专题15等式性质与不等式性质（解析版）.docx

专题15等式性质与不等式性质【知识点梳理】知识点一、符号法则与比较大小实数的符号：任意xeR,则x>0 （x为正数）、x = 0或x<0 （尤为负数）三种情况有且只有一种成立.两实数的加、乘运算结果的符号具有以下符号性质：两个同号实数相加，和的符号不变符号语言：a>0,b>0=>a + b>0 ；a <0,b<0 =>a + b<0两个同号实数相乘，积是正数符号语言：a > 0,b >。= ab > 6 ；a<O,b<O=>ab>（）两个异号实数相乘，积是负数符号语言：a>0,b<0=>ab<0任何实数的平方为非负数，0的平方为0符号语言：xe R=>x2 >0 , x = 0<=>x2 = 0.比较两个实数大小的法则：对任意两个实数、ba-匕>Ooa>b ； a-/?vOoa<b； = Ooa = b.对于任意实数。、b » a>b , a = b , a三种关系有且只有一种成立.知识点诠释：这三个式子实质是运用实数运算来比较两个实数的大小关系.它是本章的基础，也是证明 不等式与解不等式的主要依据.知识点二、不等式的性质对于B、C：因为所以a + l>0.b b+ b(a + )-a(b + ) h-ah b+1所以-=-T-=-<o.所以2<丝:.故B正确，c错误;a a+ a(a + l) aa-a a + 对D：因为所以，一!=?<0,所以故 D正确. a b aba b故选：BD（多选题）6. （2022江苏镇江高一期末）对于实数，b, J 正确的命题是（）B.若则D.若心>0, cO,则痣B.若则D.若心>0, cO,则痣A.若“，则. + " 2C.若一>:，则。>0, <。 a b【答案】ABD 【解析】 【分析】 利用作差法，作商法和特值法依次判断选项即可.【详田,h a mX. ,a + b a-b 八 a + b . a-b 八对这项A,因为a>，所以。=>0 ,b =>0,2222所以>b,故A正确;对选项 B, a>b>0 ,> 1,所以y/ab 4b因为=所以，> ，即a >,故B正确;b yJb对选项C,令a = 2, b = 3 ,满足，>1，不满足a>0, /><O. a b对选项D,因为a>Z?>0, c>0 ,a a + c a(b + c-b(a + c c(a-b)八所以工一;一=1- = 77； >0,故 D 正确.b b + cb(b + c)b(b + c)故选：ABD7. (2022,江苏高一)已知夕=/一| , Q = 2x2-x ,则/ Q .(填“”或"v”)【答案】v【解析】【分析】作差判断正负即可比较.【详解】因为P_Q =r _ 1 (2厂xj = x + x 1 = x <0> 所以PQ.<2) 4故答案为：<.8. (2022江苏高一)(1)比较3/-又+1与+x-l的大小;(2)已知。>a>Z?>0,求证：。. c-a c-b【答案】(1) 3x2-x+>2+x-li(2)证明见解析.【解析】【分析】(1)求差法进行大小比较即可：(2)求差法去证明即可解决.【详解】(1)由(3/-x+1)-(2/ +x-1) = x2-2x+2 =(x-l)2 + l >0 .可得 3/-工+1>2/+4-1 .a b a(c-b)-b(c-a) (a-b)cc-a c-b (c-a)(c-Z?)(c-a)(c-b)c>a>b>0,c-a>0, c-h>0,.(i)J >0b) * c-a c-h'9. (2022,全国高一课前预习)已知：、bwR： 且# b,比较与的大小.【答案】a,bh>ahba【解析】【分析】两指数式比较大小，由指数式采用作商法，经讨论和1比较大小.【详解】。、bwR ，/沙>0, abba>0作商：察=分命=a6"=铲(*)若公办>0,则.1, a-b>0,(令>1,若公办>0,则.1, a-b>0,(令>1,此时成立;(2)若 b>a>0,则 0 < £ < 1, a-b<()，(令> 1 ,此时 aahb > abha 成立.10-(2。22黑龙江哈师大附中高一阶段练习)已知,<。，试比较霁与合的大小.【答案】a2 +b2 a + ba1 -b a-b【解析】【分析】利用两个数都大于0,直接利用作商比较其大小即可. 【详解】Qa<b<0, :.a-b<(), a2 > b2,a + b<0,ab>()a2 + b2>0,a + b 八>0，a-b两数作商a2 +b2 a + ba2 +b2 a-b+x-b a-b (a + b)(a-h) a + ba' +b22ab127i < »a" +b'a2 +b2 a + b2 /v-r a-lr a-b题型三：利用不等式的性质判断命题真假1. (2022江苏高一)若a,b,c,dsR,则下列说法正确的是()A.若 a > b , od,则 仇/B.若 a > b ,则C.若a>b,则D.若ab<0,则 a b【答案】C【解析】【分析】对于AB,举例判断，对于CD,利用不等式的性质判断【详解】对于 A,若a = 2/= l,c = - 1, = -2 ,则ac = d = -2,所以 A 错误，对于B,若c=(),贝ijac?=加=o,所以B错误，对于C,因为>/?,所以由不等式的性质可得a-c>-c,所以C正确，对于D,因为。<人<0,所以必>0,所以£<二，即所以D错误, ab ab b a故选：c2. （2022四川省峨眉第二中学校高一期中（理）若一<工<0,则下列不等式正确的是（）a bA.>|目B. a <bC.D. a + b<ab【答案】D【解析】【分析】根据不等式的性质判断.【详解】，V、<0<同，A 错，B 错；2一少咱吟诗。错；a+b<0<ab, D 正确.故选：D.3. （2022江苏高一）如果av匕<0,那么下面不等式一定成立的是（）A. a-b>0B. ac<beC. a2 >b2D. <7a b【答案】C【解析】【分析】根据不等式的性质依次判断即可.【详解】若 a<b<0,则。一 <0,故 A 错误；若 a<b<0, c<0 ,则故 B 错误；若则 a?/?，故C正确；若a<b<0,则故D错误. a b故选：C.4. （2022广东普宁市华侨中学高一期中）若a>b,则下列不等式成立的是（）a-b>（）B. -<7C. 网D. a2 > b2ah【答案】A【解析】【分析】根据不等式的性质对选项逐一分析【详解】对于A, a>h=>a-b>0,故A正确C, D均不成立，可举反例，取。=1, b = -2故选：A（2022江苏高一）十六世纪中叶，英国数学家雷科德在砺智石一书中首先把作为等号使用，后 来英国数学家哈利奥特首次使用和符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响 深远，若a, b, ceR,则下列用不等号表示的真命题是（）A.。工0且则一B.若则/ a bC.若 a > b > U ,则D.若 ccbva , ac < 0 ,则【答案】C【解析】【分析】根据不等式的性质逐一判断即可.【详解】对于A,当。=-2力=1,不等式不成立，故错误；对于B,取 =/=!<，故错误；28对于C,因为。>人>0,所以ab+a>ab+b,即。出+ 1） >伙 + 1）,两边同时除以。（。+1）得空>2 ,故正确：对丁 D,当。=0,不等式不成立，故错误.故选：C.5. （2022广东珠海高一期末）对于任意实数a,"c,"，给定下列命题正确的是（）A.若 a > b, Il'iJ ac > heB.若 a>b,c>d , |lij a-c>b-dC.若 ac2 > be* 则D.若 a < b,则a b【答案】C【解析】【分析】利用特殊值判断A、B、D,根据不等式的性质证明C；【详解】解：对于A：当c=0时，若则农=历=0,故A错误；对于 B：若 =0, b = -, c = -l , d = -10 ,满足,则a-c = l, b-d = 9, a-c>b-d 不成立, 故B错误；对于C：若ac? >bc,则>0，所以，故C正确；对于D：若。=一1,8=1满足。<，但是一<二，故D错误； a b故选：C（多选题）7. （2022江苏高一）已知"，"，c满足且acvO,则下列选项一定成立的是（）八 c b八 b - a 仆厂 b， a?a-c A. -<-B. >0C.<D. <0a acc cac【答案】ABD【解析】【分析】分析的符号，由不等式的基本性质对选项逐一判断【详解】c<b<a,且ac v0,可得c<0,。> 0r I）对于A, c<b,a>0,故一<一，A正确a ah a对于B, b<a,c<0,故 >0, B正确c对于C, 的符号不确定，无法比较，故C错误对于D, c<a,a>0,c<0,故已<（）, D正确ac故选：ABD（多选题）8. （2022江苏南通高一期末）设。>0>0>c,则（）A. ac > beB. c-a<c-b C. ab > c2D. ac > b'c【答案】BD【解析】【分析】根据不等式的性质或反例可得正确的选项.【详解】因为a>Z?>O>c, ac<be,故 A 错误，而-a v-b ,故c-a<c-b,故 B 正确.1 1c c又一工，故一工即故D正确.a ba b取。=人=2,。= -3,此时 a>Z?>O>c, （H ab < c2» 故 C 错误.故选：BD.（多选题）9. （2022江苏无锡市第一中学高一期末）若a, h, c£R,且心山则下列不等式一定成立的是（）B. ac2>bc2A. a+c>b+cD. (a+b)(a-b)>0D. (a+b)(a-b)>0C. >0 a-b【答案】AB【解析】【分析】根据已知条件，结合不等式的性质，以及特殊值法，逐一判断作答.【详解】对于 A,因b, c£R, a>b,则 ”+c>b+c, A 正确：对于 B，c2>0, a>b,则 actbc2, B 正确：2对于C,当c=0时，=0, C不正确； a-b对于 D,当 o=D b=-,满足 a>b,但(a+b)(a-b)=0, D 不正确.故选：AB10. (2022江苏高一)对于实数a, A c判断以下命题的真假(1)若 a >)，则 ac V Z?c ；()(2 )若 ad > bc，则 a > ) ；()(3)若 a < < 0,则 a? > " > /；()(4)若则同>四；()(5)若则a>00v。.()a b【答案】 假命题真命题真命题真命题真命题【解析】【分析】根据不等式的基本性质和实数的性质，逐个推理运算，即可求解.【详解】(1)中，因为。的符号不定，所以无法判定的和尻的大小，故原命题为假命题；(2)中，因为4c2>c、2,所以cwO,可得/>0,故原命题为真命题；a<b, a<b _(3)中，因为_ ,所以/工而，又因为_ ,所以他>尸，a<0Z?<0综合可得/>面>片，故原命题为真命题.(4)中，根据实数的性质，两个负实数，绝对值大的反而小，故原命题为真命题.(5)中，因为>且，>:,所以一>0且，一>0, a ba bb 一 0所以力一a<0且一；一>(),可得力<0, ab又因为>，所以a>0力<0,故原命题为真命题.题型四：利用不等式的性质证明不等式I. (2022湖南高一课时练习)证明不等式：(1)若 a v。v 0, c v d < 0,则 ac > Z?d ；(2)若a>b>0, c> J >0,则crc>b2d .【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析;【解析】【分析】(1)利用不等式的性质可证得结论；(2)由。>力>0,知利用c>d>。，即可证得结论；(1) Qa<b<0,两边同乘以 c<0 , W<J ac >be又c<d<0,两边同乘以AvO,则力c>Z?d即 ac > bd(2) v«>Z?>0,两边同乘以a >0,得两边同乘以>0,得所以同>以>从>0乂c>0,则a2c>b2c>0, 乂c>d >0 ,则/c>b2d ,即 a2c > b2d(2022湖南高一课时练习)利用不等式的性质证明下列不等式:(1)若a</?, c<0,则(。一3。>0；(2)若6/<0 , -1 </?<0,则a <ab2 <ab.【答案】(I)证明见解析(2)证明见解析【解析】【分析】(1)可知而c<0,即可得证；(2)可知1>。2>()>>一,而a<o,即可得证；(1) 证明：,/ a>b,：.a-b>0,又 evO,：.(a - b)c < 0 ；证明：.,一1<<0, /.0</?2 < 1/. 1 >b' >0>Z>>1 >乂 a < 0 ,a < ah' < ah .2. (2022全国高一)(1)试比较(x+l)(x+5)与(x+3的大小；(2)已知-<-7，求证：ab>0 . a b【答案】(1) (x+l)(x+5)<(x+3)2； (2)证明见解析.【解析】【分析】(1) (x+l)(x+5)与(x+3)2作差，判断差的正负即可得出结论；(2)结合不等式的性质分析即可证出结论.【详解】(I)由题意，(x+l)(x+5)-(x+3)-=x2 + 6.r+5-x2 -6x-9 = -4<0，所以(x+l)(x+5)v(x+3)2.(2)证明：因为所以，一!<0,即?<0, a b a bab而a>，所以则a>().得证.3. (2022全国高一单元测试)(1)若加一。企0, bd>0,求证：孚5二幺； b d(2)已知 c>a>6>0,求证："> " : c-a c-b(3)观察以下运算：1x5 + 3x6>”6+3x5,1x5 + 3x6+4x7>1x6+3x5+4x7>”7+3x6+4x5.若两组数a/,与/,且右飞2, b/<b2,则。曲+2b仑4/历+夕2历是否成立,试证明；若两组数句,。2,。3与岳，b3且ai32%3,对。/6+。2岳+。3历,。/历+。2历+。3b3,。力/ +a2b2+sb3进行大小顺序(不需要说明理由).【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)成立，证明见解析；。力?+力z+a必也+。2从+.必&7也+。2岳 +。3b3【解析】【分析】（1）（2）根据不等式的基本性质即可得证；（3）根据已知条件结合不等式的性质即可得出结论；，根据已知条件直接写出结论即可.【详解】证明：（1）因为取>（）,所以>0, bd又 be -ad >0.即 > ad ,所以二之7，所以=+I2： + I, BP<； d b d bb d（2）因为所以c-a>0,c- a be、i c-a c-b所以<一， abc ab所以>c-a c-b（3）解：成立，证明如下：*.* a1bi+a2b2（a1b2+a?bD=a i（b 】一b2）+a 2（b?-b i）=（a/-a2）（b岳）, 又b/<b2,，（/42）（b/ 岳巨0,即 + 2。/ + 力； 4 力 3 +。力2 + 43力 力2+42力 / +。3 & / 历 + a 2b 2 + a3b3（2022江苏高一课时练习）己知>人>0,求证：（1）/a > fb ；（2） a > fab > b.【答案】（1）证明见详解；（2）证明见详解.【解析】【分析】（1）结合冢函数），=五的单调性，即得证（2）由&>0,右>0,框>0,结合不等式的性质，即得证【详解】（1）由塞函数），=正在。+8）单调递增，且4/?>0,故即得证；（2）由（I）, 衽 >0,8>0由不等式的性质，a>4b又 ya >>（）,甚 > 0不等式的性质可分为基本性质和运算性质两部分基本性质有：对称性：a>bobva(2)传递性：a>b, h>c=>a>c(3)可力口性：a>hoa + c>6 + c(c£R)c > 0 = 4C>be(4)可乘性：a>h, ' c = 0=> ac = bec<0=> ac< be运算性质有：(1)可力口法则：a >b,c> cl a + c>b + d.(2)可乘法则：a>b>O,c> d >0=> a c>h d>0(3)可乘方性：a>O>(),eN* =，>/)" >0知识点诠释：不等式的性质是不等式同解变形的依据.知识点三、比较两代数式大小的方法作差法：任意两个代数式、8,可以作差后比较a-8与0的关系，进一步比较与的大小. a-。>0oa>b ； a-<0oa<b； a-b = 0oa = b.作商法：任意两个值为正的代数式。、h,可以作商a +匕后比较与1的关系，进一步比较。与人的大小. bbb - = 1 o a = b.b由不等式的性质，y/ab>b综上：a > fab > b »即得证(2022江苏高一课时练习)证明下面的结论：(1)如果c>d,且c>0,那么(2)如果。<力<0, c<d <0,那么 ac>bd ；(3)如果。>匕>0, c>d>0,那么 <上；ac ba(4)如果。>匕>0, c>d >0, e>0 ,那么巴 <巴.ac ba【答案】见解析.【解析】【分析】本题考查的是不等式的证明，先对原式进行转换，再利用不等式的性质进行证明即可.【详解】(1) ,/ a > b,c > (),/. ac> he , '：c>d,b> (),./x?> bd ,则有 ac> bd ：(2) ,：a <b,c<0,ac>be , -c<d,b<0,/.be > bd ,则有ac>bd；(3) ,/«>/?>(),.«-/?>() , -= ->0 ,>0 ；b a abb a八j r 11。 “c1 1八c > d > 0,cd >0 ,=> 0 , > > 0 ；d c cdd c那么上V1bd(4)由(3)可得，<上，且。>0,那么且ac baac bd(2022,江苏,高一课时练习)已知求证：a2>b2.【答案】证明见解析【解析】【分析】利不等式的性质证明即可【详解】因为。V6< 0 .所以。2 >> 0 , ab > b > 0.所以°2>从(2022新疆阜康市第一中学高一阶段练习)(I)比较x = (a+3)(a5)与y = (a + 2)(4)的大小 (2)已知尻求证：a-c>b-d【答案】(1)x<);(2)见解析.【解析】【分析】(1)利用作差法即可得出答案；(2)利用不等式的性质即可证明结论.【详解】(1)解：x-y = (a+3)(a5)( + 2)(。-4) =/一加一 15一(/一2。-8)= 7<0,所以x<)'(2)因为，a>b,c<d ,所以-c >,所以a+(-c)ia-c>b-d.6. (2022福建永安市第三中学高中校高一阶段练习)(1)求证：(a + l)(a+5)v(a + 3)2；(2)求证：+ 3.2卜/+。-1).【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.【解析】【分析】(I)利用作差法即证；(2)利用作差法即证.【详解】：+ 1)3 + 5) (a+ 3)2 =(/ +6 + 5)(2 +6« + 9)= -4<0,( +1)(。+ 5) <(。+ 3>；,/ a2 +/-2( + -1) = (4-2 + 1) + 伊-2力+1)= (a-l)2+(/?-l)2.O,当且仅当。=。=1时等号成立，cC +b.+b.7. (2022湖北武汉市育才高级中学高一阶段练习)(1)若庆一次/20, bd>0,求证：孚邛 b d,、 (2) a>b>0, c<d <()t n <0, 求证： rr(a-c) h-dy【答案】(I)证明见解析，(2)证明见解析【解析】【分析】(1)利川作差法证明即可，(2)利用不等式的性质证明即可【详解】(1)因为从一加20, M>0,所以所以c + d a + b b(c + d)-d(a + b)bdbc+bd-ad-bdbd所以所以a + b <c + d(2)因为c<4<0,所以一c>一d>0,因为。人>0,所以一d>0, 所以(a c)2>g d)2>0,所以1 1 n 所以西>。,因为 vO,nii所以(-d)2 V(-C)2，即(a-c)2 (b - d)28. (2022全国高一专题练习)若4>/?>0, cvdvO, evO,求证：,"、2 > 人 工(«-c)(b-d)【答案】证明见解析【解析】【分析】先根据不等式性质判断4-C,-4的大小关系，然后结合不等式性质可判断厂的大小关系，由 (a-c) (b-d)此即可证明 的大小关系.(a-c) (b-d)【详解】证明：Qc<<0, :.-c>-d>0.乂a>b>U , :.a-c>b-d>0 .则(a-c)2>S-d)2>0,即(a-c)2 < (b-d)2 '乂 e < 0, 0 / 7772 (a-c)(b-d)题型五：利用不等式的性质比较大小1.（2022山西吕梁高一开学考试）已知,<?<（）,则下列结论正确的是（） a bA. a <bB. a + b < abC. a>tD. ab>b-【答案】B【解析】【分析】结合不等式的性质、差比较法对选项进行分析，从而确定正确选项.【详解】因为！<?<（）,所以<。<0,故A错误： a b因为所以。+ /?<0,">0 ,所以+/?</?,故 B 正确；因为bvavO,所以同 >同不成立，故C错误;ab-b2=b（a-b）,因为<<0,所以a8>0,即，力-从=（。-6）<0,所以心"成立，故D错误.故选：B（2022北京高一期末）若”,b>c,则下列不等式一定成立的是（）,1 1 2A. a+b>cB. ab > c2C. a-c>c-b D. + < a b c【答案】C【解析】【分析】举反例可判断ABD,由不等式的性质可得a + >2c,可判断C【详解】选项A,令=-1, = -1,。= -2 , a+b = c,不成立，A错误；选项B,令=-1, = -1,。= -2, ab < c2»不成立，B错误；选项 C,由 a>c, b>c,可得 a + /?>2c ,故a-c>c-b, C 正确；1 ?选项 D,令a = 1,/）= l,c = -2, - + 不成立，D 错误.a b c故选：C3. （2022重庆巴蜀中学高一期末）若则下列不等式一定成立的是（）a b a A.> a b【答案】D【解析】 【分析】c b b+T_1,111B. >C. a >bD. f= >a 67 + 1ba7 b利用不等式的性质可判断ABD,取特殊值可判断C选项.【详解】选项 A：因为所以->0 > a2 >b2 >0 ab所以3>2,故a错误： b a选项B：因为。>b>0,则而>0,所以a + c心必，即4（1+）>（1+4）,又寻用>0,所以不等式。（1+8）>（1+4）两侧同时乘以白不，则¥>2,故B错误；选项C：当a = = ；时，此时a>b>0,a-=-3 b 25, 11 n 5=,b = 2 =, 2a 33a一;< b,故C错误；b a选项D：因为所以右> 折>0,则白>3，故D正确.故选：D.（多选题）4. （2022河北保定高一期末）已知则（）aA. b>12B. a>lC. aD. a + > ba【答案】BCD【解析】【分析】A选项可以举出反例，BCD可以利用不等式的基本性质推导出.【详解】|Iia = 2, b = -,满足条件，故A错误；4>一>。=>2> = 4>,故B正确；由人>一>0得>；,故C正 3aab”一，2确；由 ；有 + 6>一，故D正确.吟°故选：BCD(多选题)5. (2022黑龙江齐齐哈尔市第八中学校高一开学考试)十六世纪中叶，英国数学家雷科德在砺 智石一书中首先把“=''作为符号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用和符号，并逐渐被数学 界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.若。，b, ceR,则下列命题正确的是()A. b>a>(), WO > B.若a>力，则 ac>a hC.若 a > b , c> d,则 a + c>Z? + 4D.若 仪，则【答案】ACD【解析】【分析】分别由不等式的同加同乘性质可得，注意选项B中c为0的情况.【详解】选项A：.在不等式ja两边同除以必得一>',A正确；a b选项B：当c=O时，ac = be , B错误；选项C：同向不等式相加，不等号方向不变，C正确；选项D： .所2>雨，两边同除以不得，>，D正确.故选：ACD.(多选题)6. (2022广东揭阳高一期末)己知下列结论正确的是()A. 2a>b+cB. a(h-c)>b(a-c)C. ->-D. («-c)3a-c b-c7【答案】AD【解析】【分析】利用不等式的性质逐项分析即得.【详解】*.* « > Z? > c > 0,2a>b+c,故 A 正确；取a = 3>b = 2>c=l>0,则a(/2-c) = 3</，(a-c) = 4,故 B 错误；由a>6>c>0可知，一!一 Vy!，（-C）3 >（Z?-C）3 ,故 C 错误，D 正确。.a-c b-c '''故选：AD.（多选题）7. （2022辽宁丹东高一期末）如果。，瓦c, dwR,那么（）A.若>，则B.若ac? >bd ,则 a bC.若 a > b, c> d,贝 ljac>8dD.若 a>b, c> d,则 a +【答案】BD【解析】【分析】根据举例说明即可判断选项A、C,根据不等式的基本性质即可判断选项B、D.【详解】A：令 =1, b = -,满足但>:,故A错误： a bB：因为ac? / >0，所以a>，故B正确；C：令/? =1, c = 1» d =,满足a>，c> d,但ac = bd,故C错误；D：因为>），c>d,由不等式的性质，得a + c>0+",故D正确.故选：BD（2022湖南高一课时练习）如果则有（用“>”或填空）：（1） /；（2） -a b（3）ab ;（4） 1.a 【答案】 > > > <【解析】【分析】根据不等式的性质求解.【详解】（1）由 a < v 0 可得一a >> 0 ；（2） Q。</?<（）, /. >0,ci,<b, lip >；'abab ab a bQavbvO , ：d >b? >0,：.后)后；（3） Qa<b<0, ：.a>b- = ,即色>1. b b b故答案为：>；>；>；<.9. (2022湖南高一课时练习)下列结论是否成立？若成立，试说明理由；若不成立，试举出反例. 如果那么<；(2)若ab>c, b>0,则。f ： b(3)若ac>be ,则a>b-(4)若a>，c> d, a-c>b-d .【答案】(I)成立，理由见解析；(2)成立，理由见解析；(3)不成立，理由见解析；(4)不成立，理由见解析；【解析】【分析】由不等式的性质判断(1) (2)成立，取特殊值判断(3) (4)不成立.(1) 'c-a>c-ba > b,:.a<h,故成立./ab>c, Z?>0,即， b取。=1,力=2,C = -1时，满足ac> Ac ,但是a>不成立.(3) 取。=1, = 0" = 3 = -1,满足a>，c> d,但是一d 不成立.10. (2022全国高一课时练习)下列命题正确的是()A. a > b、cwU = ac1 > be1B. a < b = a < 4bC. a>bc<d=>a + c>b + d D. a > b = a? > b'【答案】A【解析】【详解】对于选项A, ,chO,1.c?,。，又a>b ,：.ac2 >be'成立.,故A选项正确；对广选项B,当<0,。>0时，结论明显错误；对于选项C,当a = 4, = 3,c = l,d = 2时，a + c = b + d ,所以结论错误；对于选项D,当。=1/=-2时，a2<b2,所以结论错误.11. （2022全国高一课时练习）若人则占.填或“="）【答案】7<7 【解析】 【详解】an b"故答案为：v题型六：利用不等式的基本性质求代数式的取值范围（2022江苏高一）己知0<x<4, 0<>'<6,则21-），的取值范围是【答案】-6<2A-y<8【解析】【分析】根据不等式的性质即可求解.【详解】解：因为0<%<4, 0< y <6 ,所以0<2x<8, -6<-y <0,所以-6<2x-y<8,1. （2022江苏高一）已知2<。<3.-2<<一1,贝I 2一人的取值范围为【答案】5<2a-b<8【解析】【分析】由不等式的性质求解【详解】2<«< 3,-2</><-1,故4<2。<6, <-b<2,得5<2。-匕<82. （2022,吉林延边高一期末）已知-1。“，则。一力的取值范围是（）A. -7<«-2/?<4B. -6<a-2b<9C. 6<a-2b<9D. -2<tz-2/?<8【答案】A【解析】【分析】先求-幼的范围，再根据不等式的性质，求加的范围.【详解】因为-14bW4,所以一8七一北三2,由得一7工一给<4.故选：A.（多选题）4. （2022黑龙江大庆外国语学校高一阶段练习）设x, y为实数，满足lxW4, 0<y<2,则 下列结论正确的是（）A. 1 < x + < 6 B. <x- y <2C. 0 < xy < 8D. 2）'【答案】AC【解析】【分析】根据x,歹的范围及基本不等关系，对选项一一分析即可.【详解】对于 A, 0+i<x+y<2 + 4, gpi<x+y<6,故 A 正确；对于 B, -2<-y<0,则 1 2Kx-yv4 + （）,即一lKx-y<4,故 B 错误；对于 C, 0xl<.q，K4x2, gp0<xy<8,故 C 正确；对于D,由题知，之：，则土21x： =:，故D错误；故选：AC5. （2022,全国高一）已知一1<。<4, <b<2,则Q-b的取值范围是.【答案】-3<a-b<3【解析】【分析】利用不等式的基本性质可得答案.中间量法：a>bRb>c,则”>c （实质是不等式的传递性）.一般选择0或1为中间量.【题型归纳目录】题型一：用不等式（组）表示不等关系题型二：作差法、作商法比较两数（式）的大小题型三：利用不等式的性质判断命题真假题型四：利用不等式的性质证明不等式题型五：利用不等式的性质比较大小题型六：利用不等式的基本性质求代数式的取值范围【典型例题】题型一：用不等式（组）表示不等关系（2022江苏高一）铁路乘车行李规定如下：乘动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过Mem. 设携带品外部尺寸长、宽、高分别为。、和。（单位：cm）,这个规定用数学关系式可表示为（）A. a + b + c <M B. a +b +c >MC. a + b + cD. a + b+ c <M【答案】A【解析】【分析】根据长、宽、高的和不超过Mem可直接得到关系式.【详解】长、宽、高之和不超过Mem,:.a+b + c< M.故选：A.1. （2022天津河北高一期末）铁路总公司关于乘车行李规定如下：乘坐动车组列车携带品的外部尺寸长、 宽、高之和不超过130a.设携带品外部尺寸长、宽、高分别为，力工（单位：。），这个规定用数学关系 式表示为（）.A. a+b + c< 130B. u+b+c> 130C. a+b+c< 130D. «+/? + c> 130【答案】C【解析】根据长、宽、高的和不超过130。可更接得到关系式.【详解】因为一l<a<4, 1 <b<2 ,则一2</?<一1,所以一1 2 < a/?<4 1,即ttb的取值范围是3<ci-b<3.6. （2022全国高一）若实数x,满足lvxv2, -2<y<l,则）彳的取值范围是【答案】-4<y-x<2【解析】由可得然后相加便可得到的取值范围.【详解】因为一lvxv2,所以-2<-xvl,又因为一24），41,所以-2+（-2）<一工<1 + 1,即Tvy-xv2 .到，容易错解为T，2.7. （2022全国高一）已知处vav-，则£的取值范围为.b【答案】-1<7<2【解析】【分析】由如<一/九可得。<0,再将2/?<“<一方同乘:可得答案. b【详解】因为2/7Vav-，所以给所以<0, 7<0. b将不等式2Z>vavT>，同乘以， bn. b a 2b 口门，a , 则一一< <一,gp-l< <2.b b bb故答案为 b【点睛】本题考查了不等式的性质，考查了学生的推理能力,属于基础题.8. （2022江苏高一）设 2<。<7, l<b<2,求 a + 36, 2a-b , £ 的范围. b【答案】5va +劝V13, 2<2«-/?<13, 1<<7 b【解析】【分析】根据不等式的基本性质，