第03讲 基本不等式 (精讲+精练）（学生版）.docx

第03讲 基本不等式（精讲+精练）目录第一局部：思维导图（总览全局）第二局部：知识点精准记忆第三局部：课前自我评估测试第四局部：典型例题剖析高频考点一：利用基本不等式求最值凑配法“1”的代入法二次与二次（一次）商式（换元法）条件等式求最值高频考点二：利用基本不等式求参数值或取值范围高频考点三：利用基本不等式解决实际问题高频考点四：基本不等式等号不成立，优先对钩函数第五局部：高考真题感悟第六局部：第03讲基本不等式（精练）12那么+ ：的最小值是（）4 + 1 b2 4A. -B. -C. 2D. 43 3（2021全国高考真题（文）以下函数中最小值为4的是（）,4A. y = x2+2x + 4B. y=smx+-sinx94C. y = 2'+2 'D. y = lnx + Inx2. （2021天津高考真题）假设那么5十齐+8的最小值为.3. （2021江苏高考真题）某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总本钱丁万元与年产 2量X吨之间的函数关系可以近似地表示为 > =三-24X + 2000,此生产线的年产量最小为60吨，最大为110 吨.（1）年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均本钱最低?并求最低平均本钱；（2）假设每吨产品的平均出厂价为24万元，且产品能全部售出，那么年产量为多少吨时，可以获得最大利润? 并求最大利润.第六局部：第03讲基本不等式（精练） 一、单项选择题 （2022江西赣州市赣县第三中学高一开学考试）以下说法正确的为（A. x H 2 2 x2（/+4）B.函数y =二一的最小值为4C.假设x>0,那么x（2 x）最大值为1D.。>3时，l +工工当且仅当。=3 即。=4时，3取得最小值8 。一3 v -3ci 5a 5丫之一4 丫 + 5S2. （2022福建莆田一中高一期末）函数/Q）4'十'。23）有（）x-22A.最大值:B.最小值3C.最大值2D.最小值2221 O（2022河南郊县第一高级中学高二开学考试（理）正实数仍满足一+ 7 = 1,那么（。+ 2）。+ 4）的最小 a b值为（）A. 16B. 24C. 32D. 403. （2022江西抚州高二期末（文）假设命题对任意X£（f）,0）,使得X2利+ 420成立是真命题，那么实数。的取值范围是（）A. -2,+oo）B. 2,+oo）C. （-oo,-2D. （-oo,2（2022河南驻马店市基础教学研究室高二期末（理）中国大运河工程成功人选世界文化遗产名录， 成为中国第46个世界遗产工程，随着对大运河的保护与开发，大运河已成为北京城市副中心的一张亮丽的 名片，也成为众多旅游者的游览目的地.今有一旅游团乘游船从奥体公园码头出发顺流而下至漕运码头， 又立即逆水返回奥体公园码头，游船在顺水中的速度为匕，在逆水中的速度为匕储。匕），那么游船此次行程的平均速度V与乂等的大小关系是（）A.一"2C. V>-工 2A.一"2C. V>-工 2B.D.乂+匕24. （2022浙江温州二模）正数06和实数1满足/+标+/=1,假设+2存在最大值,那么，的取值范围是（）B4 (-D. 2,+oo)A.(f 2C. (-2,25. （2022广东高三阶段练习）在足球比赛中，球员在对方球门前的不同的位置起脚射门对球门的威胁是 不同的，出球点对球门的张角越大，射门的命中率就越高.如图为室内5人制足球场示意图，设球场（矩形） 长大约为40米，宽A3大约为20米，球门长尸。大约为4米,在某场比赛中有一位球员欲在边线5c上某QP）（精确到1米）（精确到1米）点“处射门（假设球贴地直线运行），为使得张角NPM。最大，那么而大约为（A. 8 米B. 9 米C. 10 米D. 11 米（2022江苏无锡模拟预测）实数。，b满足如下两个条件：（1）关于x的方程3尤22x-次7 = 0有2 1两个异号的实根；（2） + ： = 1,假设对于上述的一切实数。，b,不等式q +2b>，+2"恒成立，那么实数小 a b的取值范围是（）A. （-4,2）B. （-2,4）C. （-8,-4卜>2,+oo）D. （-8,-2。4,+00）二、填空题3 39.（2022陕西西安高三阶段练习（文）x>0, y>。，x+y= 4 ,那么x+y的取值范围为.% y（2022上海二模）对Vxw（O,y）,不等式X机-L恒成立，那么实数用的最大值是. x10. （2022浙江高三阶段练习）函数,="二,g（%） = log2%+%假设存在 e3,4，任意分 £ 4,8, X使得了（2）28（），那么实数。的取值范围是.11. （2022安徽合肥高一期末）如下图，某农科院有一块直角梯形试验田A3C。，其中AB/CD,AD，AB. 某研究小组计那么在该试验田中截取一块矩形区域AGE”试种新品种的西红柿，点E在边3C上，那么该矩形 区域的面积最大值为.三、解答题12. （2022湖南高一课时练习）（1）把36写成两个正数的积，当这两个正数取什么值时，它们的和最小？（2）把18写成两个正数的和，当这两个正数取什么值时，它们的积最大？13. （2022辽宁朝阳高一开学考试）如图，设矩形的周长为8c加，将 ABC沿人。向4A3C折叠，A5折过去后交。C于点P,设AB = xcm,求ADP面积的最大值及相应x的值.14. （2022贵州赫章县教育研究室高一期末）关于x的不等式0?+6+ 2>0的解集为R,记实数的 所有取值构成的集合为求4（2）假设，0,对VawM,有5 。</+3，-2,求/的最小值.Q + 1（2022山西怀仁市第一中学校高一期末）党中央国务院对节能减排高度重视，各地区认真贯彻党中央 国务院关于十三五节能减排的决策部署，把节能减排作为转换开展方式，新能源汽车环保节能以电代油, 减少排放，既符合我国国情，也代表了汽车产业开展的方向.为了响应国家节能减排的号召，2022年某企 业计划引进新能源汽车生产设备.通过市场分析：全年需投入固定本钱2500万元.每生产x（百辆）新能f 10%2+500x,0<x<40,源汽车，需另投入本钱C（x）万元，且C（x） = L6400_由市场调研知，每辆车售价9万元，' '90U +6300,x > 40.I I且生产的车辆当年能全部销售完.请写出2022年的利润”尤）（万元）关于年产量x （百辆）的函数关系式；（利润=售价一本钱）当2022年的总产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润.支要1之(率)2(2)；+?2a>0)拼凑法第一局部：思维导图总览全局(l)a2+lr>2ab(af bR),当且仅当a=b时取等号(2)。忒"1(% b£R),当且仅当。=b时取等号(基本不等式：建空(1)基本不等式成立的条件：a>0, b>0.(2)等号成立的条件：当且仅当a=b时取等号.(3)其中岩称为正数a, b的算术平均数，丽称为正数a, b的几何平均数a>0, b>0) x>0, j>0,贝!(1)如果或是定值p,那么当且仅当x=y时，x+y有最小值是2心 (简记：积定和最小).(2)如果是定值q,那么当且仅当x=.F时，球有最大值是g4(简记：和定积最大).拼凑法即将代数式进行适当的变形，通过添项、拆项等 方法凑成和为定值或积为定值的形式 拼凑法的实质是代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键.b(l)根据条件或其变形确定定值(常数)；(2)把确定的定值(常数)变形为1；(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除， 进而构造和或积为定值的形式；(4)利用基本不等式求解最值.通常是考虑利用条件消去局部变量后，凑出“和为常数”或“积为常数” ", .I 第二局部：知识点精准记忆1、基本不等式(一正，二定，三相等，特别注意“一正”，“三相等”这两类陷阱)如果Q>0, b>0, 而V-,当且仅当。=人时，等号成立.其中J法叫做正数。，人的几何平均数；与女叫做正数。，。的算数平均数.2、两个重要的不等式a2+b2>2ab(a,beR)当且仅当。=。时，等号成立.ab< ()2 (a,bwR)当且仅当。=人时，等号成立.3、利用基本不等式求最值x, y是正数，如果积犯等于定值p,那么当且仅当x=y时，和工+丁有最小值2户；q2x, y是正数，如果和1+y等于定值s,那么当且仅当尤=丁时，积盯有最大值？_；44、常用技巧利用基本不等式求最值的变形技巧一一凑、拆(分子次数高于分母次数)、除(分子次数低于分母次数) )、代(1的代入)、解(整体解).凑： 凑项，例：xH x ci F a 2 2 + q = 3(x > q)；x-ax-a凑系数，例：x(l-2x) = -2x(l-2x<-(2x + （2022江西高一阶段练习）当x>0时，尢+丁的最小值为（）2%A. 3B. 1C. 272D. 3722x(7 2 v ，2 I 2 J 8(2)拆：例：_ = " -4 + 4=工 +2 + = % 2 + + 4 3 24+ 4 = 8* >2)；x-2x-2x-2x-3'7除：例：= 77T<M%>o)；X HX1的代入：例：4>0/>0,+人=1,求工+工的最小值.a b立力 11/I1、/、 c ba、A角牛析： I (I)(a + Z?) = 2h1 24.ababab整体解：例：是正数，且ab = a + + 3,求。+的最小值.ab <>a+b+3即-（6Z + Z?）* 1 2 3-（6Z + Z?）-3>O ,解得A. 3B. 2C. 1D. 0a + b N 6（q + Z? 4 .第三局部：课前自我评估测试A.B. 5C.5D. 一24.（2022新疆乌苏市第一中学高一开学考试）以下函数，最小值为2的函数是（A.B.y %2 2x + 2C.y = x + 2« + 3D.炉+2第四局部：典型例题剖析高频考点一：利用基本不等式求最值凑配法1. （2022北京大兴高一期末）当。<%<2时，%（2-）的最大值为（A. 0A. 0B. 1C. 2D. 44 （1、2. （2022 山西怀仁市第一中学校二模（文）函数+x>-的最小值为（）3x -1 y3 ,A. 8B. 7C. 6D. 543. （2022 安徽省蚌埠第三中学高一开学考试）x>3,那么对于y = x + 以下说法正确的选项是（）x-3A. y有最大值7 B. y有最小值7 C. y有最小值4 D. y有最大值444. （2022江苏省天一中学高一期末）设实数x满足x>-l,那么函数y = x + 一；的最小值为（）x + A. 3B. 4C. 5D. 6（2022上海虹口高一期末）0vxv4,那么不（4-力的最大值为.“1”的代入法2 61. （2022河南夏邑第一高级中学高二期末（文）q 均为正数，假设一+ = 1,那么当3x+y取得最 x y小值时，工+>的值为（）A. 16B. 4C. 24D. 121 22. （2022安徽高三阶段练习（文）x>0, y>0, 2x+y = 2,那么一+ 一的最小值是（）x yA. 1B. 2C. 4D. 6（2022四川,泸县五中高二开学考试（文）工»为正实数，且x+> = 2,那么2 + ；的最小值为 x 2y3 1（2022广西桂林高一期末）假设3a + b = l,那么一 十 7的最小值是.a b（2022天津南开中学高一期末）。>。,>。，+ ； = 4 ,那么。+ 4的最小值为a b二次与二次（一次）商式1.（2。22全国高三专题练习（理）假设TX1那么尸三?有（）A.最大值-1B.最小值-1C.最大值1D.最小值1r2 3 r + 32. （2022全国高三专题练习）函数y =。<-1）的最大值为（）x+1A. 3B. 2C. 1D. -13.（2。22江西南昌高一期末）当”-2时，函数片三岁的最小值为4.4.（2022上海高三专题练习）假设x>l,那么函数y =x + 1的最小值为5.5.（2021 江西宁冈中学高一阶段练习（理）x-厂4x+7（xl）的最大值为（2022全国高三专题练习）求以下函数的最小值(1)x+ x +1 /y =(x>0)x/ 、 x + 2x + 6 / 八 y = F(x>l).条件等式求最值（2022陕西咸阳高二期末（文）x>0, y>09假设2x+y = 89，那么xy的最小值是（）A.正B.C-D. i4284（2022全国高三专题练习）。>0力>。，且"= Q + b + 3,那么Q + b的最小值为（）A. 4B. 8C. 7D. 6（2022江苏高三专题练习）>0, b>0且满足 +勖=",那么 + 2）的最小值为（）A. 4B. 6C. 8D. 10（2022安徽芜湖高一期末）正数x, y满足肛= x+），+ 8,贝产+）的最小值为1. （2022全国高三专题练习）>21>1,且满足劭= +勖+ 1,那么2a+b的最小值为（2022重庆高一期末）x>0, y>0, 2xy = x+y + 4,那么工+>的最小值为.2. （2022广东广州高一期末）q>0, b>0,且+6 =出?3,那么Q+b的最小值为.高频考点二：利用基本不等式求参数值或取值范围1. （2022 全国高三专题练习）当x>2时，不等式%十 一1之恒成立，那么实数。的取值范围是（）x-2A. （y,2B. 2,4-00）C. 4,+00）D. （-00,4（2022浙江高三专题练习）假设关于x的不等式/-6+ 2>0在区间L5上恒成立，那么。的取值范围为A.（2也+8）B.C(,3)D.27°°'丁3.A.10B. 12C. 16D. 94.（2022全国高三专题练习）x,e（0,+oo）,且x+y = l,假设不等式x?+ y2 +肛工根?恒成立,24那么实数用的取值范围是（A.)B.C.(-2,1) D.U(1,+GO)4 I m（2022全国高三专题练习）。0, b>。,假设不等式一+ 727恒成立，那么根的最大值为（ a b 4 +。9 Y5.（2。22全国高三专题练习）假设对任意7T恒成立,那么实数的取值范围是（A.A.T”)B. 3,+oo)C.D. (-ooj6.6.1 Q（2。22甘肃无高二期末（文）正实数满足一 +厂1,假设不等式a +匹一九2 +4x+18 2 对任意的实数X恒成立，那么实数2的取值范围是（A.A.3,+00)B.(一8,3C.-<x), 6D. 6,+oo)7.（2022全国高三专题练习）假设对任意x>0,< ax + 3x +1恒成立，那么实数Q的取值范围是（A.C.1 ,+oo5100 5B.D.(1 ,4-oo15f1co,5高频考点三：利用基本不等式解决实际问题1.（2022北京市十一学校高二期末）某公司要建造一个长方体状的无盖箱子，其容积为48m3,高为3m,如果箱底每Im2的造价为15元，箱壁每Im?造价为12元，那么箱子的最低总造价为（）A. 72 元300 元B. 512 元D. 816 元2. （2022河南开封高一期末）中国宋代的数学家秦九韶曾提出三斜求积术，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为b, C,三角形的面积S可由公式5 =小c）求得,其中为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足a + b = 14,。= 6,那么此三角形面积的最大值为（面积的最大值为（A. 6)B. 6MC. 12D. 12>/i0（2022江苏常州高一期末）2021年初，某地区甲、乙、丙三位经销商出售钢材的原价相同.受钢材进 价普遍上涨的影响，甲、乙计划分两次提价，丙计划一次提价.设。甲第一次提价%,第二次提 价9%;乙两次均提价岁;丙一次性提价（ + /%.各经销商提价计划实施后，钢材售价由高到低的经 销商依次为（）B.甲、乙、丙D.丙、甲、乙A.乙、甲、丙C.乙、丙、甲3. （2022全国,高三专题练习（文）林R,那么对任意。力£R, a1+及Nkab”是“k < 2的（A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件（2022河南模拟预测（理）一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金.一位顾客到店里购买10g黄金，售货员先将5g的祛码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5g的祛码放 在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客.假设顾客实际购得的黄金为，至，那么（）A. /?1>10B.m=10C. m<10D.以上都有可能（2022全国高一）如下图，将一矩形花坛ABCD扩建为一个更大的矩形花坛要求点3在AM 上，点。在AN上，且对角线过点C,AB = 4米，A3 = 3米，当BM =时，矩形花坛 的面积最小.NP月RM高频考点四：基本不等式等号不成立，优先对钩函数1. （2022重庆南开中学模拟预测）命题P：1 9于4 ,工2一批+ 4>0为真命题，那么实数。的取值范围是（A.a<4B.17a < 2C.3CL <3D.a>5A.a>0C. a>-2D.2.（2022浙江高三专题练习）假设不等式/+依+ 1之0对一切x/o，!恒成立，那么。的取值范围是（3.A.5B.2C. 1D.不存在44.（2022新疆石河子第二中学高二阶段练习）函数/（x） = x + ,g（x） x假设V% e，3x2 e2,3,使得xj,g（x2）,那么实数a的取值范围是（A.1 一,+oo2B.9 一,+oo2C. -3,+co)D. l,+oo)X2 +5 （2022全国高三专题练习）函数y =的最小值为（Jf+45.（2022 全国高二课时练习）函数/（力=/丁 在区间1，3上（ X X 1A.A.有最大值为以，最小值为0624B.有最大值为肃，最小值为0C.C.有最大值为以，无最小值624D.有最大值为?，无最小值91第五局部：高考真题感悟1.（2021 江苏高考真题）奇函数“X）是定义在R上的单调函数，假设正实数。”满足+4） = 0一、判断题1. （2022江西贵溪市实验中学高二期末）当x 时，sinx +士的最小值为4 （） 12sinx2. （2021江西贵溪市实验中学高二阶段练习）0<x<:，那么X。2耳的最大值为：（）28二、单项选择题92. （2022湖南湖南二模）函数 ） =%+万（%>-2）的最小值为（）3. （2022湖南,高一阶段练习）。0, b>0且24 + 5匕=10,那么必的最大值为（）