高考五大题原创命题公开课.docx
命题编制一高考五大题JT.(原创)设函数f(x) = sin(x + ), A为三角形的一个内角.4(I)假设函数/(x+A)的图像关于原点对称，求A；3乃(II)假设/(A)4/(-A)=4,求/(74).37r解：(I).4(II)由 f(A)+f(-A)= sin(A+ ) + sin(- - A) = a/2 cos A = 443解得 cos A进一步得 sin A = Jl-cos?% =33所以 /( -A)= sin(% -A) = sin A=第2题2 .(原创)如图，三棱柱ABC 44G，底面ABC是边长为1的正三角形，顶点及在底面上的射影为AC的中点。，二面角AAC 8的大小为135°.(I)证明：AC ± CC,；(II)求直线BG与平面ACG4所成角的正弦值.方法一：(I)证明：连接30,如右图，因为A5C是正三角形，。是AC的中点， 所以ACJ_O3；顶点用在底面上的射影为。，得04,平面ABC,所以。4_LAC；又因为。旦D03=0,所以AC，平面30A.由于u平面30g,故AC，8耳；因为BB、CC,所以AC，CG.dBC,(id找4G的中点。，连接0。、司。.设5到平面ACC的距离为d, 5G与平面ACG4所成角为凡那么Sin8 =由于AC_LO8,ACJ_O。，所以NBQD就是二面角AAC B的所成角，ZBOD = 135°过及作4“J_OO,由（I）知AC_L平面3。旦，故进而得4”，平面ACGA.在正三角形ABC中，AB = T得OB =回;2在直角三角形 4。中，/4。= 45°, B、H 二与,B、C =小BQ? + oc? =1,BD = BQ = g,OD 4.因为54 / /平面Acea,所以b到平面Acea的距离等于用到平面ACG4的距离,在平行四边形BCC'Bi中，由BC； + BjC2 = 2(3避2 + qC2)得BQ =2.所以sin <9 =，一=逅，即直线BQ与平面ACC14所成角的正弦值为" BC 88方法二：解：连接6。因为ABC是正三角形，。是AC的中点， 所以ACLOB；顶点及在底面上的射影为0 ,故OB±平面ABC ；因此。4、OB、OC两两相互垂直，建立如下图坐标系.因为ACLOB.ACLOD,所以ZBQD就是二面角AAC 8的所成角,故 N5O£> = 135。,且/耳 00 = 45°.故 N5O£> = 135。,且/耳 00 = 45°.(I),0,0), C(0,-,0), A(0,-,0),旦(0,0,22/二(0,1, 0),函=苗=(一四 0,AC>CC= (- -)x0+0x2；+ 孝*0=0,所以AC_LCCGdi）设平面ACGA法向量 = （x,y,z）AC=y = 0由|，百也 得3 = (1,。,1).n>CC=- x+z = OI 122又西=函+*=函+屈=（1 - 2 G(- - 砺一一 国一 V3设3G与平面ACG4所成角为凡sin。JICJ = = 再| 115Gl V2-28即直线BG与平面4CGA所成角的正弦值为立.8且 2S+* =2+且 2S+* =2+3 .（原创）正项数列4首项q=1,前项和为S”,（I）求数列的通项公式;/、十口口 1a/2Vn _2(II)证明： + Hh < 3r=.的anV 解：(I)由 25+% =匕1，及 2S.1+o =片(之 2),两式相减得2an+an+ -an =%，即% +% =吮因为%+1 +。 > ° ,上式化简得4+1 - an = 1( - 2).又 2S +。2 =。；，。20 解得。2 = 2 ,也满足。+1 -。 = 1，故4是首项为1,公差为1的等差数列，所以4 = .（II） 由=I ， 原不等式即证明1+ -IT卜I W3-j=.方法一：分析法当几=1时，左边=右边二1成立;2922当 2 2时，把右边看成数列btJ的和式，那么2=(3 7=) (3 /) = /-j=JJ 一1J一 1试证会2时二2（而g）J， y/n-l <ndn- 册日 12(y/ny/n l)弁一，即证一<y=成乂.nyjn-要证即证业< 2 (、份JR)二 L2 ,n(a/+J -1)即证、/九一 1 G+n-l < 2n ，即证6< n+l.而J-1yfn < n+l显然成立，厂匚ci n .1 2(/1 y/n 112( 1)22 、所以时，<、一乙即一二 广人=一-尸成立.n yjn-1 J/ <n-17H y/n-11112222221+< 1+( 7-/=)+( =-)+1-j=a/2 a/3a/1 v2 v2 v3yjn l y/n-3.A一"方法二：（数学归纳法）12证明：当=1时，左边二一产 W 3六二右边，成立彳发设二攵时不等式成立，即1+L + +1Lw3 23 V33k3二成立. 4k当二左+1 时， 1+ -7=r + 7= HF -= + < 3 7= + -(*)万存 7F4+1)3&+1)3因为( +JE)<2(Z+1)，变形2( J Z+l yfk(左+1)yk (/k + a/k+)成立.即 192(呵-扬(左+1) , J+1fk Vk+1）成立, VT+i故（*）有1111c21+ + -= + + -= +<37=叵后 辰4kc 211、c 2<3-7= +2(j=/) = 3-r=kk J- +1 fk+l所以当=%+1时不等式也成立.1112由可知对任意的 eN ， 1+ , + -I-= < 3尸成立.第4题4.(原创)如图，设/为抛物线G：/=2y的焦点，且抛物线上点B处的切线与半圆C2:x2 + y2 = ry < 0)相切于A .3(I)假设r=巳，求直线A3的方程;4(II)假设厂工走，记三角形方，AAR)分别为耳，求 3.的最大值.解法一：(I)分析知存在，设直线方程：y = kx + m.联立方程一 二2， 得丁2米2根=0,由A = 4%2+82 = 0得左2 =-2m y = kx + mI Hi I3又因为直线A5与圆相切，所以d= J =,得16m2=9/+9 VT7F 4结合有16加2+18加9 = 0且加0,解得根=-9, k = ±y/3.所以AB直线方程为y = 土瓜 -1.上2(II)由(I)知产=-2根，m<0,且得切点B(左,一).圆心0(0,0)到直线AB的距离J川 =r得m2 = r2 (二+1)Jl + 廿结合两式得机2 =/(1 2w)m1I由0，=« 解得一1(相 .(1- 2m) 33又加<0,所以一1工2Vo.联立AB、Q4方程1y = kx + m1 得4y =xkAB= + k2 xA-xB=y/l + k2 k + , m1点F(0,-)到直线AB的距离4 = =，11 k 111 k求得S1=7|A回U=7k + H/n 力，S9=-OF.xa=-,22 根 224 mk ic21Z h hi mii i所以,=rn_二=21 (m +1)(/7： ) |=2|m2+-m |.m i1s9分析2 |相之+ m|在2£-1,0)上图像知根=时，,有最大值一.224s285.(原创)函数 /(x) = In x - ax + -= a g R).7 x(I)假设。=2,求/(x)在点(1")处的切线方程;(Il)对任意工£1，5，/+1+；,率恒成立，求。的取值范围.7x(I)解：当=2时，/(x) = lnx 2« + 7，f(l) = 0 ； JX求导得尸(x)=LX求导得尸(x)=LX9 所以k二/'(I) = l;所以/(X)在点(1,0)处的切线方程为y = (% 1),即y = x + 1.(II)方法一:题目转化为求a ,使/(%) +与r = Inx-ayx +>0对任意xel.yjyje2 +l+e恒成立.y/x< Xa + 2e/令G = t, 记"(x) = 21n/-d, Z el,V2 +i+e.12e当 aVO 时，t el,e,> 0 , 2nt + 一> 0所以/z(x) = 21n，+至+ q(1 对任意+ 恒成立.t t当。>0时，h<%) = T" -；+ " + 2e),，wi,J7W + e9 1记g(x) = (/2/ + Q + 2e), g(x)为开口向下的二次函数，对称轴一.ag=2-2a-2ev0. , gQe2 +1 -e) = - -a-2e = ye2 +1 + e-(Je1 + 1 -e)-2e = 0ag(x)max =maxg(O),g(V?ZT + e)<().所以力(x) =一(at2 2, + q + 2e)< 0 ,故/z(x)在+ 上递减,所以 h(x) > h(ye2+l +e) = 2ln(y/e2+l +e) + 2e(y/e2+l-e)-2ae>0,得 0 < q W ln(J" +1 + Q +( J/+1 - e)综上所述：ci <F We，+1 e).e(ID方法二:题目转化为求，使/(x) + ：£ = lnx + 娶2。对任意恒成立. yjXy/Xr,令4x = t,记h(x) = 2111，一必 + +，力0对任意t e1,yje2 +1 + e恒成立. t t八 一 公 w, /口2e + 2tnt分禺参数得Q «t2-l令/(x) = 2e；2；nf ,尸，(©=(2产2) hu + 2(产21)当，=1,时/一2& -1 = 2e<0；当 1 = J/+1+6 时,r2 - 2er -1 = 22 +1 + 2eVe2 +1 - 2e( V?+l + e) -1 = 0.所以当1£工,/+1+0时,产一2一IWO且(一2一一2)In。vO,故 Fx)=故 Fx)=<0.(2 /2)hW + 2(2一1)0)2所以F(x) = 2e：2八in在,£工7?+T + e上单调递减，r -1故尸(x)min = F(V?+1 + e)=皿"2 +1 + > + (G + l - e).eln( V2 +1 + e)所以 QF (a/e +1 - ).
