第三章习题3.3答案.docx
1.求下列函数的二阶导数:(1) y = lx1 +lnx 1 ， 1解：y =4x + ,y =4解：y =, y' = 4/z(3) y = xcosx解：y =cosx-xsinx,y = - sin x - sin x - x cos x = -2 sin x - x cos x.(4) = e-z sint解：y = -er sin t + el cos t.y = el sin t - el cos t - / cos t - er sin t = -2e-z cos t.(5) y = yja2 -x2一。22 2a -x左力 * 一x "解：)' -/ 2 =y -7a -x y = ln(l-y/a2 -x2 +x /2_工2?2CT -X-2(l-x22 + x,2解：y =-3x2.二X +1)-6x(/+ ) +6f (d+)3工26%(2/一1)x3 +x3 +1)(9) y = (l + %2)arctan %t2x解： y = 2x arctan x + l,y = 2 arctan a: h1 + x2/ 、 /(10) y = 解：y=史不 X2(11) y = xex解：y = J +2x2(12) y = ln(x + _解：X + J1 +(13) y = cos2x-解：(14) y = X解：2.设/”(x)存在, (/ + M) x2 - 2x(xex-ex) (x2-2x + 2)ex，y 4-3XXex = (1 + 2x2) ex , y' = Axex +2x(1 + 2x2) ex = 2x(3 + 2x2) exJl+%2)X2 _11' _ ly 2"1 _ -Xi,y - x(i + x ) 3.V E (1 + .Inx,求下列函数的二阶导数： y = /(f)解：?= 2xf'g,当 axv y = tanxI011,解： y = sec x.y = 2sec xtan x./、 1 ax(2)y = ln"(x)解：包=坐，夕;dx /(x) dxax於2/(巧+ 4/巧._/'(%)/(%) (f(%)2"/2W.3.试从虫=L dy yd2x(1) 7 = 一一: d旷(d2x证明：(1)答dy2导出：/ H 21 IIIy" ,、d3x 3(y ) -yyJ；r=s./) dy，(行(dx'd -"-z x1ii,dy) (J_ . = -y = y .办 G'J dy2 y4 .已知物体的运动规律为5 = 4$由0（4啰是常数），求物体运动的加速度，并验证d J sz7cd 2 s解： 加 速度为一r，而一 =coAcos cot , 所以一- = -ct) y = sin2x解：y =2sinxcosx = sin2x.由归纳法可证：y（）=（sinAsincot = -co2s , 于是 dtdtdrd2 sdt2d2 sdt2+ co2 s = 0.5 .密度大的陨星进入大气层时，当它离地心为sk九时的速度与W成反比。试证陨星的加速度与Y成反比。ds其中。为常数。所以加速度证明dt ys即陨星的加速度与/成反比。6.验证函数=。e +。26一（46，02是常数）满足关系式：解:y =。1融。2&一"；,=。1分/' +。2九，一”代入易得炉42y = 0.7 .求下列函数所指定阶的导数：（1） y = e"cosx,求 y（4）,解：（2） y = x2 sin2x,求 y°°）.解：（3） y = x2（2x-l）2 （x+3）2,求 y,y.解：y = 4f +低阶项，所以y=4.6!,y=o.8 .求下列函数的阶导数的一般表达式：(n_2,2-1 sin 2x +7i .I 2)（1） y = x" +qx7 + a2xn2 + +。_% +。（。,。2,都是常数）(3) y = xlnxy =lnx + l,y =, 由 归 纳xn>2 时(” (-2) y =y(W)!X"Ty()=£入( + %)(4) y = xex解：y =e，(l + x),y'=，(2 + x).由归纳法可证:(5) y =(尤2 + 2%+2)ex解：丁 =-x解：y -x-.可归纳得出：y=(1)向加(7)户告解： y =解： y =(1-x)(l + x) 2(x + l x-1所以可归、1x + l)L(l),z、 x"8 8) y = + x解：根据多项式的除法,xny =某一1次多项式+1 + x小以yn(9) y= -exxi、 二?旧(z=0/ . n: In，广)工(T)'售=XT 7i=0Xi=01n! ex.求函数/(x) = x2 ln(l + x)在x = 0处的阶导数(O)(n>3).解: 所以，/:)2m(8)
