人教A版选择性必修第三册第七章7.2离散型随机变量及其分布列学案.docx
7.2离散型随机变量及其分布列必备知识自主学习导思L什么是离散型随机变量？2.如何求离散型随机变量的分布列？1 .离散型随机变量随机变量：一般地，对于随机试验样本空间。中的每个样本点3 , 都有唯一的实数x（与之对应,我们称x为随机变量.表示：通常用大写英文字母表示随机变量，例如X, y, Z ；用小写 英文字母表示随机变量的取值，例如X , y ,乙离散型随机变量可能取值为有限个或可以一列举的随机变量，我们称之为离散型随 机变量.随机变量和函数有类似的地方吗？提示：随机变量和函数都是一种对应关系，随机变量把样本点与实数 对应，函数把实数与实数对应，由随机变量的定义知，样本点/相 当于函数定义中的自变量，样本空间。相当于函数的定义域.2 .离散型随机变量的分布列定义：设离散型随机变量X的可能取值为XI , x2 , Xn ,我们称X取每一个值X/的概率 P（X = x）=p, , 2 ,，"为 X的概率分布列，简称分布列.角度2实一际问题中求分布列【典例】植树节当天，甲、乙两组各四名同学的植树棵数如表所示：学生甲组乙组序号12341234棵数99111198910棵数9,9/1/1,9,8,9,10现分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求 这两名同学的植树总棵数丫的分布列.【思路导引】先列出V所有可能的取值，再确定y的每一个取值所对 应的概率，最后写出随机变量V的分布列.【解析】由题表可知，甲组同学的植树棵数分别是9 , 9 , 11 , 11 ；乙组同学的植树棵数分别是9 , 8,9, 10.分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，共有4x4= 16种可能的结果，这两名同学植树总棵树丫的可能取值为17 , 18 , 19 , 20 , 21.事件，二17等价于甲组选出的同学植树9棵，乙组选出的同学植树8棵，所以该事件有2种可能2111的结果,因止匕PW="）二五二9同理可得P（y=i8）=z； P（r=i9）=-；iip（y=20）= 4; p（r=2i）= g.所以随机变量丫的分布列为:Y1718192021P1814141418求离散型随机变量分布列时的关注点关键：搞清6取每一个值对应的随机事件，进一步利用所学知识求 出 取每一个值的概率.（2）技巧：对于随机变量f取值较多时，应由简单情况先导出通式，从而简化 过程； 要充分利用分布列的性质，这样不但可以减少运算量，还可验证分 布列是否正确.一批200件的待出厂产品中，有1件不合格品，现从中任意抽月2件进行检查，假设用随机变量X表示抽取的2件产品中的次品数，求Cwq 99【解析】由题意知，X服从两点分布，p（x=0）=泮=诉，所以P（X5oo ±uu_ _991=1) = 1 - 10Q = 100-所以随机变量X的分布列为:X01P991001 100课堂检测素养达标1 .在掷一枚质地均匀的骰子试验中出现的点数'是一个随机变量, 它有 个取值.（）A . 2 B . 4 C . 6 D . 7【解析】选C.因为掷一枚质地均匀的骰子试验中，所有可能结果有6个，故”出现的点数这一随机变量的取值为6个.2 .以下问题中的随机变量不服从两点分布的是（）A.抛掷一枚骰子，所得点数为随机变量XB.某射手射击一次，击中目标的次数为随机变量XC.从有5名种子选手，3名非种子选手中选1人，是否选出种子选手为随机变量XD.某医生做一次手术，手术成功的次数为随机变量X【解析】选A.A中随机变量X的取值有6个，不服从两点分布，其他 可以.3 .（教材二次开发：习题改编）以下表中能成为随机变量X的分布列的是（ ）X-101P0.30.40.4X123P0.40.7-0.1X- 101P0.30.40.3D.X123P030.40.5【解析】选C.选项A , D不满足分布列的概率和为1 ,选项B不满足 分布列的概率为非负数.4 .随机变量X的分布列如下表.X012345P192157458451529那么X为奇数的概率为.【解析】X为奇数的概率p=诵+五+ 3=运. IDZ7 1D绞空口木 15.抛掷两颗骰子，所得点数之和X是一个随机变量，那么P(X<4)=【解析】根据题意,有P(X") = P(X=2) + P(X=3) + P(X= 4)抛掷两颗 骰子，按所得的点数共36个基本领件，而X = 2对应(1 , 1) , X = 3对 应(1 , 2) , (2 , 1) , X=4 对应(1 , 3) , (3 , 1) , (2 , 2),121故 P(X=2)=而，P(X=3)=云，,311111。优二卬二会二运，所以P(X")=w+五+运=6卜一1口木 6关闭Word文档返回原板块表示：表格XX1X2 XnPPiP2 Pn概率分布图性质：P/>0 , / = 1 , 2 , - , n ； P1 + P2+Pn= 1.3.两点分布对于只有两个可能结果的随机试验，用X表示"成功，了表示"失败,1 ,八发生，(、定义x = 1 a从 如果p(a) = p ,贝！I 4)=1 - p ,那么x的分0, A发生.布列为X01P1-PP.我们称X服从两点分布或0 - 1分布.假设随机变量X的分布列为X12P1323那么X服从两点分布吗？提示：不服从两点分布，X的取值只能是0 , 1.1 .辨析记忆(对的打“v ,错的打x).抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数是随机变量.(V )提示：符合随机变量的概念.离散型随机变量取值一定是有限个.（X ）提示：离散型随机变量取值可以是无限个，但要能一一列举.离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各 个值的概率之和.（ V ）提示：离散型随机变量各个可能的取值表示的事件是互斥的.2 .袋中有大小相同的5个球，分别标有1,2,3, 4, 5五个号码,现在在有放回抽取的条件下依次取出两个球，设两个球的号码之和为随机变量X ,那么X所有可能取值的个数是（）A . 5 B . 9 C . 10 D . 25【解析】选B.X的可能取值是2 ,3, 4, 5, 6, 7, 8 ,9, 10,共9 个.3 .（教材例题改编）设某项试验的成功率为0.4 ,用随机变量X去描述 1次试验的成功次数，那么P（X =0） =.【解析】由得X的所有可能取值为0,1,且 p（X=l） = 0.4 ,由 P（X=l） + P（X=0） = l ,得 P（X=0） = 0.6.答案：0.6关键能力合作学习类型一离散型随机变量的概念（数学抽象）.袋中有3个白球、5个黑球，从中任取两个，可以作为随机变量的是（）A .至少取到1个白球B .至多取到1个白球C.取到白球的个数D .取到的球的个数【解析】选C.A , B两项表述的都是随机事件；D项是确定的值2 ,并 不随机；C项是随机变量，可能取值为0,1,2.1 .（多项选择题）以下变量是离散型随机变量的是（）A.下期某闯关节目中过关的人数B.某加工厂加工的一批某种钢管的外径与规定的外径尺寸之差C.在郑州至武汉的电气化铁道线上，每隔50 m有一电线铁塔，从郑 州至武汉的电气化铁道线上将电线铁塔进行编号，其中某一电线铁塔 的编号D.江西九江市长江水位监测站所测水位在（0 , 29这一范围内变化，该 水位站所测水位【解析】选AC.A是离散型随机变量，因为过关人数可以一列出； B不是离散型随机变量，因为实际测量值与规定值之间的差值无法一 一列出；C是离散型随机变量，因为电线铁塔为有限个，其编号可以 一一列出；D不是离散型随机变量.因为水位在（0 , 29这一范围内变 化，对水位值不能按一定次序一列出.3 .在8件产品中，有3件次品，5件正品，从中任取一件，取到次 品就停止，设抽取次数为X ,那么X = 3表示的试验结果是【解析】%=3表示共抽取3次，前2次均是正品，第3次是次品.答案：共抽取3次，前2次均是正品，第3次是次品.对随机变量的理解在一次随机试验中，随机变量的取值实质上是随机试验的结果所对 应的数.有些随机试验的结果不具有数量关系，但我们仍可以用数量表示 它.1 .关于离散型随机变量的判断把握离散型随机变量的特点：有限个或能一一列出； 根据实际情况或条件求出随机变量的取值进行判断.2 .关于离散型随机变量取值的意义关键是明确随机试验产生随机变量的方法，这样就可以反推随机变量 的取值对应的试验结果.这个试验结果对于求随机变量取值对应的概 率至关重要.一个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的 个数为f.列表说明可能出现的结果与对应的f的值；(2)假设规定抽取的3个球中，每抽到一个白球加5分抽到黑球不加分, 且最后结果都加上6分，求最终得分n的可能取值，并判定n是否为 离散型随机变量.【解析】(1)f0123结果取得3个黑球取得1 个白球， 2个黑球取得2 个白球， 1个黑球取得 3个 白球(2)由题意可得=5, + 6 ,而f可能的取值范围为0 , 1 , 2 , 3,所 以q对应的各值是：5x0 + 6 , 5x1 + 6 , 5x2 + 6 , 5x3 + 6.故q的可能 取值为6 , 11 , 16 , 2L显然，q为离散型随机变量.类型二离散型随机变量分布列的性质(数学抽象)k【典例】(1)设随机变量X的分布列为P(X=/)=/二1 , 2,3),那么k=； P(X>2) =.【解析】由得随机变量X的分布列为：X123Pk2k4k8所以X + /1,所以kJ所以X123P4727172 13所以 P(X>2) = P(X=2) + P(X=3)=- + - = -处专口 77设离散型随机变量X的分布列为X01234p0.20.10.10.3m求 P(1<XW4).【解析】由分布列的性质知:0 . 2 + 0.1+ 0.1 + 0.3+ m = l ,解得 m = 0.3.所以随机变量X的分布列为：X01P0.20.12340.10.30.3所以 P(1 < X<4) = P(X = 2) + P(X=3) + P(X = 4) = 0.1 + 0.3 + 0.3 = 0.7.离散型随机变量分布列的性质的应用验证分布列是否正确；求参数的取值或范围；求随机变量在某个范围内取值的概率.设随机变量X的分布列为P(X=/)=(/=l , 2 , 3 , 4),求: (1)P(X=1 或X=2)；fl 7、(2)Pz:<X<-.12 3 4【解析】(1)因为£ + £ + £ + £=1 ,所以。二1。,贝！ P(X= 1 或X= 2) = P(X= 1) + P(X= 2)2_ A 10 + 10" 10'(1(2)由 Q = 10，可得p5<x<212= P(X=1) + P(X=2) + P(X=3)= + +3316 = ?【拓展延伸】假设X为随机变量，那么ax + b仍然为随机变量，求其分布列时可先求出相应的随机变量的值，再根据对应的概率写出分布列.【拓展训练】设离散型随机变量X的分布列为X0123P0.10.20.3m求：（1）2乂+1的分布歹1；求随机变量=IX - 11的分布列.【解析】由分布列的性质知，0 . 1 + 0.2 + 0.3 + m = 1 ,解得 m = 0.4.当 X=o , 1 , 2 , 3 时，2X+1 = 1 , 3 , 5 , 7 ,故2X+1的分布列为：2X+11357P0.10.20.30.4当 X=0 , 1 , 2 , 3 时，= IX- 1| =1 , 0 , 1 , 2 ,故 p(n = 1) = p(X=0) + P(X= 2)= 0.1 + 0.3 = 0.4 ,p(n = 0) = p(X=l) = 0.2 , P(n = 2) = P(X=3) = 0A ,故 二|X-1|的分布列为:n012p0.20.40.4类型三求离散型随机变量的分布列（数学建模数学运算）角度.两点分布【典例】一个袋中装有除颜色外其他都相同的3个白球和4个红球从 中任意摸出1个球，用0表示摸出白球，用1表示摸出红球，即X二0,摸出白球，11,摸出红球，求X的分布列.【思路导引】分别求出X=0与X=1时的概率，列出分布列即可.34【解析】由题意知，P（X = 0） = y ,。优=1）二,.故乂的分布歹!为：X01P3747本例中假设从中任意摸出两个球，用y=o表示"两个球全是白球，用丫=1表示两个球不全是白球，求y的分布列.C： 1【解析】由题意知，P（Y=0）=-2=-,6p"二D 二 1 - p（y=0）=亍.故y的分布列为：Y01P1767
