18.2.3.3中点四边形动点问题.docx

中点四边形+动点问题一、单选题.（2021广东高州市镇江第一九年级期中）若顺次连接四边形4ACQ各边的中点所得到的四边形是正方形， 则四边形人BC。一定是（）A.矩形B.菱形C.正方形D.对角线垂直且相等的四边形【答案】D【解析】【分析】根据题意找到己知条件和所求结论，根据三角形中位线的性质，进行判定即可.【详解】己知：如下图，四边形EFG”是正方形，且七、F、G、，分别是人仄BC、CD、AQ的中点，求证：四边形A3CO是对角线垂直且相等的四边形.证明：由于£、F、G、H分别是A3、BC、CD、A。的中点，根据三角形中位线定理得：EH/FG/BD, EF/AC/HG-四边形EFG”是正方形，即FE=FG,：.ACLBD, AC=BD,故选：D.【点睛】此题考查了正方形的性质以及三角形中位线的性质，解题的关键是掌握正方形和三角形中位线的有关性质.1 . （2020广东佛山市华英九年级期中）下列命题正确的是（）.A.对角线相等的平行四边形是菱形B.对角线相等且互相垂直的四边形是正方形C.矩形的对角线互相垂直D.顺次连接菱形各边中点，所得的四边形是矩形【答案】D【解析】【分析】根据菱形、矩形、正方形的性质和判定定理分别进行分析即可.【详解】以点P、。、Q、8为顶点组成平行四边形，：.DP=BQ,分为以下情况：点Q的运动路线是C-B-C,由题意得:4f. 15 = 15 - /,解得：1=6；点Q的运动路线是C-B-C-B,由题意得：15 - (4f- 30) =15-/,解得：，=10：点Q的运动路线是C-B-C-B-C,由题意得：4/-45 = 15-/,解得：1=12：综上所述，/的值为6或10或12,故选：B.【点睛】此题考查了平行四边形的性质和平行四边形中的动点问题，解题的关键是根据题意分情况讨论.二、填空题(2021甘肃会宁九年级期中)顺次连接四边形ABC。各边中点从F、G、H,得到四边形EFG”,只 要添加一条件，就能保证四边形EFGH是矩形.【答案】AC1RD【解析】【分析】根据中点四边形的性质和矩形的性质判断即可；【详解】解：如图，连接AC, BD, :E、F、G、H是四边形A8C。各边的中点，A EF/AC, HG/AC, EH/IBD, FG/BD,：.EF/HG, EH/FG,四边形EFGH是平行四边形，V AC±BD, EF/AC, EH/BD, EFLEH, : NFEH =时, 四边形是矩形；故答案是AC，Q.【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定，三角形中位线定理，矩形的判定，准确分析判断是解题的关键.12. （2022黑龙江省八五四农场八年级期末）如图，正方形ABCD的边长为，作正方形4/8/。/,使A,B, C,。是正方形A/8/G。/,各边的中点；做正方形使4,即 C/,。/是正方形A282c2。各 边的中点以此类推，则正方形42°2/8202/。202/。202/的边长为 .【答案】210"【解析】【分析】根据勾股定理求得正方形对角线的长度，然后结合三角形中位线定理求得正方形的边长，从而探索数字变 化的规律，进而求解.【详解】由题意得，正方形A8CO中CD=AD=42在 Rt44C。中，AC=1aD、CD? =2A, B, C,。是正方形ABGR各边的中点, 正方形A&CQ的边长为2=（V2）2在/<tA用GR中触尸西+西=204,4，G，是正方形A*2c2。2各边中点 正方形482c的边长为2行=（无丫以此类推2022 F 2 丁°"则正方形%的边长为（&厂:（竹 =2,0"故答案为：2,°"【点睛】本题考查勾股定理，正方形性质，探索数字变化的规律是解题关键.13. （2021陕西榆林市第一分校九年级阶段练习）点从F、G、分别是任意四边形八BC。中八AB、BC、CO各边的中点，对角线AG BD交于点O,当四边形A8CO满足 条件时，四边形EPG”是正方形.【答案】对角线垂直且相等【解析】【分析】根据三角形中位线定理得到EF/BD, EF=BD, GH/BD, GH=BD, EH=；AC,进而证明四边形EFGH 为平行四边形，再根据正方形的判定定理解答即可.【详解】解：点£、F、G、”分别是任意四边形ABC。中A。、44、BC、CO各边的中点，:EFBD, EF=；BD, GH/BD, GH=BD, EH=AC, :.EFGH, EF=GH,四边形EFGH为平行四边形，当 AC=B。时，EF=EH,平行四边形EFG”为菱形，当 AC_L4。时，EF±EH,菱形EFG为正方形， 当四边形ABCD的对角线垂直且相等时，四边形EFGH是正方形, 故答案为：对角线垂直且相等. 【点睛】本题考查的是中点四边形的知识，掌握正方形的判定定理、三角形中位线定理是解题的关键.14. （2021全国九年级专题练习）如图，E、F、G、”分别是四边形ABCO各边的中点，对角线AC、BD 的长分别为7和9,则四边形EFG”的周长是.【答案】16【解析】【分析】根据三角形中位线的性质得出."G/AC, EF/AC, HE3DB, GFUBD,RHG=-AC, EF=-AC, HE=-DB , GF=-BD ,进而得出= G， HG = FE = -AC ,即可得出222222答案.【详解】解：.£、F、G、，分别是四边形A8CD各边的中点，：.HG/AC, EF" AC, HE/DB, GF/BD,HG=-AC, EF=-AC, HE=-DB , GF=-BD , 2222.对角线AC、8。的长分别为7和9,I9I7：.HE = GF = -x9 = - , HG = FE = -x7 = -, 222297四边形律的周长是：2x + 2x- = 16.故答案为：16.【点睛】此题主要考查了中点四边形的性质，利用三角形中位线定理得出HE = GFBD, G = bE = g4。是解 题关键.16. （2021北京广渠门教育集团八年级期中）如图，点4、B、C为平面内不在同一直线上的三点.点。为 平面内一个动点.线段AB, BC, CD, D4的中点分别为M、M P、Q.在点D的运动过程中，有下列结论： 存在无数个中点四边形MNPQ是平行四边形；存在无数个中点四边形MNP。是菱形存在无数个中点四边形MNPQ是矩形存在无数个中点四边形MNPQ是正方形所有正确结论的序号是【答案】【解析】【分析】根据中点四边形的性质：一般中点四边形是平行四边形，对角线相等的四边形的中点四边形是菱形，对角 线垂线的中点四边形是矩形，对角线相等且垂直的四边形的中点四边形是正方形，由此即可判断.【详解】解：一般中点四边形是平行四边形，对角线相等的四边形的中点四边形是菱形，对角线垂线的中点四边形是矩形，对角线相等且垂直的四边形的中点四边形是正方形，存在无数个中点四边形MNPQ是平行四边形，存在无数个中点四边形MNPQ是菱形，存在无数个中点四 边形MNPQ是矩形.故答案为：【点睛】本题考查中点四边形，平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的判定，正方形的判定等知识，解题的关键 是理解题意，灵活运用所学知识解决问题.三、解答题（2021山东阳信八年级期末）如图，在四边形A8CO中，E,尸分别是AD, BC的中点，G , ”分别是对角线B。，AC的中点，依次连接E, G , F ,",连接耳GH .（1）求证：四边形EG"/是平行四边形；（2）当AB = C。时，放与G”有怎样的位置关系？请说明理由；【答案】（1）见解析；（2）当A8=CO时，EF1GH,理由见解析【解析】【分析】（1）利用三角形的中位线定理可以证得四边形EGFH的一组对边平行且相等，即可证得；（2）根据菱形的判定和性质定理即可得到结论.【详解】解：（1）证明：四边形ABC。中，£、F、G、分别是4。、BC、BD、4c的中点，：.FG=CD, FG/CD. HE=gcD, HE/CD.：.FG=EHf FG/EH,，四边形EGF”是平行四边形；（2）解：当 48=。时，EF工GH,理由：由（1）知四边形EG"/是平行四边形，当 48=。时，EH二;CD, EG=AB, ：,EG=EH,四边形EG/7T是菱形，C.EFLGH.【点睛】本题考查的是三角形中位线定理的应用，平行四边形和菱形的判定，掌握三角形的中位线平行于第三边且 等于第三边的一半和菱形的对角线互相垂直是解题的关键.17. （2021湖北黄冈八年级期末）我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中所得的四边形叫中 点四边形.（1）如图1,在四边形A3C。中，点£, F, G, 分别为边A8, BC, CD, D4的中点，中点四边形EFG” 是.（2）如图2,点尸是四边形A8C。内一点，且满足布 =尸8, PC=PD, NAPB=NCPD,点、E, F, G, H分别为边AB, BC, CD, D4的中点.猜想中点四边形EFGH的形状，并证明你的猜想.（3）若改变（2）中的条件，使NAPB=NCPQ=90。，其他条件不变，直接写出中点四边形EFG/7的形状（不必证明）.【答案】（1）平行四边形：（2）菱形，见解析：（3）正方形【解析】【分析】（1）连接B。，根据三角形中位线定理证明EH尸G, EH=FG,根据平行四边形的判定定理证明即可；（2）证明根据全等三角形的性质得到AC=8。，再证明E/三/G,根据菱形的判定定理证明 结论；（3）证明/E”G=90°,利用“?。0/8所，得到N4CP=N8OP,即可证明NCOD=NCPD=90°,再根据平 行线的性质证明NE，G=90。，根据正方形的判定定理证明即可.【详解】解：（1）如图1,连接 点E,“分别为边D4的中点，J.EH/BD, EH=-BD,2点F, G分别为边BC, CD的中点，：.FG/BD, FG=-BD,2:.EHFG, EH=GF,中点四边形EFGH是平行四边形，故答案为：平行四边形；（2）结论：四边形EFG”是菱形，理由:如图2,连接AC, BD.1 /APB=NCPD,工 ZAPB+ ZAPD= ZCPD+ ZAPD,即N"C=N3P。，在"PC和8PQ中，AP = BPNAPC = NBPD , PC=PD:.APCW4BPD （SAS）,：,AC=BD, :点E, F, G分别为边A从BC, C。的中点，：.EF=-AC, FG=-BD, 22：.EF=FG,由（1）知中点四边形EFG”是平行四边形， 平行四边形EFG”是菱形；（3）结论：四边形EFGH是正方形，理由：如图2,设4c与8。交于点O. 4c与PD交于点M,APCgABPD, /ACP=NBDP, , NDMO=/CMP,：.NC0D=/CPD=9（T,:EHBD, AC/HG, NEHG=NDOC=90。,由（2）知中点四边形EFG”是菱形，菱形EFG”是正方形.【点睛】本题考查的是平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、菱形的判定和性质、正方形的判定和 性质，解题的关键是灵活应用三角形中位线定理，学会添加常用辅助线.19. (2021浙江省余姚市实验八年级期中)如图，在四边形ABC。中，AB=CDt E、F、G、H分别为A。、 BC、BD、AC的中点,顺次连接乐G、F、H.(1)求证：四边形EGF”是菱形.(2)当N44。与NQCB满足什么关系时，四边形EGF为正方形，并说明理由.(3)猜想：4GFH、/ABC、NOC8三个角之间的关系，并证明你的猜想是成立的.【答案】(1)见解析(2)当NA8C+NOC8=90。时，四边形EG/77为正方形(3) NGF"+NA8C+NOC8 = 180°【解析】【分析】(1)根据三角形中位线的性质得到EH=；CD, HF=；AB, EG/AB, HF/AB,根据菱形的 判定定理即可得到结论；(2)根据平行线的性质得到N4BC=N”FC, NQCB=NGF8,根据平角的定义得到NG/77=90。，于是得 到结论；(3)由平行线的性质得到NA8C=N”尸G NDCB=NGFB,根据平角的定义即可得到结论.【详解】解：(1)E、F、G、，分别为A。、BC、BD、AC的中点， ：.EG=-AB, EH=；CD, HF=；AB, EGHAB, HF/AB, 四边形EGFH是平行四边形，EG=EH,四边形EGF是菱形：(2)当NA4C+NQC4=90。时，四边形EGPH为正方形，理由：VGF/CD, HFHAB,：.ZABC= /HFC, /DCB= /GFB, NABC+NDCB=90。,：,ZGFH=90°t菱形EGF”是正方形；(3) NG"7+N/WC+NOCB=180°,理由：VGF/CD, HFIIAB, ZABC= NHFC, ZDCB= /GFB, NBFG+ NGFH+ NHFC= 180°,NGFH+ ZABC+ ZDCB=180°.【点睛】本题考查了中点四边形，菱形的判定和性质，正方形的判定，三角形中位线的性质，熟练掌握三角形中位 线的性质是解题的关键.20. （2021山东青岛大学附属八年级期末）如图，在平行四边形4BCO中，A4 = 8cm,3C = 16cm. ZB = 30°.点尸在8c上由点8向点C出发，速度为每秒2cm；点。在边A。上，同时由点。向点A运动，速度为每秒1cm.当点尸运动到点。时，点/）, Q同时停止运动.连接PQ,设运动时间为/秒.（1）当/为何值时，四边形A3PO为平行四边形？（2）设四边形A8PQ的面积为>，求 丁 与，之间的函数关系式.（3）当/为何值时，四边形A8PQ的面积是四边形A8C0的面积的四分之三？求出此时NPQ。的度数.（4）连接AP,是否存在某一时刻/，使A8P为等腰三角形？若存在，请求出此刻，的值；若不存在，请 说明理由.【答案】（1）y； （2） y=S ABPQ=2t+32 （0</<8）； （3） f=8, /PQD = 75 ； （4）当/=4 或生叵或334G时，ZMBP为等腰三角形，理由见解析.【解析】【分析】（1）利用平行四边形的对边相等人建立方程求解即可；（2）先构造直角三角形，求出AE,再用梯形的面积公式即可得出结论；（3）利用面积关系求出t,即可求出Q0,进而判断出。Q=PQ,即可得出结论;（4）分三种情况，利用等腰三角形的性质，两腰相等建立方程求解即可得出结论.【详解】解：（1） 在平行四边形48CQ中，A4 = 8cm, BC = 16cm,由运动知,A0=16T, BP=2f,四边形A8PQ为平行四边形，：.AQ=BP,A16-/=2rJ /,3即：，=生时，四边形A8PQ是平行四边形；(2)过点A作4E_L3c于E,如图，在 中，Z«=30°, 43=8,AE=4,由运动知，BP=2t, DQ=t,四边形48C。是平行四边形，.*.AD=BC=16,AQ=16-t,:丫=S四边杉ABPQ=W (4P+4Q) ME=y (2/+16-/) x4=2/+32 (0</<8)；(3)由(2)知,4E=4,VBC=16,:.S 邮i形 ABCD = 16x4 = 64,由(2)知，y=SABPQ=2f+32 (0</<8),四边形ABPQ的面积是四边形ABCD的面积的四分之三3A2/+32 = -x64,4 /=8；如图，当=8时，点P和点。重合，。=8,：CD=AB=3,：.DP=DQ,：,/DQC=/DPQ,/£>= N8=30。，：.ZDQP=75°；(4)当 尸时，BP=8,即 2t=8, f=4；当AP=B2时，如图，V ZB=30°,A选项：对角线相等的平行四边形是矩形，不是菱形，A说法错误；5选项：对角线相等且互相垂直的四边形不一定是正方形，如卜图所示：C选项：矩形的对角线不一定互相垂直，只有特殊的矩形（正方形）对角线才是互相垂直的，反例情况如下 图.。选项：如图，取菱形A8CO四边的中点£、F、G、H,依次连接£、F、G、H,连接AG BD,交于M点，:E、尸分别为AB, C8中点，VEF/MC, EF=ACt又G、”分别为CO、AO中点，:,HG/AC, HG=AC,：.EF/AC/HG, EF=HG= yAC, 四边形EFGH为平行四边形，同理有 EH/BD/FG, 四边形ABC。为菱形，：,BDLAC,故/BMA = 90°,，另得尸=90°, 平行四边形EFGH为矩形，故。选项正确.故选D.【点睛】此题主要考查了多边形，关键是掌握菱形、矩形、正方形的判定和性质定理.3. （2021陕西师大附中九年级阶段练习）在四边形ABCQ中，AC=BD=3, E、F、G、分别是A3、BC、 CD. D4的中点EG2+/772的值为（）A. 72B. 64C. 48D. 36【答案】B【解析】 过P作PM垂直于A8,垂足为点M,（Dp2ABM=4,储+导J =8尸，解得：8P=述，3：.2t=巫, 3,_40 l-3当A8=4P时，同（2）的方法得，BP= 873 ,A2r=8x/3,Ar=4x/3所以，当,=4或延或46时，43。为等腰三角形. 3【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了平行四边形的性质，含30。的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，解 （1）的关键是利用AQ=8P建立方程，解（2）的关键是求出梯形的高，解（3）的关键是求出入解（4） 的关键是分类讨论的思想思考问题.21. （2021吉林长春南湖实验八年级阶段练习）如图，长方形八BCD中，AD/BC, Z8=90°, AD=BC=20, 48 = 8,动点P从点8出发，以每秒2cm的速度沿83a玲。的方向，向终点D运动；动点Q从点8出发以 每秒2cm的速度沿BC的方向向终点C运动.以PQ为边向右上方作正方形PQMN,其中一个动点到达终 点时，另个动点也随之停止运动，设点P、Q同时出发，运动时间为t秒（1）AP=（用含t的代数式表示）;（2）当点/V落在人。边上时，求t的值；（3）当正方形PQMN与长方形ABC。的重叠部分为四边形时，求重叠部分的面积S（用含t的代数式表示）； （4）请直接写出当t满足什么条件时:正方形PQMN与长方形488的重叠部分为三角形.【答案】（1）8-2/（0<Z<4）,或 2-8（4<Y14）； （2） r = 2； （3） 5 = 8/2（0<2）,或 S = 2 产+24-8 （6</<10）：（4） 4</<6,或 1 = 10,.【解析】【分析】（1）分两种情况判断：当点P沿的方向运动时，当点P沿A3D的方向运动时，分别分析求解即可;（2）根据点/V在4。边上，四边形PQMN是正方形，可证得到”=BQ,即有8-2, = 2,，求 解即可；（3）分几种情况讨论：当正方形PQMN在长方形A8CO内时，正方形PQMN与长方形48CO的重叠部分 为四边形；当点P运动到点A的位置时，正方形PQMN与长方形A8Q）的重叠部分为三角形；当点P运动 到点的位置时，点,口与。点重合，正方形PQMN与长方形A8CO的重叠部分也为三角形；当点P运动到 点户2的位置，点。与。不重合时，正方形鸟QMZ与长方形A8C。的重叠部分鸟。殖是四边形：当点尸运动到 点A的位置时，点Q与点。重合，并点。停止运动，正方形EQMN与长方形A8C。的重叠部分是三角形， 据此分析，可得：当0</<2, 6V/V10时，正方形PQMN与长方形力8co的重叠部分是四边形：则有，当 0<r<2,正方形PQMN与长方形A8CO的重叠部分是四边形时，重叠部分的面积就是正方形PQMN的面 积，当6v，vl0,正方形PQMN与长方形A8CD的重叠部分是四边形时，根据重叠部分的面积S四边形PDE0 = S长方形的o 一 S怫物即已" S.0cE ,据此分别求解即可;（4）根据（3）的分析，找出正方形?QMN与长方形A3CO的重叠部分是三角形时的取值范围即可.【详解】解：（1）依题意得：当点P沿8玲八的方向运动时，BP = Z,：.AP=AI3-I3P = S-21（0<Z<4）,当点P沿AD的方向运动时，AP = 2/-AB = 2/-8（4</<14）,故答案是:8-2r（0<r<4）,或28（4V小4）；（2）如图示，点N在4。边上，四边形PQWN是正方形，:.PN = QP, NNPQ = 90°,：,ZAPN + N4PQ = 90° ,又四边形ABC。是长方形，./PAN = 4QBP = 90° , 4BQP + NBPQ = 90°.ZAPN = ZBQPt.APN BQP （AAS）,.AP=BQ,即有：8-2f = 2f,解之得：，= 2：（3）当正方形尸QMN在长方形ABC。内时，正方形PQMN与长方形48co的重叠部分为四边形，由（2）可知，时.，正方形尸QMN在长方形A6CO内，贝ij： 0<r<2,如图1所示，当点尸运动到点A的位置时，正方形PQMN与长方形48C。的重叠部分为三角形，此时点。与A点重合，. AB 8 . ，=丁5 ，且?Q = JM+8? = 8& ,如图2所示，当点P运动到点R的位置时，正方形PQMN与长方形A8CO的重叠部分也为三角形，此时点风与。点重合， FQ = PQ = 8拒，GM%是正方形，:.必=&PQ = 8&x&= 16,:.Af = AD-fMi =20-16 = 4 ,二”应*6, 22如图3所示，当点尸运动到点鸟的位置时，点。与C不重合时，正方形AQMN与长方形48co的重叠部分巴加迨是四边形，如图4所示，当点。运动到点的位置时，正方形AQMN与长方形A8CD的重置部分是三角形，此时点。与点C重合，并点。停止运动，综上所述，当0</<2, 6</<10时，正方形PQMN与长方形ABC。的重叠部分是四边形;当4W6,1二10时，正方形PQMN与长方形A8CQ的重叠部分是三角形；当0<区2,正方形PQMN与长方形A8CO的重叠部分是四边形时，如图5所示 垂叠部分的面积 S = PQ1 = PB2 + BQ。= (2/)2 +(2/= 8/ (0 < ”2), 当6v，vl0,正方形P0MN与长方形A8CO的重叠部分是四边形时，如图6所示Ag=2-8, BQ = 2t,.QC = EC=BC-BQ = 20-2i ,'重:叠部分的面积S四边形W0 = S长方形的。一 S怫形A限鸿一SdQCE当正方形PQMN与长方形48CO的重叠部分是四边形时，S = &2 （0</<2）,或S = -2/2+24/_8 （6<<10）（4）由（3）可知，当4口46,或f = 10时，止方形与长方形48CO的重叠部分是三角形【点睛】本题属于四边形的动点综合题，考杳了正方形的性质，等腰梯形的面枳，等积法的应用等知识点，利用分 类讨论思想解决问题是本题的关键.22. （2021辽宁大东九年级期中）已知：在矩形A8CO中，/仍=6, BC=3,的垂直平分线石厂分别交AB, CD于点E, F,垂足为O.（1）如图1,连接。E, BF.求证：四边形。£8b为菱形；直接写出AE的长.（2）如图2,动点P,Q分别从O,B两点同时出发，沿。口和aBb各边匀速运动一周，即点P自。9E9A好。 停止，点。自B3C玲/停止，在运动过程中，若点尸，。的运动路程分别为x, 1y （“工0）,已知A, C, P，。四点为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出x与y满足的数量关系式.O【答案】（1）见解析；2（2） x+），=9【解析】【分析】（1）首先证明由此可得。=。七，则可以证明四边形。是菱形；设AE=Xf在直角 AOE中利用勾股定理即可列方程求解；（2）以A、C、P、。四点为顶点的四边形是平行四边形时，点P、。在互相平行的对应边上，由此分三种 情况进行讨论即可求解.【详解】（1）证明：四边形是矩形，C.AB/CD, NEBD= NFDB, NBEF= NDFE,EF垂直平分BD,垂足为。，：.EFLBDf OB=OD,在加陀和Z)O/7中，ZB EO = Z.DFO/EBO = NFDO , OB = OD：.BOEWADOF(AAS),：.OE=OF，：OE=OF, OB=OD,四边形DEBb为平行四边形，又,：EFLBD,四边形DEBP为菱形;解：设 AE=x，则 B£=6-x,四边形DEB”为菱形,:.DE=BE=6 - x,四边形4BCQ为矩形，BC=3, * AD=BC= 3 NA = 90°,在R/A/IOE中，AD2+AE2=DE2 /.32+x2= (6 - x) 2,9解得：x=：，4 At - 949 故答案为：彳；49(2)解：由(1)得：AE=-,4915：.BE=AB-AE=6 -, 44 四边形。EB/为菱形，BF= DF= DE= BE=,4 四边形ABC。为矩形，AB=6, ,CD=AB=6,：.CD-DF=AB-AEt9即：CF=AE=-,4由题意得，以4、C、P、。四点为顶点的四边形是平行四边形时，点P、。在互相平行的对应边上.分三种情况：如图，当尸点在A。上、。点在8c上时，则AP=CQ,1595L'：AP=x- DE- AE=x=x 6, CQ=BC- BQ=3-y,44.*.x - 6 = 3 - y,即 x+)，=9：如图，当夕点在人石上、。点在C/上时，则AP=CQ,1595*AP=DE+AE - x=1x=6 - x, CQ=y - BC=y - 3,44/.6 - x=y - 3,即 x+)，=9；如图，当户点在OE上、。点在"上时，则AP=CQ, AP/CQ,延长AP交C。于点”，：AP/CQ, NAHD= NQCF,：AB/CD,ZAHD= /用E,：.ZPAE=ZQCF,在和QCF中，AP = CQ« NPAE = NQCF , AE = CF：.PAEAQCF(SAS),:.PE=QF,15Q又: PE=DE - DP=x, QF=y - BC - CF=y - 3 -,44.15_97“一厂3-"即 x+），=9,综上所述，/与y满足的数量关系式是文+）=9.【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，菱形的判定与性质，正确理解以A、C、P、。四点为 顶点的四边形是平行四边形时点P、。在互相平行的对应边上是解决本题的关键.23. （2021江苏江阴七年级期中）如图，在长方形ABCD中，A8=6cm, 8C=12cm，点P从A点出发沿A-B-C-D 移动，且点尸的速度是2cm/s,设运动的时间为f秒，若点尸与点4、点力连线所围成的三角形用力的面积 表示为S1.（1）当 f=2 秒时，求 Si=cm2；（2）当 S/=12cm2时，则/=秒；（3）如图2,若在点尸运动的同时，点Q也从C点同时出发，沿C-B运动，速度为lcm/s,若点Q与点C、 点。连线所围成的三角形QCO的面积表示为S2,当|5/-$2|=18时，求/的值.【答案】（1） 24； （2） 1或11； （3），的值为2或6或10.8秒.【解析】【分析】（1）直接运用直角三角形面积等两条直角边乘积的一半计算即可；（2）分当点P在AB边上时，当点P在。边上时，讨论即可；（3）分当点P在A8边上时，当点P在8C边上时，当点尸在。边上时，讨论5/与8的大小即 可求解.【详解】解：（1） 点P从A点出发沿A-8-C。移动，且点P的速度是2cm/s, /=2, :.AP = 4cm,V AD=13C = 2 cm,：,Si=-AP»AD=-x4x2 = 24 cm2； 22（2）当S/=12cm2时，有两种情况，当点P在AB边上时，如下图：则 S尸;APAO = gx4Pxl2 = 12,解得：AP = 2,当点P在CQ边上时，如下图：则 S/=QPAQ =，xOPxl2 = 12,解得：DP=2 22，CP = CD-DP = 4,点P运动的路程为AB + BC+CP = 22 ,故：则上1或11秒；(3)当点P在AB边上时，如下图：S/= Jx 12x2/= 12t, S? = x6x/ = 3/,显然 S/>S2,当 |S/S2|=18 时，贝lj 9r=18川=2；当点P在BC边上时，如下图：S/=xl2x6 = 36, S2 = x6xz = 3r,显然 S/>S?22当 |S/-S2|=18 时,则 363f=18, r2=6；当点P在C。边上时，如下图：S/=gxl2x(24-2f)=144-，S2 = gx6x/ = 3r,此时无法判断S/与S2的大小，当 5/S2=18 时，则 144-12/-3/=18万=8.4 (舍去)当 S2-S尸 18 时,则"(144-12/) =184=10.8答：/的值为2或6或10.8秒.【点睛】本题是三角形综合题，考查矩形的性质，三角形面积，绝对值的性质等知识，解题关键是运用分类讨论的 思想.24. (2021广东佛山市南海石门实验九年级阶段练习)如图，在四边形ABCO中，AD/BC, N8=90。，AB = 8cm, AO=20cm, BC=24cm, P、Q分别从A、。同时出发，向。，8运动.当一个点到达端点时，停止 运动，另一个点也停止运动.(1)如果P、Q的速度分别为lcm/s和3cm/s.运动时间为/秒，贝卜为何值时，PQ=DC.并说明理由.(2)如果。的速度为lcm/s,其他条件不变，要使四边形APQB是矩形，且矩形的长宽之比为2： 1,求Q 点运动的速度.【答案】(1)当/=5或7秒时，PQ=CD；理由见详解；(2) Q点运动的速度g cm/秒或5cm/秒.【解析】【分析】(1) PQ=DC.分两种情况，当时，由PDCQ,可证四边形PQCO为平行四边形，利用PD=QC, 建构方程20-/=3，当PQ不与CO平行时，过P、。分别作PE上BC与E,DF工BC与F,当。氏FC时PQ=CD, 可证PQEg/XOC产(SAS),再证四边形A8FO为矩形，四边形PDFE为平行四边形，利用。代尸C建构方 程4卜24=4,解方程即可；(2)矩形的长宽之比为2： 1,分两种情况，当4B： A尸=2:1时，AB=8cm, AP： AB=2:1, AP=16cm,利用 AP求出力求出CQ的长,利用vt=CQ求解即可.【详解】解.： (1) PQ=DC.分两种情况，当PQC。时，: PDCQ,工四边形PQC。为平行四边形，：.PD=QCf,：P、Q的速度分别为lcm/s和3cm/s.运动时间为/秒，AQ=20cm, BC=24cm,：.PD=AD-AP=20-t, CQ=3f,：,2O-t=3t,解得/=5秒，当PQ不与CO平行时，过p、。分别作PE_LBC与E, DFLBC与F,当 QE=FC 时 PQ=CD,在和DC"中，,: PE=DF, NPEQ=NDFC, QE=CF,:dPQE妾ADCF (SAS),A尸8C, ZB=90 DFLBC, Z4=Z«=ZDFB=90°,四边形4BF。为矩形， ：,DF=AB=3cm,人。=8F=20cm,CF=8C-BF=24-20=4cm,：PE±BC, DFA.BC,，PEDF,，：PDEF,四边形PQFE为平行四边形，：.PD=EF=2Q-t,/. QE=QC-EF-FC=3t-（20-t）-4=4t-24,.4，-24=4,解得t=7秒，.当弋5或7秒时，PQ=CD；（2）矩形的长宽之比为2： 1,当人&人尸=2:1时，/仍=8cm,.”=4,/. /=4 秒，设。的速度为vcm/秒，.CQ=4v=24-4,:.v=5 cm/秒，当 AP： A3=2:l,.4P=2x8=16cm,/.lr=16,Ar=16 秒， .CQ=16v=2416,:.mJcm/秒，Q点运动的速度g cm/秒或5cm/秒.【点睛】本题考查动点问题应用，注意分类思想应用，矩形的性质，平行四边形的性质，三角形全等判定与性质， 掌握速度时间与路程的关系，以及分类思想应用，矩形的性质，平行四边形的性质，三角形全等判定与性 质是解题关键.25. （2022江西章贡八年级期末）如图，长方形/WC。中，4B=4cm, BC=6cm,现有一动点P从A出发【分析】作辅助线，构建四边形EFG”，证明它是菱形，利用对角线互相垂直和勾股定理列等式，再利用中位线性质 等量代换可得结论.【详解】解：连接七八FG、GH、EH,£、尸、G、分别是AB、BC、CD、D4的中点，：.EF/AC, HG/AC, EF = -AC, FG = -BD , 22:,EFHG,同理E”尸G,:.四边形EFGH为平行四边形，：AC=BD,:.EF=FG,平行四边形EFGH为菱形,：.EGLFH, EG=20G, FH=2OH,：.EG2+FH2= (2。£) 2+ (20H) 2=4 (OE2+OH2) =4EH2= 4 x (1 5D)2 = 82 = 64,故选：B.【点睛】本题考查了中点四边形，运用了三角形中位线的性质，将三角形和四边形有机结合，把边的关系由三角形 转化为四边形中，可以证明四边形为特殊的四边形；对于线段的平方和可以利用勾股定理来证明.4. (2021黑龙江哈尔滨德强八年级阶段练习)如图，在四边形A8CO中，E、F、G、H分别是各边的中点，则四边形EFGH是()A.平行四边形B.矩形C.菱形D.正方形【答案】A【解析】【分析】顺次连接任意四边形四边中点所得的四边形，一组对边平行并且等于原来四边形某一时角线的一半，说明新四边形的对边平行且相等.所以是平行四边形.【详解】以2cm/秒的速度，沿矩形的边A-B-C。一A返回到点A停止，点P的运动时间为/秒.(1)当 f=3 秒时，5P=cm：