吉林大学考研真题量子力学（含答案）1993.docx
吉林大学1993年招收硕士研究生入学考试试题(含答案)考试科目：量子力学一 .设|力是粒子数算符N = a+a的本征函数，相应之本征值为h(> 0),算符6+和 应满足对易关系力5一击+ =1。证明：同)(其中21)和脑力也是"的本征函 数其相应的本征值分别为(-1)和("+ 1) O解：用粒子数算符后作用到a 上，即阳 )=a+ad 力=(cid+ -1)=aa+a 力-。=涧)_ 3 )= (" 1加7)上式表明囱8是弁的本征态，相应的本征值为( - 1)。同样，用粒子数算符介作用到石1"上，即Na+n) = a+aa+ nj = a+(a+a + ln = d+a+a n-a+ n)=6+启|)_6+ ) = ( +1)6+ nj上式表明/十 |力也是A的本征态，相应的本征值为( + 1)。二 .(类似2000年第二题)质量为机的粒子在一维势阱00.x<QV(x) = * -Vo，Q<x< a0,x> av中运动(匕>。)，若已知该粒子在此势阱中有一个能量石=一寸的状态，试确定此势 阱的宽度八v解：对于E =一寸°的情况，三个区域中的波函数分别为弘(X)= 0< 2(1)=AsinZx% (1) = B exp(- ax)其中,12m(E+V°).« a -在x = 处，利用波函数及其一阶导数连续的条件“2（。）=忆（。）得到Asin ka= 8e*(-M)Ak cos ka = -Ba exp (- aa)于是有此即能量满足的超越方程。行 lv当石=一匕时，由于1、 741、 74小71Vo7iis最后，得到势阱的宽度4川叫)三.(类似习题选讲5.7)设作一维自由运得粒子，=。时处于夕(X,0)= 7l(sin2 kx+ cos kx)态上，求，=0和，0时粒子动量与动能的平均值。解：由于动量算符与动能算符对易，它们有共同本征函数%(x)= £e*(ikx而=o时的波函数2 +(exp(iZ:x) + exp(-2 +(exp(iZ:x) + exp(-(x,0)= A(sin2 kx+coskxjA< 一 (exp(ikx) - exp(- ikxj)2i? 2 exp(i&x) + 2 exp(- ikx)-exp(i2 kx)+2- exp(- i2 &x)=-岳2/ 3 + l(p_k (x) - &(x) + 2%(。- 9.2A (x)归一化常数为动量的取值几率为W（p = ±2kfi） = . W（p = ±k力）='；W（p = O）=2动量的平均值为p = £pw（p）=op动能的平均值为2m pim因为，动量算符合动能算符皆与哈密顿算符对易，故它们都是守恒量，而守恒量的取 值几率和平均值不随时间改变，t>0时的结果与t = 0时完全一样。四.（见习题选讲6.3）对于类氢离子的任何一个本征态忆由（万，利用维里定理、T T费曼海尔曼定理计算不与产。解：已知类氢离子的能量本征值为z22(1)F - F -乙匕L 疝n - y ? 一 C o ，力2式中，万为玻尔半径。由维里定理知- 1 -T = -V（2）总能量Ze2 1(3)所以，得到1=_里=_£_A)r Ze- 生) =1,2,3,(4)类氢离子的哈密顿算符为h21 a2 /(/+i)力2 zf+2 r dr2r(5)将/视为参数，利用费曼海尔曼定理，得到8En sh r, 1力2 idl dl < 2 J / r2(6)由于,72 = ,.+/ + 1所以，(7)(8)(8)dEn dEn Z2e2dl dn 九 3 ao将其代入（6）式，有11 Z27"(/ + l/2>3711 Z27"(/ + l/2>37(9)五.（类似1996年第四题）设两个自旋为g粒子构成的体系，哈密顿量人人 人二 2H = Cs1 -s2f其中，C为常数,4与§2分别是粒子1和粒子2的自旋算符。已知 ，=0时，粒子1的自旋沿Z轴的负方向，粒子2的自旋沿Z轴的正方向，求，0时 测量粒子1的自旋处于Z轴负方向的几率。解：体系的哈密顿算符为选择耦合表象，由于5 = 0,1,故四个基底为|1) = |11), |2)= |1-1); |3) = |10), |4)=|00)在此基底之下，哈密顿算符是对角矩阵，即0 0 0、人 C 0 1 0 0 H =-h240 0 10,0 0 0 -3?可以直接写出它的解为昆=?力 2,帆 H"H+)石2 =5方2,同闫1闫一)*4)= |00)=1k 3c婷4=一7，己知7 = 0时，体系处于“(。)=|一+)=1V210)-100)因为哈密顿算符不显含时间，故，。时刻的波函数为( ( exp E3 10)-exp £4 00)tl-+)exp -：C切14)乙-+)exp -：C切14)乙,1(3i、+)Jexp Cfit14J粒子1处于Z轴负方向的几率为w邑2 =-，1 =+|一+|(才=w邑2 =-，1 =+|一+|(才=六.粒子在一维势场v(x)中运动，非简并能级为£：( = 1,2,3,)，如受到微扰八 A八叩二7)，的作用，求能量到二级修正，并与精确解比较。解：已知月0满足的本征方程为方。|鹿)=砌)人=_p可知P mn第攵个能级的一级修正为= wkk = pkk =0能量的二级修正为成2） = S nk22% （En Ek卜切与（Ek 后：卜女4 、1方 1%-22-球）x“*,/k利用H （成-其"rwk力22得到近似到二级的解为精确解可以利用坐标变换确定。体系的哈密顿算符为人2力噬+S瓦若令则哈密顿算符可以改写为故精确解为户="+4
