2022-2023学年人教A版选择性必修第三册 7.3.1　离散型随机变量的均值 学案.docx

7. 3离散型随机变量的数字特征离散型随机变量的均值新课程标准新学法解读1 .理解离散型随机变量的均值的意义和性质.2 .掌握两点分布、二项分布、超几何分布 的均值.1 .会根据离散型随机变量的分布列求出均值.2 .会利用离散型随机变量的均值解决一些 相关的实际问题.课前篇相主学习固基础笔记教材知识点1均值或数学期望一般地，如果离散型随机变量X的分布列如下表所示.XX© PPiP2 Pn则称 为离散型随机变量X的均值或 数学期望(简称为期望).均值是随机变量可能取值关于取值概率的加 权平均数，它综合了随机变量的取值和取值的概率，反映了随机变量说明：(1)均值E(X)刻画的是X取值的“中心位置”，这是随机 变量X的一个重要特征，它反映或刻画的是随机变量取值的平均水 平.由定义可知离散型随机变量的均值与它的本身有相同的单位.(2)随机变量的均值与样本平均值的关系：随机变量的均值是一个常数，它不依赖于样本的抽取，而样本的 第一关需要回答三个问题，其中前两个问题回答正确各得10分，回 答不正确各得()分，第三个问题回答正确得2()分，回答不正确得一 10分.若一个挑战者回答前两题正确的概率都是0.8,回答第三题正 确的概率为0.6,且各题回答正确与否相互之间没有影响.(1)求这位挑战者回答这三个问题的总得分J的分布列和均值；(2)求这位挑战者总得分不为负分(即乙20)的概率.解：(1)若三个问题均答错，则得 0+0+(10)= - 10(分).若三个问题均答对，则得10+10+20=40(分).若三个问题的回答一对两错，包括两种情况：前两个问题的回答一对一错，第三个问题答错，得 10+0+( 10)=0(分)；前两个问题答错，第三个问题答对，得 0+0+20=20(分).若三个问题的回答两对一错，也包括两种情况：前两个问题答对，第三个问题答错，得 10+10+(10)=10(分)；第三个问题答对，前两个问题的回答一对一错，得 20+10+0=30(分).故。的所有可能取值为- 10,0,10,20,30,40.P= - 10)=0.2 X 0.2 X 0.4=0.016,P(A 0)=ClX0.8X 0.2 X 0.4=0.128,P= 10)=0.8 X 0.8 X 0.4=0.256,%=20)=0.2 X 0.2 X 0.6=0.024,P&= 30)=Cl X 0.8 X 0.2 X 0.6=0.192,产(。=40)=0.8 X 0.8 X 0.6=0.384.所以j的分布列为g-10010203040P0.0160.1280.2560.0240.1920.384q 的均值 E(a=-10X0.016+0X0.128+10X0.256 + 20X0.024+ 30 X 0.192+40 X 0.384=24(分).(2)这位挑战者总得分不为负分的概率为P20)= 1 -P(c<0)= 1 -0.016=0.984.课后篇基础达标延伸阅读1. （2021陕西榆林高二月考）如果随机变量X表示抛掷一个六个 面上分别有123,4,5,6的均匀正方体后向上面上的数字，那么随机变 量X的均值为（）A. 2.5 B. 8.3C. 3.5 D. 4答案：C 解析：因为抛掷均匀的正方体每个数字出现在向上面 的概率均为t，所以随机变量X的均值为：E（X）=1（l+2+3+4+5+6） = 3.5,故选C.2.（多选题）一盒中有8个乒乓球，其中6个未使用过，2个已使 用过.现从盒子中任取3个球来用，用完后再装回盒中.记盒中已使 用过的球的个数为X,则下列结论正确的是（）X的所有可能取值是3,4,5A. X最有可能的取值是5X等于3的概率为充Zo17X的数学期望是§答案：ACD 解析：记未使用过的乒乓球为A,已使用过的为B, 任取3个球的所有可能是：1A2氏2A1B,3A.A使用后成为' 故X的所有可能取值是3,4,5.P(X=3) =_6_=J_56-28,P(X=4) =3056'P(X=5) =2056,故X最有可能的取值是4, 3 .30 ,20 17£W = 3X28+4X56+5X56=T故X最有可能的取值是4, 3 .30 ,20 17£W = 3X28+4X56+5X56=T故选ACD.3. (2021浙江丽水高二检测)若尸(X=0)=lp, P(X=l)=p,则石(2X3)=.答案：2P3解析：由题意得：E(X)=p,：.E(2X-3) = 2E(X) - 3 = 2p3.4 .设离散型随机变量X的分布列为P(X=A)=C§oom|oo-” =0,1,2, , 300),则 £(%)=.答案：100解析：由P(X=Z)=C§oo.部眇吁可知X3。0, I,.E(X) = 300x1=100.5 . (2021 江苏无锡高二月考)设X是一个离散型随机变量，其分 布列为：X123P1 2iqq一片则X的数学期望为.答案：1+乎 解析：由;+1q+g炉=1,E(X)=+2 -2+3-32=+t7-32=5 /2_3 ，十 2 2课后自读方案误区警示随机变量的意义理解不清致误示例已知5只动物中有1只患有某种疾病，需要通过化验血液 来确定患病的动物.血液化验结果呈阳性的即为患病动物，呈阴性的 即没患病.下面是两种化验方案：方案甲：逐个化验，直到能确定患病动物为止.方案乙：先任取3只，将它们的血液混在一起化验.若结果呈阳 性则表明患病动物为这3只中的1只，然后再逐个化验，直到能确定 患病动物为止；若结果呈阴性则在另外2只中任取1只化验.(1)求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概 率；(2)若表示依方案乙所需化验次数，求。的期望.错解(1)设方案甲所需化验次数为小则/的所有可能值为 123,4,5.根据方案甲，患有疾病的1只动物在每一次化验时出现的概率是等可能的，由前面分析知，其分布列为:n12345p0.20.20.20.20.2错因分析没有理解随机变量的意义.结合题意考虑，逐个化验, 直到确定患病动物为止，最多化验次数为4.正解(1)设片，弱分别表示依方案甲和依方案乙需化验的次数, P表示对应的概率，则方案甲中占的分布列为方案乙中。2的分布列为1234P1.54 15X4=1一54 3 15X4X3=1一54 3 2 5X4X3_2=56123P0Ua=3 ciX3+cj 5Cix2_2(3X3-5若甲化验次数不少于乙化验次数，则P= P© = 1) x P(蚤=1)+=2) X 尸(御=1) + P©=2) + P© = 3) X P(& = 1)+P(&=2) + P(&=3) + P(。产4)1 (3 i (3 2、 2=0+X 0+ +x 0+涂=0.72.4J37 12 E)=1 X0+2X-+3X-=2.4.wZJ方法总结在解决有关分布列问题时，求随机变量的分布列之 前，要弄清楚随机变量可能取到的每一个值以及取每一个值时所表示 的意义，然后再利用所学的概率知识求出随机变量取每一个值时的概 率，从而求出分布列.在写出分布列后，还要检验所有的概率之和是 否为1.解题时要注意正确求出C的分布列.平均值是一个随机变量，它随样本的抽取的不同而变化.对于简单随 机抽样，随着样本容量的增加，样本平均值越来越接近于总体的均 值.随机变量X的均值反映了离散型随机变量的平均水平.答案：E(X)=XP+x2P2卜取值的平均水平/=1知识点2两点分布、二项分布及超几何分布的均值(1)若随机变量X服从参数为P的两点分布，则£<(%)=.(2)若X服从参数为，p的二项分布，即XB(n, p),则E(X)(3)若X服从参数为N, n, M的超几何分布，即XH(n, M, TV),则 £(%)=.答案：(1)/7 (2)p R重点理解1 .随机变量的均值公式与加权平均数的联系随机变量的均值即随机变量的数学期望.假设随机试验进行了 n 次，根据X的概率分布，在次试验中，为出现了次，处出现了P2次，X”出现了 p储次，故在，2次试验中，X出现的总次数为 pnx +pnx2-因此n次试验中，X出现的平均值等于+2心2 Hbp 心n= E(X).故 E(X)=pX +piX2-bp,也.2 .离散型随机变量的均值的性质若x, 丫是两个随机变量，且y=ax+，则有E(y)=oE(x)+， 即随机变量x的线性函数的均值等于这个随机变量的均值a%)的同 一线性函数.特别地：(1)当。=0时-，E=b,即常数的均值就是这个常数本身.(2)当 =1时，E(X+b) = E(X)+bf即随机变量X与常数之和的 均值等于X的均值与这个常数的和.(3)当b=0时，E(aX)=aE(X),即常数与随机变量的乘积的均值 等于这个常数与随机变量的均值的乘积.自我排查1. (2021新疆巴楚高二月考)设随机变量X的分布列如表，则£(%) 等于()A.1.5 B. 2.5X123P0.60.30.1C. 2 D. 3答案：A 解析：依题意 £(X)=1XO.6+2XO.3 + 3XO.1 = 1.5.故 选A.2. (2021山西长治高二期中)已知X8(10,0.5), y=2X-8,则 石(均=()A. 6 B. 2C. 4 D. 3答案：B 解析：由题意，随机变量X仇10,0.5),可得石(X)=10X0.5 = 5.因为 y=2X8,可得 £(r)= 2E(X) 8 = 2X5 8 = 2.故选B.3. (2020.浙江卷)盒中有4个球，其中1个红球，1个绿球，2个 黄球.从盒中随机取球，每次取1个，不放回，直到取出红球为止.设 此过程中取到黄球的个数为3则尸仁=。)=，仇。=答案：;1解析：因为4=0对应事件为第一次拿红球或第一 次拿绿球，第二次拿红球，所以 P(f=0)=1+|x|=1.随机变量4=0,2,2 1,2111211 =1）=4 2 q 22 故 E（a=OX+1 X-+2X= 1JA1 课堂篇重点难点要突破 研习1求离散型随机变量的均值 典例1在甲、乙等6个单位参加的一次“唱读讲传”演出活 动中，每个单位的节目集中安排在一起.若采用抽签的方式随机确定 各单位的演出顺序（序号为1,2,，6）,求： （1）甲、乙两单位的演出序号至少有一个为奇数的概率； （2）甲、乙两单位之间的演出单位个数的分布列与均值. 思路点拨：（1）可先求“甲乙两单位的演出序号至少有一个为奇3+4X3X2+4X3X2 = r I I 1p（e=2）=1-3=3,所以 E（a=0x|+lx|+2x|=l.故答案为:；1.4. （2021.北京101中学高二期末）甲、乙两人对同一目标各射击 24一次，甲命中的概率为余 乙命中的概率为与，且他们的结果互不影 响.若命中目标的人数为。则反。=.22答案：77解析：由题意易知，4的可能取值为0,12 JL若则pjx"总若 0=1,则2=1乂5+3/5=正=于2 4 8若。=2,P=X-=,数”的对立事件的概率；(2)先求出的取值及每个取值的概率，然后求其分布列和均值.解：只考虑甲、乙两单位的相对位置，故可用组合计算基本事件 数.(1)设A表示“甲、乙的演出序号至少有一个为奇数”，则了表示“甲、乙的演出序号均为偶数”， 由等可能性事件的概率计算公式得C彳P(A)=lP(A)=l-3 4=1一(2-的所有可能取值为0,123,4,且尸(0=0)=既=§,44尸族=1?31。(。=2)=&=亍22%=3)=底=正P(E=4)=七从而知j的分布列为001234P1412131551515一一141214所以 £1)=()义彳 + 1 X+2X-7+3X+4X=-巧归纳(一)求离散型随机变量4的均值的步骤(1)根据4的实际意义，写出的全部取值.(2)求出4的每个值的概率.(3)写出小的分布列.(4)利用定义求出均值(数学期望).(二)常见的三种分布的均值.设p为一次试验中成功的概率，则(1)两点分布石(X)=p；(2)二项分布仇1 .超几何分布E(X)=半，其中XH(，M, N).熟练应用上述公式可大大减少运算量，提高解题速度.练习1某运动员投篮命中率为p=0.6,则投篮1次时命中次数X的数学期望为；重复5次投篮时，命中次数丫的数学期望为.答案：0.63解析：投篮1次，命中次数X的分布列如 下表：X01P0.40.6则 E(X)=0.6.由题意，重复5次投篮，命中的次数y服从二项分布，即y 5(5,0.6),则 £(r)= p=5X0.6 = 3.研习2离散型随机变量的均值的性质典例2已知随机变量X的分布列为：X-2-10121111P435m20则 E(X)=.17答案：一行解析：由随机变量分布列的性质,得+1+弓+团+疝=1，解得m=1,.,.£(X) = (-2)x1+(-1)x1+0X+1x1+2X7=-. tJJUJI/变式i本例条件不变，若y=2x-3,求E(y).解:方法一：由公式EmX+b)=oE(X)+b及典例2的结论得君(V)(62= E(2X-3)=2E(X)-3 = 2Xl-1-3 = 方法二：由于y=2X3,所以丫的分布列如下:Y-7-5P141 3-3-1151 6120.E(y)= (-7)x|+(-5)x|+(-3)x|+(-l)x1+lX=- 62T?变式2本例条件不变，若戊+3,且后©=* 求。的 值.解：E© = E(X+3)=qE(X) + 3=一记。+3=一彳，.。=15.J U乙巧归纳与离散型随机变量的性质有关问题的解题思路若给出的随机变量j与X的关系为4=aX+，m 为常数.一 般思路是先求出E(X),再利用公式E(X+勿=aE(X)+b求a也 可以利用X的分布列得到4的分布列,关键由X的取值计算c的取值, 对应的概率相等，再由定义法求得£1(0.练习2已知随机变量。和，7，其中 =12。+7,且风)=34, 若的分布列如下表，则m的值为()1-8 D1-6c之1234P1 4mn1n1-8 D1-6c答案：A 解析：因为 =12。+7,则凤)=12君(J+7, 即 £(/;)= 121 x1+2m+3«+4X+7 = 34.所以2"?+3=0.112又+m+五=1,所以?+=,由可解得m=1. J J研习3离散型随机变量的均值的实际应用典例3随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中一等 品126件，二等品50件，三等品20件，次品4件.已知生产1件一、 二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品 亏损2万元，设1件产品的利润(单位：元)为X.(1)求X的分布列；(2)求1件产品的平均利润(即X的数学期望)；(3)经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1%, 一 等品率提高为70%,如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73 万元，则三等品率最多是多少？思路点拨:根据利润的意义 写出X的取值f写出X的分布列求出数学期望E(X)利用期望 回答问题解：(1)X的所有可能取值有6,2,1, -2.P(X= 6)=200=0.63,P(X=2)=加=0.25, 20P(X=1)=砺=0.1,4P(X=-2)=255=0.02.故X的分布列为X621-2P0.630.250.10.02(2)E(X)=6X0.63 + 2X 0.25 +lX0.1+(-2)X 0.02=4.34.(3)设技术革新后的三等品率为x,则此时1件产品的平均利润为 E(X) = 6X0.7 + 2X(l -0.7-0.01 -x)+ 1 Xx + (-2)X0.01 =4.76 x(0WxW0.29).依题意，E(X)24.73,即4.76次24.73,解得 xW0.03,所以三等品率最多为3%.巧归纳2 .实际问题中的期望问题均值在实际生活中有着广泛的应用，如对体育比赛的成绩预测、 消费预测、工程方案的预测、产品合格率的预测、投资收益的预测等 方面，都可以通过随机变量的期望来进行估计.3 .概率模型的三个解答步骤(1)审题，确定实际问题是哪一种概率模型，可能用到的事件类 型，所用的公式有哪些.(2)确定随机变量的分布列，计算随机变量的期望.(3)对照实际意义，回答概率、均值等所表示的结论.练习3 (2021湖南衡阳高二期末)某电视台某节目的挑战者闯