第三章 多维随机变量及其分布.docx
第三章多维随机变量及其分布一、填空,cl2cl2、2y/7T1、 2+/?= , CC=一， B=一3993、 k=-4、-87二、选择1、C2、 A3、C三、U!I、略五、设随机向量（x,y）的联合概率密度、定一小+4匕>0h>0/（苍y）=彳n甘人o,其他解：（1）（2），求心（X1）的联合分布函数;（3）P0<Xl,0y<2。当工>0且y>0时，/(即) = 12/ex+dxdy = nX e-3xdxy e-4ydy J -00 J -00J -00J -00二12Xe-3xdxye-4ydy = (1-e-3x)(l- ey)Jo Jo其他，尸(x,y)=。(3)P0 < X < 1,0 < y < 2 = 12e-3xdx eydy =(1 /)q_ 1)六、设随机向量的联合概率密度为/(羽 y)=4.8y(2 x),0< x<1,0< y < x0,其他求x与y的边缘概率密度。p+oo解：当0C时:4.8y(2 -x)dy = 2.4(2 -x)x2其他:fxM = o当0<y<l时pipip+oo%(y)=f(x, y)dx = 48y(2 - x)dx = y(l- y)(7.22.4y)-ooUy其他:人(y) = o七、设随机向量（x»）的联合分布函数为jqyF(x. y) = A(B + arctan )(C + arctan j)求（1） AB,C的值；（2）（X/）的联合概率密度。解：兀71F(+oo,+oo) = A(B + )(C + ) = 171F(0,-oo) = AB(C)=07T兀产(一8, 8)= A(B )(C ) = 0>=A = C71，=fd2F陋6/W,x e R,y £ R八、设X是两个相互独立的随机变量， x u（o/）,y £（）,求（l）x和y的联合概率密度；（2）设含有。的二次方/+2Xo + y = 0,求该方程有实根的概率。解:(1)1,0 < x < 10,其他4(y) =>00,其他府公,0<1<1且00,其他(2)(2)A>0 X2 >YP X2 >ir了dx0 Joy = p(o<x <l,0<y<X2 I eiydy = 1 - V2O(1) - 0.5九、九、设某种商品一周的需求量是随机变量x,其概率密度为f(t)tel, t > 00,<0并设各周的需求量相互独立，求（1）两周需求量的概率密度；（2）三周需求量的概率密度。解：（1）设x为第一周的需求量，y为第二周的需求量，两周需求量为z= X + Y ， 且x与y相互独立，则fz（Z）=p+oofx(z-y)fY(y)dyoofxz-y) =fxz-y) =(z-y)e(zyz> y0,z< y则当 Z>o时，fz(z)= !(z-)ye-ydy = e-z当z<0时，加z) = 0(2)设V为第三周需求量，U为三周需求量，则U=Z+V ；f-K0fuM= fz(z)fv(u-z)dzJ-00(u-z)e(uzz<u而以”呻。，其他3u则当"> 0 时，Uu) = e-u- Z)e-dz = -u5J° 6120当时，= 0十、设某种型号电子管寿命(以小时计)服从N(160,202),随机地选取4只，求其中没有一只寿命小于180小时的概率。 解：设X(，= 1,2,3,4),X, N(160,202)为选取第1只电子管的寿命，A二“4只没有一只寿命小于180小时”,而产X?18O = 1-尸%<180二1-(吐) = 10(1) = 0.158720P(A) = ?%1> 180, X2>180, X3>18O,X4>180 = PXf. >1804 =1-0)(1)4 =(0.1587)4十一、设随机变量的联合概率密度为f(x, y)=be(x+y) ,0<x<l,0< <+oo0,其他求(1) b； (2) x与y的边缘概率密度；(3)随机变量U = max(X,r)的分布函数。解：+oo r+ooJ-00 J-00+oo r+ooJ-00 J-00/(x, y)dxdy =4-000be+y)dy = 1=>/? =(2)f+000/、Pr+g , e-dy =-e-0<x<lfx(x)= /(儿)办二e-l e-1J-000,其他pl /fv(y) +oof(x, y)dx =J cobey)dx =存v, 0 < y < +oo< Jo0淇他(3)弓()=PU < = PX <u,Y<u0,w<0=< J；dxbe-(x+y)dy =l-e-M2,0 < m < 1° ° 1J： dxbe-(x+y)dy = l-e-u,u>l十二、解：.兀兀、兀兀、 a/6 /2原式十三、解:(i)p(y>oy>x =pyo,y>x_3PY>X-4(2)fx(z-y) = 003PM>O = 1 PM<O = 1 尸X<0,y<0= 4十四、设随机变量x与y相互独立，且XE(/yNQ1),求Z = X + Y 的概率密度。解：由x和丫相互独立，可得:r+oofz(z)= f fx(z_y)fY(y)dy-4"( z-y)2 ,z>y0,z< yUyeR11 亶-a-y)=e 2dy<2兀g)2/e°° J27r2 dy-u = y-, 71Z-200(2
