高数下清考试卷.docx
GDOU-B-11-302一、填空(3X7=21 分)1 . 设£ = 1,2,04 = 1,1,1,贝, axb=.2 .过点(1,0,1)且与平面x+ y + z-1 = 0垂直的直线方程为3 .设曲线L:x = cos , y = sin 1 (0 4 / < 2"), 贝I) © (f + /)2ds-4 .转变积分次序工叱办二5 .函数y = %(-»<的傅立叶级数在X=»处收敛于6 .函数z = f+y2在点(U)处的梯度为 7 .微分方程y" = sin5x通解为y=二.计算题(7X2=14分)1 .设 z =,，求 dz. % +y2 .设z =于(x, y)是由方程z + xyez +1 = 0 所确定的具有连续偏导数的函数,求廉以及 = 1所围成的闭区域。三.计算下列积分（7X4=28分）1. jj（X+ y） do 9 其中。是由直线y = 0, y = xD久步后（%2 +亦如，其中。是由,+ v41围成的闭区域。3 .设曲线积分公+（米-y）办在整个工分平面内与路径无关，求 常数3并计算积分值。4 .计算 xdydz + lydzdx + zdxdy ,其中 E 是区域 04%1,。丫1,。21 的整个表面的外侧。四 .计算题（8X4=32分）.判别级数是否收敛，若收敛，是肯定收敛，还是条件收 念3敛。1 .将函数7（NX/m 绽开为x的塞级数。2 .求微分方程y-y = 3%的通解。3 .求微分方程y + V - 2y = %的通解。五 .设级数y;收敛'证明级数-亍也收敛。（5分）试题答案和评分标准一、填空（3X7=21 分）8 . 设2 = 1,2,0） = 1, 1,1,则展T ,2,1,39 .过点（1,0,1）且与平面x+y + z-l = 0垂直的直线方程为10 .设曲线L:%= cos/,y = siiU(0，2)， 则(" + y2)2 ds = 27r2.积分次序/人/ fx,y)dy = dy12.函数y = x（-乃的傅立叶级数在X=i处收敛于013.函数z = J + V在点（1,1）处的梯度为2,214.微分方程y = sin5x通解为y14.微分方程y = sin5x通解为ysinSx + qx + c2512二.计算题（7X2=14分）2.设z =,x + y2.设z =,x + y求dz.(2)dzdz = dx +更 dydx dydz = dx +更 dydx dy(2)2y2(x+V)22y2(x+V)2dx +-(x+y )dy(1)2.设z = /（x,y）是由方程z + p" +1 = 0所确定的具有连续偏导数的函解:在方程两边对X求偏导数，（1）空+M+.上=0 dxdx(2)得，=(i)dx 1 + xye在方程两边对y求偏导数，+ xe2 + xyez - -0(2)dydy得， =(i)dy 1 + xye三.计算下列积分(7X4=28分)4. JJ(x+y) de其中。是由直线y = 0, D解：区域D可表示为0< y<x,O<x<l9产工以及1 = 1所围成的闭区域。(1)jj 印io = £ dx (x + y)dyDfl 3 9= -x2dxJo 2(3)(2)(1)JJsin(x2 +y2)db ,其中。是由+y2 围成的闭区域。 D解：区域D在极坐标下可表示为00<2E0<r<1,(2)原二d6sin/田(3)Jo Jo-( -cos V)d3(1)= 7T(1-COS1)(1)6.设曲线积分：；(彳+0公+(丘-丁)力在整个必'平面内与路径无关，求常数3并计算积分值。解：设2=工+、,。=丘-丁,贝!1卓=华(2)ox oy- = k, = lf 所以k=1(2)dx dy原式寸 xdx +J；(l y)dy=l(3)4.计算()xdydz + lydzdx + zdxdy , 其中E是区域OKxl,OWyl,OWz<l的2整个表面的外侧。解：设v是由Z围成的闭区域并表示它的体积，由高斯公式原式二弧导+学2+导"JJJV ox oy oz二JB?八.=4V=4(1)四.计算题(8义4=32分)3.判别级数£4是否收敛,念3n敛。解：引？卜发散,n= |3 |n= 3n,单调削减，lim' = O, 3n3n若收敛，是肯定收敛，还是条件收(2)(3)所以z郊收敛，并且是条件收敛。4.将函数/(%)=%2小 绽开为x的幕级数。(4)解:(2)oo<x<4-oo .oo<x<4-oo .(2)3 .求微分方程yy = 3x的通解。解：V - y =。的通解为y = c/,(2)(4)(2)设原方程的通解为 y = c(x)ex， 代入方程得c'(x) = 3xeA ，得 c(x) = -3xex - 3eA + c 原方程的通解为4 .求微分方程y + y(2)(2)解：特征方程为分+2-2 = 0,特征根为4=-2/=1对应的齐次方程的通解为对应的齐次方程的通解为2 VXy = c1e 一 + c2e .(2)1 1y =x24(2)(2)是原方程的一个特解原方程的通解为原方程的通解为119 rxy -x - 1 + q e + c? e(2)五.设级数A/收敛，证明级数也收敛。（5分）n=n=f -2,24i!E： 2%一hn n(2)(2丫2 44 04、Un =Un+ - - Un + ) nn nn而£始收敛，/1=1£乡也收敛。n="(1)由比较判别法知，原级数收敛。（2）
