2-2基本不等式-【题型分类归纳】）.docx
2.2基本不等式,基本不等式的概念1、两个不等式重要不等式：a2+b2>2ab(a9北R),(当且仅当时取”号).常见变形公式：2(a2+b2)>(a+b)2 (a, beR)、ah < "基本不等式:号2瓦(a, beR+),(当且仅当。=匕时取到等号)./, 7 2常见变形公式：a + b> 2yab ； ab< .I 2 ,【注意】(1)成立的条件是不同的：前者只要求。，。都是实数，而后者要求。力都是正数;(2 )取等号“二”的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当。=力时取等号”.(3 )我们称审为a泊的算术平均数,称而为的几何平均数.因此基本不等式可表达为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.2、由公式+之2"和审2必弓1申出的常用结论- + y>2 (同号);a b(9异号);a b(3)2 <4ab<a ba + bT<>0,b>0)Bab<()2<22cr + b- / 八，八、-(a > Q.b > 0)二,基本不等式a + b2> 4ab的证明1、法一：几何面积法如图,在正方形A3c。中有四个全等的直角三角形.设直角三角形的两条直角边长为a、b，那么正方形的边长为 必定.这样，4个直角三角形的面积的和是2加？，正方形A5c。的面积为之+/.由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，所以：a2 +Z?2 > lab.当直角三角形变为等腰直角三角形，即，=时，正方形缩为一个点, 这时有/+/=2。/?.得到结论：如果q*£R+ ,那么片+ /之2"（当且仅当。=人时取等号）特别的，如果4>0 ,。>0,我们用G、分别代替。、人可得：如果。>0 ,力>0,贝+，（当且仅当。=力时取等号“="）.通常我们把上式写作：如果>0 , b>0< ,（当且仅当，=时取等号"=”）22、法二：代数法V a2+b2-2ab = (a-b)2>0 , 当a wb时，(a-匕了 >0 ； 当 a = b 时,(a 4 =。.所以（片+ 2帅，（当且仅当a = b时取等号"=”）.基本不等式a + b2> 4ab的几何意义如图，A3是圆的直径，点。是A8上的一点，AC = a,BC = b ,过点。作。C_LAB交圆于点D ,连接A。、BD.易证ReCD RtADCB , CD2 =CA CB , CD = Vab.这个圆的半径为空，它大于或等于，即安之值，22其中当且仅当点。与圆心重合，即a = 6时，等号成立.四.利用基本不等式求最值1、在用基本不等式求函数的最值时，要满足三个条件：一正二定三取等.一正：各项均为正数；二定：含变数的各项的和或积必须有一个为定值；三取等：含变数的各项均相等，取得最值.2、积定和最小，和定积最大（1 ）设x , y为正实数，假设x + y = s（和s为定值），那么当户y时，积犯有最大值，且这个值为不（2 ）设x , y为正实数，假设xy=p（积p为定值），那么当户y时，和x + y有最小值，且这个值为2赤题型一对基本不等式的理解【例1假设必>0 ,且a<b ,那么以下不等式一定成立的是（）A . a2<b2B . -<|C . - + 7>2D .等至a ha b2【变式1-1设X。，y>。，以下不等式正确的选项是（）A . x + ->4B , x（x- y） < yx - y）C . x2 + y2 <+）D .x2工 + yh n【变式1-2】假设Oab，有下面四个不等式：（1 ）；（2匕+厂2 ,（3） a + b<ab z（4）。屋乩那么不正确的不等式的个数是（）A . 0 B . 1 C . 2 D . 3【变式1-3许（M）且入，以下各式中最大的是（）A . a2 +h2B . 2>abC . labD . a+b21 9c CT b- r .C .12 a + /?b q21 9c CT b- r .C .12 a + /?b q【变式1-4(多项选择)设 >。，。>。，那么()A . (a + 2/?)(I)29B .矿 + 22( +/? +1)a b题型二利用基本不等式证明不等式【例2】。，3 c是互不相等的正数，且Q +0+ C=1 ,求证：d-1）（：-D d-1）8. a b c【变式2-1】设。，力为正实数,求证：（。+ 3（/+）+/）>8cM3 .【变式2-2】设Q,人为正数，且。+。= 1 .证明：（1 ） a（h +ha <:2（2 ） （/+0）仅2+。）>2【变式2-3】设均为正数，且。+。+。= 1 ,证明： (1 ) yab + /bc + ac < 1 ；(2)(2)111cr+ + >27 ah be ac题型三利用基本不等式求最值【例3】 , y£R+ ,且+ 4y = 1 ,那么孙的最大值为.【变式3-1（1 ）0<%<1 ,贝卜4 - 3%）取得最大值时x的值为（2 ）,贝Uy = 4无一2 +7，的最大值为.44%-5【变式3-2x>0 , y>0二+ : = 2 ,求x+y的最小值；x y1 4【变式3-3】正数,满足+你=4 ,求+ z的最小值.a b22【变式3设 , y是正实数,且中子那么全+壬的最小值是题型四基本不等式的恒成立问题【例4】当%1时，不等式"恒成立，那么实数。的取值范围是（）X IA .（，2B . 2,+8）C . 3, + a）D . （f，331/7【变式4-1】。,b0 ,假设不等式一+钎恒成立，贝卜的最大值为（） a b q + 3bA . 9B . 12C . 16D . 20ii1【变式4-2假设不等式f + + 。对任意恒成立，那么实数2的取值范围是（） a b b c c aA .（一双4）B . （-oo4C .（4,+qo）D , 4, + oo）【变式4-3（多项选择）假设41+4 =1 恒成立,那么，的取值可以是（）A . -2B , -1C . 0D . 1【变式4-4假设对任意实数%。，不等式+而。（%+丁）恒成立，那么实数，的最小值为（）A.四 B . V2-1 C. J2 + 1 D.立±1题型五利用基本不等式解应用题【例5】如图，公园的管理员计划在一面墙的同侧，用彩带围成四个相同的长方形区域.假设每个 区域的面积为12m2 ,要使围成四个区域的彩带总长最小，那么每个区域的长和宽分别是多少米？ 求彩带总长的最小值.【变式5-1】为宣传2022年北京冬奥会某公益广告公司拟在一张矩形海报缎记为矩形MCQ , 如图）上设计三个等高的宣传栏（栏面分别为一个等腰三角形和两个全等的直角梯形），宣传 栏（图中阴影局部）的面积之和为1440cm2.为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的 留空宽度均为2cm .设直角梯形的高为xcm.（1 ）当= 20时，求海报纸的面积；（2 ）为节约本钱，应如何选择海报纸的尺寸，可使用纸量最少（即矩形A8CQ的面积最小）？ 【变式5-2 2020年初至今,新冠肺炎疫情袭击全球,对人民生命安全和生产生活造成严重影 响.在党和政府强有力的抗疫领导下,我国控制住疫情后，一方面防止境外疫情输入，另一方 面逐步复工复产，减轻经济下降对企业和民众带来的损失.为降低疫情影响，某厂家拟在2022年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）X万件与年促销 2费用m万元NO）满足x=4-生产该产品的固定本钱为8万元,生产本钱为16万元 m+1/万件，厂家将产品的销售价格定为阳詈万元/万件（产品年平均本钱）的1.5倍.（1 ）将2022年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；（2 ）该厂家2022年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？【变式5-3】第四届中国国际进口博览会于2021年11月5日至10日在上海举行.本届进博会 共有58个国家和3个国际组织参加国家展（国家展今年首次线上举办），来自127个国家和地 区的近3000家参展商亮相企业展.更多新产品、新技术、新服务“全球首发，中国首展”专（业） 精（品）尖（端）特（色）产品精华荟萃，某跨国公司带来了高端空调模型参展，通过展会调 研，中国甲企业计划在2022年与该跨国公司合资生产此款空调.生产此款空调预计全年需投 入固定本钱260万元，每生产x千台空调，需另投入资金R万元，且1 Ox2 + qx, 0 < x < 40R= 90L?_9450x + 10000 、,八经测算，当生产1。千台空调需另投入的资金R = 4000万元.现 ,x>40I %每台空调售价为0.9万元时，当年内生产的空调当年能全部销售完.（1 ）求2022年企业年利润W （万元）关于年产量x （千台）的函数关系式；（2 ） 2022年产量为多少（千台）时，企业所获年利润最大？最大年利润多少？（注：利润=销售额-本钱）
