第8讲 用数轴表示不等式的解集及一元一次不等式组(教师版）.docx
第8讲用数轴表示不等式的解集及一元一次不等式组知识精要一、不等式的解集1、不等式解的全体叫做不等式的解集。（注：一般情况下一元一次方程的解只有一个，一元 一次不等式的解可以有无数个。）2、不等式的解集可以再数轴上直观的表示出来。如：在数轴上表示大于3的数的点应该数3所对应点的左边还是右边？（右边）因此我们可以 在数轴上把x>3直观地表示出来,画图时要注意方向（向右）和端点（不包括数3,在对应点画 空心圆圈）.如下图：1111-1>-1 0 I 23 4 5同样，如果某个不等式的解集为xW-2,那么它表示x取那些数？此时在作xW-2的数轴表示时，要包括-2的对应点，因而在该点处应画实心圆点.如图所 示：-3 -2-10 1引导学生总结出在数轴上表示不等式解集的要点：小于向左画，大于向右画；无等号画空心圆圈，有等号画实心圆点。二、一元一次不等式组1、有几个含有同一个未知数的一次不等式组成的不等式组，叫做一元一次不等式组。2、不等式组中所有不等式的解集的公共局部叫做这个不等式组的解集。3、求不等式组的解集的过程叫做解不等式组。4、解一元一次不等式组的一般步骤是：（1）求出不等式组中各个不等式的解集；（2）在数轴上表示各个不等式的解集；（3）确定各个不等式解集的公共局部，就得到这个不等式组的解集。A. m>3B. m<3 C. m = 3 D. m <3x + 8 < 4x 13、假设不等式组的解是x>3,那么m的取值范围是（2x < 3（x-3） + l4、关于x的不等式组3l+ 2有四个整数解，那么a的取值范围是（> x + aI 4A.B.11D. 425x > 3x-35、不等式组，1 2的整数解中最大、最小两数分别为 （D ） x< 一A. 0, -1B. 0, 1 C. 0, -2D. 1, -16、解不等式并把解集在数轴上表示出来：2x-l 10x + l.-3-2-101232x + 7 > 3x-l7、不等式组1的解集为 2< x < 8x-2>02x - m < 08、假设1有解，那么m的取值范围加>一84x + 16>0x - 2a>9、假设1的解为x>3,那么a的取值范围 4 41l2(x + l)>ll-xX-Q > 010、关于X的不等式组4的整数解共有6个，那么a的取值范围是3-2% > 011、对于整数a, b, c, d,符号表示运算ac-bd,1<3 o12、解以下方程组，并用数轴表示解集4-2）<2x + l，3x 1 1 - 2x <.b<3,那么b+d的值是42x -1 x + 6<23c 3% + 3 x-184解:(l)-l<x<-7c 615(2) < x < 54x-a>0,13、关于x的不等式组1的整数解共有5个，求a的取值范围.3-2x>-l解：由不等式组的解可得知Wx<2,所以a的取值范围为-4<aV3。【典型例题】. .3（x + l） , x-5例1. 解不等式x + > 182【思路点拨】不等式中含有分母，应先根据不等式的基本性质2去掉分母，再作其他变形.去 分母时，不要忘记给分子加括号.【答案与解析】解：去分母，得 8x+3（x+l）>8-4（x-5）,去括号，得 8x+3x+3>8-4x+20,移项，得 8x+3x+4x>8+20-3,合并同类项，得15x>25,系数化为L得X >3.3 不等式的解集为x3.3【总结升华】解一元一次不等式与解一元一次方程的步骤异同见下表：ax=bax>bax<b卜解：当a W0时，x =； a当a = 0, bWO时，无解； 当a = 0, b = 0时，x为任意 有理数.解：当a>0时，x > ； a当 a<0 时，x < ； a当a = 0, b>0时，无解；当a = 0, bVO时，x为任意 有理数.解：当a>0时，x < ； a当 a<0 时，x > ； a当a = 0, bWO时，无解；当a = 0, b>0时，x为任意有理数.5r-l【变式】（湖南益阳）解不等式士x>l,并把解集在数轴上表示出来. 3解：去分母得5xT-3x>3,移项、合并同类项，得2x>4, 系数化为1,得x>2,解集在数轴上的表示如下图.1 1 1 1 >-2-1012例2.某市居民用电的电价实行阶梯收费，收费标准如下表:一户居民每月用电量X （单位：度）电费价格（单位：元/度）0VxW200a200VxW400bx>4000. 92（1）李叔家四月份用电286度，缴纳电费178.76元；五月份用电316度，缴纳电费198. 56元，请你根据以上数据，求出表格中a, b的值.（2）六月份是用电高峰期，李叔计划六月份电费支出不超过300元，那么李叔家六月份最 多可用电多少度？【思路点拨】（1）根据题意即可得到方程组，然后解此方程组即可求得答案；（2）根据题意列不等式，解不等式.【答案与解析】 5 皿口目小小 f200a+ (286- 200) b=178. 76解：(1)根据题意得：,200a+ (316- 200) b=198. 56解得：产 61.lb=0. 66(2)设李叔家六月份最多可用电x度，根据题意得：200X0.61+200X0. 66+0. 92 (x - 400) <300,解得:xW450.答：李叔家六月份最多可用电450度.【总结升华】考查了一元一次方程组与一元一次不等式的应用.注意根据题意得到等量关系 是关键.x-3(x-3)>5例3.解不等式组：Ji + 2xc，并求出正整数解。> x-13【思路点拨】分别解出各不等式，取所有的公共局部。【答案与解析】解：由不等式得xW2,由不等式得x<4,x<2，由得，即xW2x < 4原不等式组的解集是x 4 2,正整数解为1,2.【总结升华】求不等式(组)的特殊解的一般步骤是先求出不等式(组)的解集，再从中找出符 合要求的特殊解.4x>2x - 6【变式】解不等式组：< x-i ,"+r并把解集在数轴上表示出来.、3 ,丁I I I I I I I >-3-2-10123(4x>2x - 6解： x- 1/x+1 小3 & 9。解不等式得:x> -3,解不等式得：xW2,不等式组的解集为-3VxW2,在数轴上表示不等式组的解集为：-3 -2-10 1 2 3>.3x + y = 2kx < 1例4.假设关于x, y的方程组/的解满足 <,求k的整数值.2y-x = 3y>【思路点拨】从概念出发，解出方程组（用k表示x、y）,然后解不等式组.【答案与解析】4人一33x + y = 2k解：解方程组,得1-x+2y = 3x ,72左+ 94k 3 r i< 1,X <1rr 7j ，即ly>l2 上+ 9 7解得：一1<女<3, 2工整数k的值为0, 1, 2.【总结升华】方程组的未知数是x、y, k在方程组里看成常数.通过求解方程组可以用k表 示x、y.方程组的解满足不等式，那么可以将x、y用含k的式子替换，得到关于k的不等 式组，可以求出k的取值范围，进而可以求出k的整数值.【变式】m为何值时，关于x的方程：2匕1 =工_阳二1的解大于1?632&方,x 6m -1 5m -1 ,口 3m -1解：由二x，得1二,63253/1?- 1>1,解得加>2.5当加>2时，关于x的方程：土一如独二！的解大于L632例5.某学校组织八年级学生参加社会实践活动，假设单独租用35座客车假设干辆，那么刚好坐满; 假设单独租用55座客车，那么可以少租一辆，且余45个空座位.（1）求该校八年级学生参加社会实践活动的人数；（2）35座客车的租金为每辆320元，55座客车的租金为每辆400元.根据租车 资金不超过1500元的预算，学校决定同时租用这两种客车共4辆（可以坐不满）.请你计算 本次社会实践活动所需车辆的租金.【思路点拨】（1）设单独租用35座客车需x辆.根据单独租用35座客车假设干辆，那么刚好坐 满和单独租用55座客车，那么可以少租一辆，且余45个空座位，分别表示出总人数，从而列 方程求解；（2）设租35座客车y辆，那么租55座客车（4-y）辆,根据不等关系：两种车 坐的总人数不小于175人；租车资金不超过1500元.列不等式组分析求解.【答案与解析】解：（1）设单独租用35座客车需x辆，由题意得：35x = 55（x-l）-45 ,解得.x = 5 35x = 35x5 = 175 （人）.答：该校八年级参加社会实践活动的人数为175人.（2）设租35座客车y辆，那么租55座客车（4-y）辆，由题意得:35y + 55(4-歹)力75 320y +400(4-y) W1500解这个不等式组，得44y取正整数，y二2.4一二 4-2 二 2 （辆）.*.320X2+400X2 = 1440 （元）.所以本次社会实践活动所需车辆的租金为1440元.【总结升华】此题考查了一元一次方程的应用和一元一次不等式组的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系和不等关系.热身练习1、-3xW6的解集是（A ）-2-10-2-10012012A.B.C.D.2、用不等式表示图中的解集，其中正确的选项是（A ）-3 -2 -101A. x22 B. x>2C. x< 2 D. xW 23、以下说法中，错误的选项是（C ）A.不等式x<5的整数解有无数多个B.不等式x>-5的负数解集有有限个C.不等式一2xV8的解集是x<-4D. -40是不等式2x<-8的一个解3x-2 > 0,D.1x +1一、X3x-2 > 0,D.1x +1一、X4、以下不等式组中，是一元一次不等式组的是（A ）x > 2,fx + 1 > 0,A. <B. <x < 3y - 2 < 0IIJ5、以下说法正确的选项是（C ）x > 35A.不等式组1的解集是5<x<3x>5I x > 2,的解集是一3x一2x < -3x>2,的解集是x=2x < 2x < 3,的解集是xW3x > -32x6、不等式组彳3'的最小整数解为（B ）x-4<8-2xVA. -1 B. 0 C. 1 D. 47、不等式的解集在数轴上表示如下图，那么该不等式可能是X<1 111）11.-2-10128、一个不等式的解集如下图，那么这个不等式的正整数解是_1,2111-01-101234x < 2,9、假设不等式组< '有解，那么m的取值范围是m<2。 x> m10、不等式组4+ 120的整数解是-1,0 。x + 2 < 311、关于x的不等式组2x + 3 > 3的解集为Tx <1,那么ab 155x-b <2xx12、同时满足不等式 7x + 425x - 8 和一<2 的整解为-6, -5, -4, -3, -2, -1, 0,351,2,ox 4 y + 1713、解不等式-5 + ±2并把解集在数轴上表示出来;38239解：x W414、解不等式组43x + 3 > 5（x -1）4. 6 2x一工一2 >133解：2Wx<4x + 3x + 215、a=d, b=±±*,且a>2>b,那么求x的取值范围。23解：一l<x<4巩固练习1、以下4种说法：1、以下4种说法：x=是不等式4x5>0的解；4x = *是不等式4x 5>0的一个2解；x>°是不等式4x 5>0的解集；x>2中任何一个数都可以使不等式4x 5 4>0成立，所以x>2也是它的解集，其中正确的有（B ）A. 1个A. 1个B.2个C.3个D.4个2、一个不等式的解集为-1<xW2,那么在数轴上表示正确的选项是（A ）02A-1 02B-1 02Co114-1 02D3、不等式2x-6>0的解集在数轴上表示正确的选项是i_1-A_i_i_i_i_i_i_(>-303-303AB-11-L-30c-34、假设不等式组二片一有解那么a的取值范围是A. a> 一 1B. 1D.a<l关于X的不等式组关于X的不等式组ax > b的解集是 bx> a, b ciA. 一 < x < 一, b ciA. 一 < x < 一B.无解D.6、3x + l<4不等式组h,、3-(x + 3)<0l2v 7 4的最大整数解是A. 0B. -1C. -2D. 12x + l>-l7、把不等式组17 的解集表示在数轴上，以下选项正确的选项是（B ）x + 2 W3<)1< > >C 11 >-11< >i1 h-1 o Ai -i 1-1 0)1-1 Aa 1 8、把不等式组的解集表示在数轴上，如下图，那么这个不等式组的解集是X > 1 O9、假设不等式组9、假设不等式组2x Q < 1x - 2b > 3的解集为一i<XVI,那么（a + l）S 1）的值等于 -6x 。2,10、假设不等式组1的解集是那么（a+b） 2006=1.b-2x>0< 4 + 5,11、如果的解集是x<2,那么a的取值范围是_1<。<72x < 412、解以下不等式组，并把解集在数轴上表示出来.2(x-2)<x-49 (1)解：不等式的解集为x<0.不等式的解集为x一3.所以原不等式组的解集为一3<xW0.(1)(2)x-2 < 0(2)2(x-l) + 3>3x解：x< 1x <m + L13、假设不等式组<无解,求m的取值范围.x > 2m -1错解：由不等式组无解可知2m所以m>2.正确解法：由题意得2m12m+l时丁因为原不等式组无解，所以ni22.14、先阅读不等式x?+5x 6<0的解题过程，然后完成练习.解:因为 x?+5x 6<0,所以（x-1） （x+6） <0.因为两式相乘，异号得负.x 1 > 0,x 1 < 0,所以或1x + 6 < 0x + 6 > 0（舍去）或x < 1?x > -6x > 15x < 6所以不等式x2+5x 6<0的解集为一6<x<l.2v-2练习：利用上面的信息解不等式三二<0.x + 8解：一8<x<l自我测试1、a、b、c在数轴上的对应点的位置如图1所示，以下式子中正确的有（C ）图1b+c0, a+ba+c, bcac, abacA.1 个；B.2 个；C.3 个；D.4 个.2、不等式组尸fl的解集在数轴上可以表示为（C ）x<3ABCD
