2022-2023学年人教A版选择性必修第三册 第七章 第3课时 离散型随机变量及其分布列 学案.docx
第3课时 离散型随机变量及其分布列课程要求1 ,了解离散型随机变量的概念，知道离散型随 机变量是样本空间到实数集上的一个映射， 分布列是描述离散型随机变量取值概率分布 的工具.2 .能用随机变量表示相关的事件，并解释其 意义，对于简单的随机试验，能合理地定义 随机变量并写出分布列，能根据概率的基本 性质表述分布列的性质.课程要求3 ,了解离散型随机变量的概念，知道离散型随 机变量是样本空间到实数集上的一个映射， 分布列是描述离散型随机变量取值概率分布 的工具.4 .能用随机变量表示相关的事件，并解释其 意义，对于简单的随机试验，能合理地定义 随机变量并写出分布列，能根据概率的基本 性质表述分布列的性质.素养要求1 .数学抽象：抽象出离散型随机变量及其分布 列的概念.2 .逻辑推理：由特殊到一般地得出分布列的 性质.3 .数学运算：能求简单离散型随机变量的分 布列.知识梳理1 .随机变量：一般地，对于随机试验样本空间Q中的每个样本点3,都有唯一的 实数X(3)与之对应，我们称X为 随机变量.2 .离散型随机变量：可能取值为 有限个 或可以 一一列举 的随机变量.3 .离散型随机变量及其分布列：一般地，设离散型随机变量X可能取值为xi，X2,， Xn,我们称X取每一个值Xi的概率P(X = Xi) = pi, i=l, 2,，n为X的 概率分布列， 简称分布列.以表格形式表示如下.XXIX2 Xi XnPPiP2 Pi Pn4 .离散型随机变量的分布列具有如下性质：(1) pi2O, i=l, 2,，n ；(2) p|+p2-lhpn= 1 .(5) 点分布：如果随机变量X的概率分布列为X01p1pp其中0<p<l,则称随机变量X服从 两点分布 或01分布0预习自测1 .将一枚质地均匀的骰子连续抛掷两次，则可以作为随机变量的是(C)A.第一次出现的点数B.第二次出现的点数C.两次出现的点数之和D.两次出现相同点的种数2 .下列随机变量中，不是离散型随机变量的是(B)A.某无线寻呼台1分钟内接到的寻呼次数XB.某人每天早晨在某公交汽车站等7路车的时间TC.从装有1红、3黄共4个球的口袋中，取出2个球，其中黄球的个数YD.将一个骰子连续抛掷3次，3次出现的点数和Z3 . 一个袋子中有除颜色外其他都相同的红、黄、绿、白四种小球各若干个，一次倒出3个小球，下列变量是离散型随机变量的是（D）A.小球滚出的最大距离B.倒出小球所需的时间C.倒出的3个小球的质量之和D.倒出的3个小球的颜色的种数解析：对于A,小球滚出的最大距离不是离散型随机变量，因为滚出的最大距离不能 列出；对于B,倒出小球所需的时间不是离散型随机变量，因为所需的时间不能一一列 出；对于C, 3个小球的质量之和是一个定值，不是随机变量；对于D,倒出的3个小球的 颜色的种数可以一一列出，是离散型随机变量.是(B)A. 5C. 9解析:4 .盒中有大小相同的4个乒乓球，分别标有1, 2, 3, 4四个号码，现在在有放回抽取 的条件下依次取出两个球，设两个球的号码之和为随机变量X,则X所有可能取值的个数B. 7D. 16X的可能取值是2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,共7个.5.设某试验成功率是失败率的2倍，用随机变量占去描述一次试验的成功次数，则P化 =0）等于（C）A. 0 B.t乙C.t D.t解析：由题意知自=0表示试验失败，自=1表示试验成功，设失败率为p,则成功率为 2p,自的分布列如下.2p由p+2P=1可得p=：,所以P©=0)=1.探究点，离散型随机变量的判断/1 例1】 下列变量是离散型随机变量的是.下期某闯关节目中过关的人数；某加工厂加工的一批钢管的外径与规定的外径尺寸之差；在郑州至武汉的电气化铁道线上，每隔50 m有一电线铁塔，从郑州至武汉的电气化 铁道线上将电线铁塔进行编号，其中某一电线铁塔的编号；江西九江市长江水位监测站所测水位在（0, 29这一范围内变化，该水位站所测水位.分析：在一次随机试验中，随机变量的取值实质上是随机试验的结果所对应的数，且 这个数所有可能的取值可以列出，则是随机变量.解析：是离散型随机变量.因为过关人数可以一一列出.不是离散型随机变量.因为实际测量值与规定值之间的差值无法列出.是离散型随机变量.因为电线铁塔为有限个，其编号可以一一列出.不是离散型随机变量.因为水位在（0, 29这一范围内变化，对水位值不能按一定次序 一出.答案：【规律方法】“三步法”判定离散型随机变量(1)依据具体情境分析变量是否为随机变量.(2)由条件求解随机变量的值域.(3)判断变量的取值是否为有限个或能否一一列举出来.若能，则是离散型随机变量； 否则，不是离散型随机变量.【变式训练1某座大桥一天经过的某品牌轿车的辆数；某网站中某歌曲一天内被点击的次数；射手对目标进行射击，击中目标得1分，未击中目标得。分，该射手在一次射击中的 得分.其中，是离散型随机变量的是(A)A.B.C.D.解析：某座大桥一天经过的某品牌轿车的辆数可以一一列出；某网站中某歌曲一 天内被点击的次数可以列出；射手对目标进行射击，击中目标得1分，未击中目标得 0分，该射手在一次射击中的得分可以一一列出.探究点，2离散型随机变量的取值例2写出下列随机变量可能的取值，并说明这些值所表示的随机试验的结果.(1)袋中有大小相同的红球10个、白球5个，从袋中每次任取1个球，取后不放回，直 到取出的球是白球为止，所需要的取球次数；(2)从标有数字1, 2, 3, 4, 5, 6的6张卡片中任取2张，所取卡片上的数字之和.分析：(1)中摸到白球时，取球所需的次数可以是多少次？(2)中两张卡片的数字之和有 哪些取值？解析：(1)设所需要的取球次数为X,则X=l, 2, 3, 4,，10, 11, X = i表示前i 一1次取到的均是红球，第i次取到白球，这里i=l, 2, 3, 4,，11.(2)设所取卡片上的数字之和为X,则X=3, 4, 5,，11.X = 3表示取出标有1, X=4表示取出标有1, X=5表示取出标有2, X=6表示取出标有2, X=7表示取出标有3, X = 8表示取出标有2, X=9表示取出标有3,2的两张卡片；3的两张卡片；3或1,4或1,4或2,6或3,6或4,4的两张卡片；5的两张卡片；5或1, 6的两张卡片；5的两张卡片；5的两张卡片；X=10表示取出标有4, 6的两张卡片；X=ll表示取出标有5, 6的两张卡片.【规律方法】解答此类问题的关键在于明确随机变量的所有可能的取值，以及取每一个值时对应的意 义，即一个随机变量的取值可能对应一个或多个随机试验的结果，解答过程中不要漏掉某些 试验结果.【变式训练2 写出下列随机变量可能的取值，并说明随机变量所取的值表示的随机 试验的结果.某学生从学校回家要经过3个红绿灯路口，他可能遇到红灯的次数& ； 从含有10件次品的100件产品中任取4件，取到次品的件数X.解析：（1光可能的取值为0, 1, 2, 3,1=0表示遇到红灯的次数为0;1=1表示遇到红灯的次数为1;1=2表示遇到红灯的次数为2;1=3表示遇到红灯的次数为3.（2）X可能的取值为0, 1, 2, 3, 4.X=0表示取到。件次品；X=1表示取到1件次品；X=2表示取到2件次品；X = 3表示取到3件次品；X=4表示取到4件次品.探究点，离散型随机变量的分布列【例31 从装有除颜色外完全相同的6个白球、4个黑球和2个黄球的箱中随机地取 出两个球，规定每取出1个黑球赢2元，而每取出1个白球输1元，取出黄球无输赢.（1）以X表示赢得的钱数，求X的分布列；（2）求出赢钱（即X>0时）的概率.分析：找出每一个结果及其对应的变量取值，然后求出相应的概率，从而得到随机变 量的概率分布列.解析：（1）依题意，当取到2个白球时，随机变量X=-2;当取到1个白球，1个黄球时，随机变量X= - l;当取到2个黄球时, 当取到1个白球，1 当取到1个黑球，1 当取到2个黑球时,当取到2个黄球时, 当取到1个白球，1 当取到1个黑球，1 当取到2个黑球时,随机变量x=o；个黑球时，随机变量X=l; 个黄球时，随机变量X = 2; 随机变量X=4.1, 2, 4.所以随机变量X的可能取值为-2, -1, 0,冕 5C© 2P（x=-2）y，p（x= 1）工=4P(X=0)=总 P(X=1) =P(X=0)=总 P(X=1) =c?2 -irc Clci 4P(X=2)=_C?T=33> 所以X的分布列为c Clci 4P(X=2)=_C?T=33> 所以X的分布列为- Cl 1P(X=4)=yy,4 . 119X-210124D521441r2211661133114(2)P(X>0) = P(X = 1) + P(X = 2)+P(X=4) =4 33 , n 33,19所以赢钱的概率为能 【规律方法】求离散型随机变量的分布列的步骤找出随机变量X的所有可能的取值Xi(i=l, 2,，n),并确定X = Xi的意义；借助概率知识求出随机变量X取每一个值时的概率P(X = Xi) = pi(i=l, 2,n)；(3)列成表格的形式.【变式训练3】 设随机变量X的分布列P(X=1) = ak(k=l, 2, 3, 4, 5).求：常数a的值；(2)P(X2|)； 17 P(正<x<m).解析：由题意，得随机变量X的分布列为X1 52535451Pa2a3a4a5a由分布列的性质得a+2a+3a+4a+5a=1, 解得a=T7.JL334345 4（2）（方法一）P（X2m = P（X=5）+P（X=m+P（X=l）=有+百+百=亍（方法二） 32124P（X与）=1 P（X w尸一廿石尸亍171 2 3G）因为15Vx<15，所以x=i予:17123123 2所以 p（IU<x<TU）=p（x=5）+p（x=5）+p（x=;）=I+m+*=/i.在求离散型随机变量的分布列之前，耍弄清楚随机变量可能取的每一个值，以及取 每一个值时所表示的意义.另外，需要求出随机变量取每个值时相应的概率.2 .求离散型随机变量的概率分布列的步骤：(1)求出随机变量的所有可能取值；(2)求出各取值的概率；(3)列成表格.3 .注意用分布列的性质pi+p2HFpiH = 1进行验证.
