人教B版必修第一册2.2.4均值不等式及其应用第2课时均值不等式的应用学案.docx
第2课时均值不等式的应用学习任务一“常数代换法”求最值(数学运算)3 21 .a>0 , b>0 ,石+ %= 1 ,贝! 2。+ 3Z?的最小值为()A . 25B . 26 C . 27D . 283 2【解析】选A .因为a>0 , b>0 , + -= 1 ,(2 3) 6a 6b16a 6b2a + 3b = (2a + 3b) + =13+T + ->13 + 2Tx-=25 , 当且仅当华二% 即=匕=5时等号成立.2 .正数% , y满足x + 2y - 2xy = 0 ,那么2x + y的最小值是,1 2【解析】由x + 2y - 2孙=0得; = 2 ,y x所以(2x + y) = (2x + -|x- = - + - +2 2y21 + 24当且仅当x = y时等号成立.9空 一口 218.x>0 , y >0 ,且 +- = 2，那么2x + y的最小值为 x+1 V1Q/x【解析】由 ；+ ；=2 ,可得2x + y = 2(x+l) + y - 2x+i y答案：7常数代换法求最值的方法步骤常数代换法适用于求解条件最值问题.应用此种方法求解最值的基本步骤为：根据条件或其变形确定定值（常数）.把确定的定值（常数）变形为1.（3）把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积 的形式利用均值不等式求最值.1 . （2022.三明高一检测）正实数。,Z?满足4 + /?= 18，使得:+ 1取最小值时，实数的值为()9A . a = , b = 9B . a = 2 t b = 101818C . a = 3 , b = 6 D . a = f b = 【解析】选c.因为4q + =18,所以卷+ A=1 ,y 10所以+ b = + b)95 b 2a 54-4-> 18) 18 18。9Z?18/ b la 1+ 2、屈砺二2,b 2ab 2a当且仅当自二浅，即彳，即<侬 9b4a + b=18故当。=3 , 6 = 6时,/取最小值.b 2ab 2a当且仅当自二浅，即彳，即<侬 9b4a + b=18故当。=3 , 6 = 6时,/取最小值.a = 3时等号成立, b = 62 （2022惠州高-检测） , > 均为正数且中=2 , * +小值为()3A . 4 B 5【解析】选C.因为2均为正数目"k2 ,所以4二3，那么占1十 一 二y_401十 一 二y_40+ 1 +y)x+ 1y =3 2 +y X+ PJ 十x+i y )J x+ 1x+1 当且仅当x+ 1x+i y,即不二;，y = |时取等号1 23 . (2022.聊城高一检测)以y均为正实数，氏+楙=4 ,假设2x + x yy>m2 - m 恒成立，那么实数m的取值范围是()A . m< - 2 或 m>lB . - 2<m<lC . m< - 1 或 m>2D . - <m<2【解析】选 D.由题设，2x + y = 1(2x +1) = 1(4 + + y)>1(4 +2、牌)=2 ,当且仅当y = 2x= 1时等号成立，要使2x + y>m2 -加恒成立，那么/-根<2 ,可得-1<加<2.学习任务二利用均值不等式证明不等式(逻辑推理)【典例】，的。均为正数.求证:"+ 加 + + / >42 ；、9 4 1(2)假设 q + 4/? + 9c = 1 ,求证：_ + t + _>100.【证明】。“均为正数，得次+走2而、n P|24/4所以 a2 + b2+ 二 + 工 >2ab + -t>2a /2ab-r: "八a b) -ab-ab当且仅当a = b =舱时，等号成立.941(94n(2 万+ 石 + ； = 3 + 4/? + 9出 + 尸 UCZCClUC J4a a 36b _ 4b 81c 36c 八 - 9+ 7 + + 16 + j + 9b cacab4 360 (a 81c)？ 36cl=34 + 7 + 7yba ) c a ) cb )“八 14a 36b 八 la 81c 八 14b 36c >34 + 2A / , -+ 2 / + 2 / > -一l b al c aJ c b当且仅当a = 3b = 9c ,且a + 46 + 9c = 1时, 即当且仅当a-，0-A，*时，原式fl 1)2 4一+ 一z a b) -ab 1= 42.：34+ 24+ 18 + 24= 100.等号成立，HU 笺&耿es (2)将孑+ * +:与a + 4。+ 9c相乘，化筒后拆分，再利用均值不等式求 解.【思路导引】将表达式各项拆分之后利用均值不等式求解；利用基本不等式证明不等式的策略与考前须知策略：从已证不等式和问题的条件出发，借助不等式的性质 和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是 以“”看何知"逐步推向“未知”.考前须知：屡次使用基本不等式时，要注意等号能否成立；累加法是不等式 证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用；对不能直接使用 基本不等式的证明可重新组合，形成基本不等式模型，再使用.（2022濮阳高一检测）a>0 , b>0 , a + b=l ,求证：卜广泉8；(2)3(2)3、b - a+ a )a - b3+I b )>9.【证明】因为+ b=l , a>Q , b>Q ,1 - 5 +2=+帅 +1 -力 +1 - =1必 +1 - /p1 - 5 +2=+帅 +1 -力 +1 - =1必 +1 - /p(b )=22+-+ k Clc c lba门2 + 2y -t = 8 , a b)当且仅当2卷，即。"二辆等号成立，所琮+ R当且仅当2卷，即。"二辆等号成立，所琮+ Rb - a b(2)因为 a + b = 1 , a>0 , b>0，贝！J 3 +=2 + , 3 +a - b a 丁 =2 +，b - a 3+ ab - a 3+ aa - b3+-JI b )._ (b a=2 + - 2 + 工=5 + 2导Mdb)>5 + 2x2*9 ,当且仅当小亲即二。4时等号成立,a - b3+b )所以3 +>9.学习任务三 均值不等式的实际应用（数学建模）【典例】（2022.恩施高一检测）某市近郊有一块大约500 mx500 m的接 近正方形的荒地，地方政府准备在此建一个综合性休闲广场，首先要 建设如下图的一个矩形场地，其总面积为3 000 n?,其中阴影局部为通道，通道宽度为2 m ,中间的三个矩形区域将铺设塑胶地面作为 运动场地（其中两个小场地形状相同），塑胶运动场地占地面积为S m2.分别用工表示y和S的函数关系式，并给出定义域；怎样设计能使S取得最大值，并求出最大值.【解题指南】结合图形用工表示）及S ,注意x的实际意义并求其 范围.（2）由均值不等式求最值，注意等号成立的条件.【解析】由孙二 3000 ,所以y二半,其定义域是（6 , 500）.（注意x的取值范围易错X审题）S = (x - 4)。+ (x - 6)a - (2x -,因为2 + 6=y ,所以 =£ 一 3二 -3,(易错处是未用x表示Q)fl 500 115 000日所以 S = (2x - 10)- - 3 =3 030 -(+ 6x),其定义域是(6 , 500).（列式）(2)5 = 3 030 -2 430(2)5 = 3 030 -2 43015 000 + I x15 000030 - 21: 3 030 - 2x300 =当且仅当邛独=6%，即x = 50 £ （6 , 500）时上述不等式等号成立,止匕时 x = 50 ,y = 60 ,Smax = 2 430.（求解）答 设计x = 50 j = 60时，运动场地面积最大，最大值为2 430 m2.（作答）利用基本不等式解决实际问题的步骤审题列式先理解题意，设变量.设变量时一般把要求最大值或最小 值的变量定为函数建立相应的函数关系式求解把实际问题抽象为函数的最值问题.在定义域内,求出函 数的最值作答写出结论(2022.长春高一检测)为了持续推进“喜迎生物多样性，相约美丽春城” 计划，在市中心广场旁的一块矩形空地上进行绿化.如下图，两块 完全相同的长方形种植绿草坪，草坪周围(斜线局部)均种满宽度相同 的鲜花.两块绿草坪的面积均为200平方米.假设矩形草坪的长比宽至少多10米，求草坪宽的最大值；(2)假设草坪四周及中间的宽度均为2米，求整个绿化面积的最小值.【解析】设草坪的宽为工米，长为y米，由面积均为200平方米得y 200因为矩形草坪的长比宽至少多10米，所以+ 10 ,所以 a2 + 10x - 200<0 ,解得-20<x<10 ,又x>0 ,所以0<立10 ,所以宽的最大值为10米；记整个绿化面积为S平方米，由题意得S = (2x+6)(y + 4) = (2x +r200 八6)匕 + 4)成立.=424 + 8(x + -)>424 + 80 ,当且仅当 = 5册 米时, 所以整个绿化面积的最小值为(424 + 80同)平方米.【补偿训练】 为了缓解市民吃肉难的生活问题，某生猪养殖公司欲将一批猪肉用冷 藏汽车从甲地运往相距120 km的乙地,运费为每小时60元，装卸费 为1 000元，猪肉在运输途中的损耗费(单位：元)是汽车速度(km/h) 值的2倍.(说明：运输的总费用二运费+装卸费+损耗费) 假设汽车的速度为每小时50 km ,试求运输的总费用.为使运输的总费用不超过1 260元，求汽车行驶速度的范围.假设要使运输的总费用最小，汽车应以每小时多少千米的速度行 驶？【解析】当汽车的速度为每小时50 km时，_120_运输的总费用为：彳万义6。+ 1 000 + 2x50=1 244(元).120(2)设汽车行驶的速度为x km/h ,由题意可得：x60 + 1 000 + 2烂1化简得 f _ 130x + 3 600<0 ,解得 40490 z故运输的总费用不超过1 260元时，汽车行驶速度的范围为40 , 90._1207 200由(2)知运输的总费用：x60 + 1 000 + 2x = 2x +1一 + 1 000I7 200>2y 2x- + 1 000 = 1 240 ,7 200当2x = T，即x = 60时取得等号,故假设要使运输的总费用最小，Ji汽车应以每小时60 km的速度行驶.关闭Word文档返回原板块
