2x-(l- sin- 2x)=sin2 2x + sin 2x -1 令 =sin 2x,TT因为,2所以2%£0,兀.所以所以 y =1, w e0,1.因为y = /+_在区间0川上单调递增, 所以当 =1时，y = 2 + 1取得最大值1.所以当x = f时，力。)取得最大值1. 4选择条件：4 = 2,69 = 1 .h(x) = sin lx -2 cos2 x= sin2x-cos2x-l=2 sin(2x - -) -1 . 4人 c 兀令 =2x,47T因为 X£0,7,2所以曰. 4 4所以当 时，即 =时，献X)取得最大值血-1. 2821.用水清洗一堆蔬菜上的农药，设用1个单位量的水清洗一次以后，蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残 留的农药量之比为fM ,且/(0) = 1.已知用1个单位量的水清洗一次，可洗掉本次清洗前残留农药量的y , 用水越多洗掉的农药量也越多，但总还有农药残留在蔬菜上.(1)根据题意，直接写出函数/(X)应该满足的条件和具有的性质；(2)设/(© = 现用。(6Z>0)个单位量的水可以清洗一次，也可以把水平均分成2份后清洗两 1 + X次，问用哪种方案清洗后蔬菜上残留的农药量比较少，说明理由；k(3)若/(x) = ；满足题意，直接写出一组参数3c/的值. 1 + ce【答案】(1)答案见解析(2)答案不唯一，具体见解析(3)的值依次为2,1,ln3 (答案不唯一)【解析】【分析】(1)根据题意直接写出定义域，值域，/(0),/，单调性;（2）分别计算2种方案完成后蔬菜农药残留，做差后分类讨论比较大小即可得出答案;（3）根据（1）中函数的性质，直接写出一组即可.【小问1详解】/（x）满足的条件和性质如下：/（0）=1；定义域为。，+；7（1） = -； 0<7（%）<1；/（X）在区间0，+ 8）上单调递减.【小问2详解】设清洗前残留的农药量为若清洗一次，设清洗后蔬菜上残留的农药量为八f1t则L=/m）=d，则，'=丁二.t1 + Q1 + 若把水平均分成2份后清洗两次， 设第一次清洗后蔬菜上残留的农药量为4 ,4 _ f(E_ _ 廿5-西F设第二次清洗后蔬菜上残留的农药量为，%2 =(1 + )24比较与12的大小：/I 矿、2 Z1 2、a8)(1 + ) -(1 + )=-=-416 2162当 a? > 8 , 即 a2V2 时,(1 + )/ 即（1+生）2（1+。2）>。，由不等式的性质可得“ -77, （1 + ）所以把水平均分成2份后清洗两次蔬菜上残留的农药量比较少；当"=8，即 =2及时，（i +）2 + ， （+）两种方案清洗后蔬菜上残留的农药量一样多； 当/<8，即o< a <2及时, (1 + /)0 ,由不等式的性质可得42 ,4/，所以清洗一次后蔬菜上残留的农药量比较少.【小问3详解】参数3c”的值依次为2,1,-ln3.（答案不唯一）D. 471D. 2sin(6 + g)A.充分不必要条件C.充分必要条件对于D,由函数y = /,定义域为R,且在尺上递增，故D不符题意.故选：C.当Ovx<20寸，x(2 x)的最大值为()A. 0B. 1C. 2【答案】B【解析】【分析】利用基本不等式直接求解.【详解】.0vxv2, /.2-x>0 ,又 x + (2-x) = 2，M2-x)V上守=1，当且仅当a27,即1时等号成立,所以x(2 x)的最大值为1故选：B4 .化简 sin 8 +ecos。二() jritjrA. 2sin(6)B. 2sin(6)C. 2sin(6d)636【答案】D【解析】【分析】利用辅助角公式化简即可.【详解】sin。+Geos。° C.a工坦 力=2x sin，+ cos，”2 J(7171、=2x cos sin6 +sincos。1 33)( ji =2 sin 0 + -.I 3j故选：D716. “° = ”是“函数y = sin(x + 0)为偶函数”的()2B.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据充分必要条件的定义判断.71【详解】1一时,2y = sin（x +=sin（x + ） = cos x是偶函数，充分性满足，但0 = 时，y = sin（x + 0）= sin（x）=cos x也是偶函数，必要性不满足.应是充分不必要条件.故选：A.47.已知函数/。） = - log2 x ,下列区间中包含了（x）零点的区间是（A. (0,1)B. (1,2)C. (2,4)D. (4,5)【答案】C【解析】【分析】根据函数零点的存在性定理，求得/（2）/（4）0,即可得到答案.【详解】由题意，函数/（%）=3 -1*2%，易得函数/（x）为单调递减函数，又由,/（2）= ： log2 2 = l,/（4）= l k）g24 = l,所以2）4）。，根据零点的存在定理，可得/（X）零点的区间是（2,4）.故选：C.8.在平面直角坐标系中，动点”在单位圆上按逆时针方向作匀速圆周运动，每12分钟转动一周.若M的初始位置坐标为（；，日），则运动到3分钟时，M的位置坐标是（）A 咨令B.g，4C. 44）D.g【答案】A【解析】【分析】根据题意作出图形，结合图形求出3分钟转过角度，由此计算点的坐标.3冗【详解】每12分钟转动一周，则运动到3分钟时，其转过的角为一x2» = 一,122如图,jr设om与1轴正方向所成的角为e,则om'与1轴正方向所成的角为。+,2M的初始位置坐标为（L走），即cos e = L,sin （9 =且， 2 222所 以 cos(9 + 生)=一 sin 9 = , sin(9 + ) = cos 6 = - 2222即AT(正当. 2 2故选：A9.下列不等关系中正确的是（A. In2 + ln3 > 21n 2C. In21n3<l【答案】C9.下列不等关系中正确的是（B. In2 + ln3 > 21n 2C. In21n3<l【答案】C)C. In3-ln2> 2In 3 3D.< 一In 2 2【解析】【分析】对于A,作差变形，借助对数函数单调性判断；对于C,利用均值不等式计算即可判断；对于B,D,根据不等式的性质及对数函数单调性判断作答.52524【详解】对于A, In2 + ln3 21n二= ln6 ln，= ln,而函数y = lnx在（0,+8）单调递增，显然 2425245In一 <In 1 = 0 ,则 In2 + ln3 < 21n, A 不正确;25213Q11对于B,因为4e>9,所以e2>二，故ln3 ln2 = ln二<加 =_L, b不止确;222对于 C,显然，0<In2<In3 , In2-In3 <"102 + 103?<2>2二 (lnC)C正确;1 2 Q对于D,因为In9>ln8,所以21n3>31n2,即上>士，D不正确.In 2 2故选：C2" Q, X < 1xx-d),x> 1xx-d),x> 1A. (一8,1)B. (0,2)C. (0,+oo)D. 1,2)10 .若函数，。)=恰有2个零点，则。的取值范围是()【答案】D【解析】【分析】由分段函数可知必须每段有且只有1个零点，写出零点建立不等式组即可求解.【详解】因为/(x) = Mx )/21时至多有一个零点，单调函数/(x) = 2、Q,X<1至多一个零点,f 2' Q, X < 1而函数/(© = (恰有2个零点，x(x-a),x> 1所以需满足/(x) = Mx ),x21有1个零点，/(x) = 2“,不<1有1个零点，flog? a < 1所以 ：，a > 1解得1<q<2,故选：D第二部分(非选择题共110分)二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11 .函数y = tanx 最小正周期是.【答案】冗【解析】【分析】根据三角函数周期计算公式得出结果.7T【详解】函数y = tanx的最小正周期是7 = 1 = 故答案为：乃12 .集合A = 1，2的非空子集是.【答案】1,2,1,2【解析】【分析】结合子集的概念，写出集合A的所有非空子集即可.【详解】集合A = 1,2的所有非空子集是1, 2卜1,2.故答案为：1,2卜1,2.7.将函数y = sinx的图象先向右平移一个单位长度，得到函数'=的图象，再把图象4上各点横坐标缩短到原来的二(纵坐标不变)，得到函数，=的图象.2TT7T【答案】.sin(x-).sin(2% 二)44【解析】【分析】根据三角函数的图象变换可得变换后函数的解析式.【详解】由三角函数的图象变换可知，兀7T函数y = sinx的图象先向右平移一可得y = sin(x-一),441 JT再把图象上各点横坐标缩短到原来的不(纵坐标不变)可得y = sin(2x-),2 47T7T故答案为：sin(x- -) ； sin(2x ) 44.能说明命题“如果函数/(x)与g(x)的对应关系和值域都相同，那么函数/(x)和g(x)是同一函数”为假命题的一组函数可以是/。)=, g(x)=.【答案】.12,x?( 1,1).X2,xi 0,1)(答案不唯一)；【解析】【分析】根据所学函数，取特例即可.【详解】根据所学过过的函数，可取八%)二炉,%？( 1,1), g(尤)=>,1£ 0J),函数的对应法则相同，值域都为0,1),但函数定义域不同，是不同的函数，故命题为假.故答案为：X2 ,%? ( 1,1)； x2 ,xl 0,1).已知任何一个正实数都可以表示成ax 10(IWqv 10,及cZ),则Igi的取值范围是；的位数是.(参考数据1g 2 “ 0.301。)【答案】.。，1).31【解析】【分析】根据对数函数的单调性及对数运算、对数式指数式的转化即可求解.【详解】因为IWavlO,所以O = lglWlgavlglO = L 由 1g21°° =100x0.3010 = 30.10 = 30 + 0.10 ,故知 2i°°=axl（）3o,共有 31 位.故答案为：。，1）； 31三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.14 .已知集合4 = x|lv%<3, 3 = x|2"v4.（1）求集合AUB, B.（2）若关于的不等式%2+依+力<0的解集为求。费的值.【答案】（1） AjB = xx<3 9 B = xx.2（2） a = 3, b = 2【解析】【分析】（1）根据集合的并集、补集概念即可求解；（2）根据交集的概念和一元二次不等式的解法即可得 解.【小问1详解】因为8 =卜|2、<4,所以 J3 = x|x<2.因为 A = %|lv%v3,所以 AUB = x|x<3, B = xx.2.【小问2详解】因为 4口3 = %|1<%<2.所以V+aY + hvO的解集为X11 <x<2.所以12+分+力=0解为1,2 .所以<V1 +。+ /? = 0,4 + 2。+ /? = 0.解得，a = -3，b = 2.712,07.317.已知 sin oc , 5(1)求 sin 2a, cos 2a 的值;jr(2)求 tan(2a + -)的值.4247【答案】(1) sin2a=,cos 2a=2525【解析】【分析】（1）利用三角函数的平方关系求出cos。，再利用二倍角公式代入即可得出答案;（2）利用（1）的结果，同角的商数关系及两角和的正切公式及可得解.【小问1详解】/sin2« +cos2a-> 且。£一3,0 ，贝icoso>0.cos a = Vl-sin2 a = Jl -3 丫5j424x二5253所以 sin 2。= 2 sin a cos。= 2 x ()37所以cos2a = l-2sin2 a - 1-2x()2 =一525【小问2详解】247由(1)知 sin 22二,cos 2a = 一 ，2525匚 c sin 2a24 2524所以 tan 2a =x =cos 2a25 77c 兀 24 tan 2a + tan Fl 1 n4 = 7 =_£7 c 兀 一 24 - 311 - tan 2a tan Id4718.已知函数/（x） = 2sin（Gx +。）（口0,0。兀）在一个周期内的图象如图所示.（2）直接写出在区间0,2上的单调区间;（3）已知以$R,=/（+©都成立，直接写出一个满足题意的。值.2兀【答案】(1) /W = 2sin(2% + )J /增区间为用，詈，减区间为咤/、5兀(3)12【解析】【分析】（1）根据图象确定周期可得出口=2,再由图象过点求出夕=g即可得出解析式;（2）根据图象观察直接写出即可;（3）由/（。一次）=/（。+ %）知函数图象关于1=。对称，由图象直接写即可.【小问1详解】由图可知,T 571 7t 兀 2 -12 12 2所以丁 =兀.因,嗡,且口0,所以。=2.因为图象过点（后，2）,71所以 2sin(2x(五)+。) = 2.7T所以 sin（一二+。）= 1.6所以71c/ 兀/ rr+ 0 = 2/CJI + ,%£/.622兀所以 O = 2kli H，左 £ Z .因为。夕V 71 ,27r所以 /(x) = 2sin(2x + ).【小问2详解】 在区间。涧上,函数小）的增区间为庠节，减区间为。，覆岩，江【小问3详解】 因为f(a -x) = f(a + x)恒成立,