第10讲. 复数的几何意义.docx
第3课时复数的几何意义一、复数 z = x+yi与复平面内的点Z(羽y) 一对应I 4 - Z2 I表示两个复数zpz2之间的距离1、(直通车清华2012,第5题)若复数竺1的实部为0, z是复平面上对应上的点, 69 + 169 + 1则Z的轨迹是A.一条直线B.一条线段C.一个圆D.一段圆弧2解析：分离1二加,即2z = l加0) + Re(2z) = 1,所以是直线x = g2、若zsC且|z + 2 2»|=1,则|z 2 24的最小值是解析：最小值为33、已知复数z满足|z (2 + 3i)| + |z (2 3i)|=10,求|2|的最大值37r|z + 6| + |z-3z|z + 6| + |z-3z|取得最大值?4、已知复数z满足arg(z + 3) =彳，问z取何值时,u =并求出该最大值一 .V5解析：z = -4 + /, 154、(直通车清华2015,第19题)设复数z满足2|z|<|2-1,则()A.| z|的最大值为1B.| z|的最小值为工21C.z的虚部的最大值为三D.z的实部的最大值为上33解析：4(x2 + y2)<(x-l)2 + y2, BP 3x2 + 2x + 3y2) < 11 994因此(x + 1)2 + y2)<g,圆上的点圆的内部，半径第，故选ACD5、复平面上，满足方程zz + z + z = 3的复数z对应点的轨迹是（A ）A.圆B.两个点C.线段 D.直线 6、复平面上点z°=l + 2i关于直线/:|z-2 2»|=|z|的对称点的复数表示为（D ）A. i B. 1 i C. 1 + i D. i7、己知|z|=r(r>l),则z +，在复平面内的轨迹为( A )zA.焦距为4的椭圆B.焦距为2的椭圆 C.焦距为一的椭圆D.焦距为一的椭圆428、设P点对应的复数为4,点。对应的复数Z2=2Z1+3 4L已知|zj=l,求点。的轨解析：Z 所以|Z23 + 4+2因此。的轨迹是以（3,-4）为圆心，2为半径的圆9、已知| z |=1,求|（2 + 1）（2-，）|的最大值，并求此时的z解析：几何意义+余弦定理+基本不等式10、（直通车北大2016,第18题）三角形ABC的三个顶点分别对应的复数4*2*3,已知三二 = 1 + 2,，则三角形A5C的面积与其最长边长的平方的比等于（）1A.一 5B.-C.D.前三个答案都不对612解析:=5 即 Z|Z2=JZZ3Z3 Z=2 , Z2Z3 = 2Z,Z3三二主匚=幺二+ 2"所以上司Z3 Z1Z3 Z1| Z3 Z |设ZZ3=2, Z,Z2 =yl5m, Z2Z3 = 2m ,直角三角形面积为加？最长边的平方为5根211> (全国高中数学联赛试题)在X的二次方程x2+ZX+Z2+m = 0中，4*2,根均为复 数，且z；4z2=16 + 20i,设这个方程的两个根名夕满足|a-万|=2近，求|帆|的最大 值和最小值一oc + /3 Zi解析：由韦达定理知a + p = z2+ m所以(a - 时=(a - 0辛 一 4aB = z； - 4z2 - 4m| a - £=| g /)21=| z； - 4z2 - 4m |= 281 9|-4z2) |=| 777-(4 + 5/) |=7故机的轨迹为以(4,5)为圆心，7为半径的圆二、复数z = x+*与向量应对应1、复数的加法、减法、模的运算等同向量的运算复数z = x+yi对应的点的坐标为Z(x,y),与向量(x,y)是一一对应的。通过坐标表 示这一个桥梁我们不难发现以上观点。例如：Z=2 + yi, z2 = x2 + y2iZ1 +Z2 =(% +/) + (y + %)"它对应复平面内的点为( +%2，%+ %)这里与向量的平行四边形法则或三角形法则完全一样。所以我们说复数加法满足平行 四边形法则对于复数的乘法和除法的几何意义是有别于向量的，我们后面还会详细地给大家介绍, 这也是近几年奥赛复数一试考察的最重要内容。1、已知 Z,Z2£。，I Z, 1=1 Z2 |= 1 , I Zj + z2 |= 5/3 ,求 |Z1-Z2|解析：显然复数Z,Z2夹角60。，因此|Z|-Z2=l2、已知复数4*2满足|zj=2, |Z2|=3,若它们所对应向量的夹角为60。，则I幺土三1二Z z2解析：实际就是平行四边形的两条对角线的比，对角线长用余弦定理求之即可。3、已知 |Z1|=1, | z21= V3 , I 4121=2,求 I4+Z2I 的值4、已知 |zj=2, |?2l=3, I3z1-2z2 1= 6a/3,求 I34+2Z2I 的值5、设复数 4*2 满足 |z/=|Z1+Z2l=3, |4Z2l=3g,则 logsKzZyooo + GKy000 解析：把OA放到实轴上即可因此(Z高)200。+ &Z2)2。= 92叫(L + Yl i)2。+ (_'i)2。高产00 + (奉2严°° =92° 叫(4 +YL)2 +(L 1i)2 = -920002所以log31 (z耳)20°° +&Z2)2°00 1= 40006已知Z,Z23是三个互不相等的复数，满足Z +Z2 +Z3 =。，且| 2 |=| Z2 |=| Z3 | ,求证:z-z? = z2-z = z3-z解析：向量平行四边形法则，易知三个向量两两夹角120°7、设。是复平面的原点，Z1,Z2为复平面内动点，并且满足：7T(1)ZPZ2所对应的辐角分别为定值6»-6»(0<0<-)(2) 0ZZ2的面积为定值求01,2重心Z所对应的复数的模的最小值解析：Z =1+|2=|2+|2 +2| n z |C0s26>141乙1乙8、复数 Z”Z2，Z3 的辐角分别为四7，又 I Z 1=1,1 z2 |=Z,| Z |=2-3 且 Z +Z2 +Z3 =0 ,问为何值时，COS0-7)分别取得最大值和最小值？并求出最大值和最小值 解析：几何意义加余弦定理可得C0S3-7) = 1 +13"I 匕|区I4+Z2区|4| +匕|解得|1 左区1 + 3 解得一1 3所以当攵=,2时，取得最小值12 2cot(6rrccot3 + arccotl + arccot13 + 6/rccot21)的值是求 arctan ；一+ arctan !54 arctan + arctan 的值.(o
