考点03等式性质与不等式性质-）2.docx

考点03等式性质与不等式性质1、比拟两数(式)大小的方法2、利用不等式的性质判断正误的2种方法作差法作商法原理设“，力WR,贝!。一仍>0=«>力；ab=0a=b； ab<Q=>a<b设 a>0, b>09 贝哈>l=a>8；i=lna=8；1Vl=avB步骤作差并变形(配方、因式分解、通分等)=判 断差与0的大小=>得结论作商并变形(配方、因式分解、通分等)='J 断商与1的大小=得结论(如果两个数都是正 数，一般用作商法，其它一般用作差法.)注意利用通分、因式分解、配方等方法向有利于判 断差的符号的方向变形作商时各式的符号应相同，如果m 5均小于0, 所得结果与“原理”中的结论相反.变形方法有 分母(或分子)有理化，指、对数恒等变形等(1)直接法：对于说法正确的，要利用不等式的相关性质或函数的相关性质证明；对于说法错误的只需举出 一个反例即可；特殊值法：注意取值一定要遵循三个原那么：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算；三是 所取的值要有代表性.3、利用待定系数法求代数式的取值范围，b)<Ni，M2<f2(a . b)<N2，求 g(a,力)的取值范围.设 g(a, b)=pfi(a, b)+qf2(a, b);根据恒等变形求得待定系数p.q；再根据不等式的同向可加性即可求得g(a,的取值范围.考点一用不等式表示不等关系1. (2022.全国.高一课时练习)某公司准备对一工程进行投资，提出两个投资方案：方案A为一次性投资300 万；方案B为第一年投资80万，以后每年投资20万,以下不等式表示“经过年之后，方案3的投入不大于 方案A的投入”的是()B. 80+20/?<300B. 80+20/?<300A. 80+20N300hh A- iv【解析】设升级前的“屏占比”为日，升级后的“屏占比”为Ca>b>0, m>0）.因为aa + mb + m b （a-bm=： >o,所以升级后手机“屏占比”和升级前相比变大，am a 矶a + 2）应选：C.26. （2022安徽蚌埠高一期末）体育课上，小明进行一项趣味测试，在操场上从甲位置出发沿着同一跑道 走到乙位置，有两种不同的行走方式（以下为。）.方式一：小明一半的时间以m/s的速度行走，刹余一 半时间换为以m/s的速度行走，平均速度为不；方式二：小明一半的路程以m/s的速度行走，剩余一半 路程换为以m/s的速度行走，平均速度为心；试求两种行走方式的平均速度G，% ；（2）比拟不历的大小.【解析】设方式一中小明行走的总路程为s,所用时间为J由题意得可知斗二七士乙乙乙设方式二中所用时间为L，总路程为S,_ Sv2 =那么 G2中2（2氾一% 二玉 2X/ _ （% +）2 - 4X _ （斗 一/I2%+工22（犬+九2）2（占+了2）因为玉>0,修。且玉工电，所以耳_至L>o,即2（. +工2）27. （2022全国高一课时练习）某种商品计划提价，现有四种方案:方案（1）先提价m% ,再提价九 ；方案（2）先提价,再提价加；方案（3）分两次提价，每次提价等；2方案（4） 一次性提价（根+耳.2>0,那么四种提价方案中，提价最多的是哪种方案？（777 （77、777 + D 77777【解析】依题意，设单价为1,那么方案（1）提价后的价格是1 + - 1 + - =14- + , 1UU1UU y1UU 1UUUU方案(2)提价后的价格是1 +赤I 1UUI 100 J1 m + z? mn=1 H110010000方案(3)提价后的价格是1 +200)2/2./% + (m + n)=1 + 10040000方案(4)提价后的价格是1 +猊所以，提价最少的是方案（4）,方案（1）和方案（2）提价后的价格是一样的,只需比拟赢与2"的大小即可, 40000因为桃>0 ,那么（切->0 ,所以,m + mn(m + 4mn (m - n)-40000 1000040000400000,所以,(.、21根+1 +I 200 )( 1 m1 HI 100 J因此，方案（3）提价最多.考点七新定义问题28. （2022北京石景山高一期末）假设实数x,九 加满足|工-根|>|丁-加|,那么称x比丁远离身.假设x比9远离1,求实数九的取值范围； 假设加£1, x+y = 2,试问：x与哪一个更远离m,并说明理由.【解析】由x比;远离1,那么卜-1|：T ,即卜1|2. ,，2X-1>-X- <-, 得：X <x> . 2222I 3X的取值范围是（F, 5）U （于+8）.(2)因为 f + y2 2(X+)1=2 2 m，有 I f + y2 /川=f + y2 一 加, 因为 X+y = 2,所以 f+y2=2x2-4x + 4.从而 I + V 一川一 | *一 7nl= 2x2 - 4x + 4 m- x-m ,当加时，)5 9 70x2 y2 -m-x-m = 2x2 -5x +4 = 2(x )2 + > 0 = 2x2 -4x + 4 m一(x m), 即 | x2 + y2 -m>x-m ；.48当时,）3 7 23jc + y2 -m-x-m =2 一4x + 4一 加+ （x-m） =2x2 -3x + 4-2m =2（x）2 + - -2/n , 4823乂 m£ 1,那么2m > 0 .8323 2（x ） H2m > 0 ,艮|J | x + y ni |>| x - tn .48综上，+ V-m|>“一机|, IP x2 + y1比1更远离加.29. （2022上海高一专题练习）对在直角坐标系的第一象限内的任意两点作如下定义：假设£>三,那么称点 b a（。，b）是点（c, d）的“上位点”，同时点（c, d）是点（m b）的“下位点”试写出点（3, 5）的一个“上位点”坐标和一个吓位点”坐标；（2）点（m b）是点（c, Q的“上位点”，判断是否一定存在点尸，满足既是点（c, d）的“上位点，又是点（，b）的“下位点”，假设存在，写出一个点P坐标，并证明；假设不存在，那么说明理由；【解析】（1）因为对在直角坐标系的第一象限内的任意两点作如下定义：假设£那么称点（，。）是点（a d）的“上位点”，同时点（c, d）是点（m/?）的“下位点”，b a所以点（3, 5）的一个“上位点”坐标是（3, 4）和一个“下位点”坐标是（3, 6）；（2）因为点（a, b）是点（c, d）的“上位点”，所以一定存在点P （。+。，b+d）满足既是点（c, d）的“上位点，又是点（m b）的“下位点”,证明如下：因为点（m b）是点（c, d）的“上位点”，所以£>二，IP ad>bc, b a口-7 a + c c ad + cd - be - de ad-be 八所以=;=y > 0 ,b + d d bdd2bd + d2即容吟，所以点。3，b+d）是点（c, d）的上位点,所以a + c a _ ab + cb -ab- ad b + dbbd + b1be- ad bd + d2<0,即窜（所以点尸S' M是点"的吓位点，综上：点尸（a+c, b+d）满足既是点（c, d）的“上位点，又是点（。，b）的“下位点C. 80+20( 1)2 300D. 80+20(/?-1)<300【解析】经过年之后，方案B的投入为80 + 20（-1）,故经过年之后，方案B的投入不大于方案A的投入，g|J 80+20(/2-1)<300应选：D.（2022全国,高一课时练习）某校在冬季长跑活动中，要给获得一、二等奖的学生购买奖品，要求花费总额不得超过200元，一等奖和二等奖奖品的单价分别为20元、10元，一等奖人数与二等奖人数的比值 不得高于;，且获得一等奖的人数不能小于2设获得一等奖的学生有x人，获得二等奖的学生有>人，那么满足的不等关系为【解析】由题意得:【解析】由题意得:20x + 10j<200<1v y 3x > 2, x e TV''yeN化简得:2x+y<20 3x-y <0 xN2,xe N” yeN"故答案为：”3x-y<0 x>2,xeN".（2022全国,高一课时练习）在日常生活中有这样一种现象，向糖水中不断加入糖，糖水会变得越来越甜.已 知Q克糖水中含有b克糖3>人>。），再添加加克糖（相>。，假设全部溶解），可将糖水变甜.这一事实表 示为以下哪一个不等式？（）b b + m- b b + ma b + m_ a a + mA. -> B. -< C. -< D.-<a a + ma a + mb a + mb b + m【解析】因为向糖水中不断加入糖，糖水会变得越来越甜， b所以糖水的浓度士， ah 4- m再添加"2克糖，即浓度一, a + m.必十1f 1 I b b + 772将糖水变甜.那么一<,a a + m因为>b>0, m>0,所以2-牛吗<。, a q + 根 aa-m)应选：B考点二比拟两个数（式）的大小4. （2022甘肃张掖高一期末）假设 =（%+1）（%+3）, 4 = 2（X+2）2,那么以下结论正确的选项是（）A. a>bB. a <bC. a>bD. a, b 大小不确定【解析】因为b a = 2（x + 2）2（x+l）（x+3）二 （x+2/+l0,应选：B.5.（2022.河北.武安市第一中学高一期末）%eR,比拟（x + l）（Y+畀1）与（工+斗1+4）的大小.【解析】由(X + 1)(%2 + + 1) (% + )+ X + 1所以（x + 1）2 X 1X -F 1 > X H76.（2022.全国.高一专题练习）avbvO,试比拟±与*的大小. a-b【解析】a<b<0,a2 +b2.J/八 a + h 门> 0,> 0 ,a-b两数作商cT + b a + b cT + b cib= 7/ c xci -b ci h (q + Z7)(q b) a + ba2 +/?21 2ab = v 1（6Z + Z?）2/+/'ci + b 。+ Z?,<a2-b2 a-b97.（2022全国高一专题练习）:。、bsK ,且4b,比拟优以与的大小.【解析】:。、beR* , ：. aabh > 0 , abba > 0作商：空!=（分=（3）曜）q=（g严（*） abba h a b h b假设a>b>0,那么*b0, （f严>1,此时优法成立； bb（2）假设 620,那么a-b<0, （f严 >1,此时相廿 >a%。成立. bb综上，优乂,a%。总成立.8. （2022全国高一单元测试）/? = «-6, c = V6-V2 ,那么。，b ,。的大小关系为（）A. a>b>cB. a> c>bC. c> a>bD. c>b> a【解析】由。一 =0 +百一近，_a（V2 + V3）2=5 + 2V6>7,故由a-c、= 20-指且（2伪之=8>6,故b-0 =（4+血）-（指+ 且（遥+可=9 + 29>9 + 2 =（近+何，故cb.所以Q>C>，应选：B.I 1卜u _ 1（2022.全国高一课时练习）设。>6>1, yi = 7,%=，%= 7，那么/”，”的大小关系是（）Q + 1aa-A. y/Vy2V”B. y2<yi<ysC. y3<y2<yiD. y2<ys<yih + h ab +a- ah - h a-b 、【解析】 由有 V -），2 二 777=二/ . i ,-=即 y/>y2,h b- ab-b-ah + a a-b由>。>1,有”一”二一二（ n -=（7>0,即">”，Cl CI - 1u CI 1 ICl Cl 1 I所以应选：c.考点三不等式的性质及应用9. （2022四川绵阳高一期末）以下结论正确的选项是（）A假设人，那么QC>Z?CB,假设那么）a bC.假设 a> b ,那么 a + c>b + cD.假设 a>b ,那么/>【解析】对于A;假设4>Z?, c<0时，那么qc秘，故A错；对于B;假设取。=11=0,那么:无意义，故B错； b对于C；根据不等式的可加性可知：假设a>b,那么a + c>b + c,故C正确；对于D;假设取。=1/=-2,但/<，故d错；应选：C（2022.辽宁营口市第二高级中学高一期末）以下命题正确的选项是（）A.假设 ac > be ,贝B.假设ac = be ,那么 q = bC.假设 那么 a bD.假设 ac1 > be2，那么 a > 【解析】对于A,假设c<0,由ac>/?c可得：a<b , A错误；对于B,假设c=0,那么碇=历=0,此时a = 未必成立，B错误;对于C,当a>O>b时，>0>y , C错误； a b对于D,当时，由不等式性质知：a>b , D正确.应选：D.10. (2022陕西安康高一期末)假设凡上cgR,且。>人那么以下不等式中一定成立的是()A. a+b>b-cA. a+b>b-cB. ac>bcc2C. ->0a-bD. (a-b)c2>0【解析】A显然错误，例如a = 3,b = 2,c = -10,【解析】A显然错误，例如a = 3,b = 2,c = -10,a+b<bc；c < 0 时，由。> b 得 QC <, B 错;c1a>b nab>。,但 c = 0 时， =0, C 错;a-ha>b a-b>0, Xc2 > 0 ,所以(一/?)<? 2。,D正确.应选：D.13. (2022四川内江高一期末(文)假设那么()A. 1<1a bA. 1<1a bB. a-b>b-c 1 1C.<a-c b-cD. ac<bc【解析】 a>b>c,a>0力<。时，仍然有！?，a错; a b正确;a = 4, = 3,c = 1 时，a-b<b-c, B 错;a>b>c = a-cb c>0 = - < - , C ac b-cc >。I寸，ac > be , D 错.应选：C.14. (2022.四川遂宁中学高一期末(理)假设人<。<0,那么以下不等式正确的选项是()1 1.111Z.A. > B. ah < a2C. >D. 6Z > ba ba-b a【解析】令 =3, q = 2,满足人<。<0,但不满足,>!，故A错误； a bb<a<0,:.ab> a1,故 B 错误;b<a<0, ：.a-b>0 , *, >0 , <0 , 二一> , 故 C 正确； a b aa-b ab<a<0, .1 b>a ,故 D 错误.应选：C.15. (2022四川成都高一期末(理)实数mc满足c<b<。，ac<0,那么以下选项中一定成立的 是()A. ac(a-c)>0B. cb2 < ca2C. ab>acD. c(b-a)<0【解析】因为实数。，b, c满足c<Z?vq, ac<0,所以 q>0,c<0,对于A,因为所以。一。>0,因为acvO,所以ac(a-c)<。，所以A错误，对于B,假设abO,那么因为c<。，所以c/vcb，所以B错误，对于C,因为>c,q>。，所以必qc,所以C正确，对于D,因为匕<，所以人一。<0,因为cvO,所以。仅一。)>0,所以D错误，应选：C(2022四川自贡高一期末(文)对任意实数。力cd,命题：假设Q > , C W 0 ,那么QC >历；假设 a>b ,贝lj ac1 > he2;假设ac1 > be2,那么。> .假设a3 >b3,ab<0 ,那么，> 1, a b其中真命题的个数是()A. 0B. 1C. 2D. 3【解析】对于，假设evO,那么ac<bc,错；对于，假设c=0,贝跖，=*2,错；对于，假设/>秘2,那么020,由不等式的基本性质可得。>如 对；对于，假设/厅abv。，那么。>0>b,那么,>。>:，对 a b应选：C围为.【解析】V 1<61<3, ：.2<2a<6.V2</?<5, A -15<-3/?<-6,一12v2一3+l<L.l<a<3, . 1 << 73 . . 2<b<5 ,4</r<25, 二/故答案为：(12,1)；,(25 4 Jf x+y>120. (2022全国高一课时练习)假设实数x, y满足%;5x-2y > 2A. l,+oo)B. 3, +oo)C. 4, +00)【解析】设2x + y = m(x+y) +几(5元+2y),m + 5/1 = 21那么 c 1，解得2 = =彳，"7 + 2 = 13I/1 / . 1 G 6 9 <r<25 b- 425 b2 4，那么2x+y的取值范围()D. 9,+8)19. （2022全国高一课时练习）lva<3, 2Vb<5,那么2a-3b + l的取值范围为,巫的取值范考点四利用不等式的性质求取值范E16. （2022新疆昌吉高一期末）某班有学生参加才艺比赛，每人参加一个比赛，参加书法比赛的人数多于 参加唱歌比赛的人数，参加唱歌比赛的人数多于参加折纸比赛的人数，参加折纸比赛的人数的两倍多于参 加书法比赛的人数，那么参加这三项比赛的人数至少为（）A. 7B. 9C. 12D. 15【解析】设参加书法、唱歌、折纸比赛的人数分别为人 J且。，b, c为正整数，那么由题意得QN8 + 1,匕 2 c +1, 2c 2 q +1,可得 q+/? + 2c 2 Z? +1 + c、+1 +。+1,即c、23,所以h24, >5,故参加这三项比赛的人数至少为3 + 4 + 5 = 12.应选：C.17. （2022全国高一专题练习）设2<q<7, l<b<2,求a + 3b, 2ab ,巴的范围. b【解析】,2<<7, 1</2<2,4 < 26? < 14 >> 3 < 3Z? < 6 2 < b <1, < <1, 2 b.5va + 3vl3, 2<2a-b<A3 ,Al<-<7. b故 5va + 3bvl3, 2v2a-b<A3 , 1 < < 7 .b故2x+y =，（x+y） + '（5x + 2y）,又因又因y>l 5x + 2y 2 2'ii i7所以Q（x+y）24F（5x + 2y）NQ,所以2x+”l.应选：A.考点五不等式的证明h h + m（2022全国高一课时练习）。也根都是正数.求证："一< ”的充要条件是 a a + mh h + ni【解析】证明：必要性：假设巳< 竺竺， a a + ma,b,m e R+, /. a + m.b + m g R+,b b + 772/ <， h（a + m） <+ m）, gJ ab+bm<ab + am , （a-h）m>0, m > 0 , .6Z-Z?>0 ,即 q>Z?,必a a-m要性得证；充分性： 假设a>b , /m>0 ,:.am>bm , :,ab-am> ab + bm,a（b +w）> b（Q +m），a, a +根£ R+ ,不等式两边同时除以a（a + m）,即得到2 <丝,充分性得证. a a + m综上，生丝的充要条件是 a a + m（2022江苏高一专题练习）Q>b>0, c<d<0, m<0,求证：1 1（1）<；a-c b-d m m（2）>.a-c b-d【解析】（1）证明：因为。>人>0, -c>-d>0,所以 a-c>0 d>0所以一<1工；a-c b-d（2）证明：由（1）得一匚<二:，a-c b-d又加<0,所以”>吕.a-c b-d（2022全国高一课时练习）设，b, ceR, Q + h + c = 0, abc<0,证明：- + - + ->0.a h c【解析】证明：因为 + 0 + c = 0,所以42+/+/+ 2ab + 2ac + 2bc = 0.乂 abc w 0,所以 / + + / > 0,所以必+bc + ca<0.1 1 1 ab + bc + ca. f八因为h -h =, abc < 0 , ab+be+ca <0 ,abc abc所以+ 7 + >0.abc考点六不等式的实际应用23. （2022山东滨州高一期末）一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金.一位顾客到店里购买12g黄 金，售货员先将6g的祛码放在天平左盘中，取出xg黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将6g的祛码放在 天平右盘中，再取出yg黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客，那么（）A. x+y>12B. x+y = 12C. x+y12D.以上选项都有可能【解析】由于天平的两臂不等长，故可设天平左臂长为。，右臂长为b （不妨设。>加， 先称得的黄金的实际质量为犯，后称得的黄金的实际质量为?2，由杠杆的平衡原理：励j=ax6, am, =hx6 , 6a 6b解得叫=丁， % = 一， b a6a 6b贝IJ町+加2 =F ,b a下面用作差法比拟叫十根2与12的大小，/、tc 6616b6（b-a）2（m. + /%） 12 =112 =,b aab乂 ,: a。b , 0 9ab/.+ m0 > 12 ,二顾客实际购买的黄金大于12克.应选：A.24. （2022甘肃庆阳.高一期末）手机屏幕面积与手机前面板面积的比值叫手机的“屏占比”，它是手机外观设 计中一个重要参数，其值通常在。1之间.假设设计师将某款手机的屏幕面积和手机前面板面积同时增加相 同的数量，升级为一款新手机，那么该款手机的“屏占比”和升级前相比（）A.不变B.变小C.变大D.变化不确定