高中数学数列核心知识总结.docx

数列核心知识总结核心知识一、数列的有关的概念 数列的有关概念数列的定义：一般地，我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项数列与函数数列an是从正整数集N*(或它的有限子集1，2，n)到实数集R的函数，其自变量是序号n，对应的函数值是数列的第n项an，记为anf(n)数列的表示法：解析式法、表格法、图象法数列的通项公式和递推公式(1)如果数列an的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式(2)如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式数列的前n项和 Sn与an关系若数列an的前n项和为Sn，通项公式为an，则an常见方法：利用anSnSn1(n2)转化为只含Sn，Sn1的关系式，再求解；利用SnSn1an(n2)转化为只含an，an1的关系式，再求解 (3)数列的函数特性(1)数列的单调性从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列；从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列叫做递减数列特别地，各项都相等的数列叫做常数列常见判断单调性方法：用作差比较法，根据an1an的符号判断数列an是递增数列、递减数列或是常数列用作商比较法，根据(an0或an0)与1的大小关系进行判断结合相应函数的图象直观判断(2)求数列的最大项或最小项的常用方法将数列视为函数f(x)当xN*时所对应的一列函数值，根据f(x)的类型作出相应的函数图象，或利用求函数最值的方法，求出f(x)的最值，进而求出数列的最大项或最小项通过通项公式an研究数列的增减性，确定最大项及最小项临界项法，在数列an中，若an最大，则(n2)，若an最小，则(n2)(3)解决数列周期性问题根据给出的关系式求出数列的若干项，通过观察归纳出数列的周期，进而求有关项的值或者前n项的和核心考点二、等差数列1等差数列的概念(1)定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示(2)等差中项：由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列这时，A叫做a与b的等差中项且ab2A2等差数列的通项公式与前n项和公式(1)通项公式：ana1(n1)d(2)前n项和公式：Snna1d3等差数列与函数的关系(1)通项公式：当公差d0时，等差数列的通项公式ana1(n1)ddna1d是关于n的一次函数，且一次项系数为公差d.若公差d0，则为递增数列，若公差d0，则为递减数列(2)前n项和：当公差d0时，Snna1dn2n是关于n的二次函数且常数项为0.4.常用性质1已知数列an是等差数列，Sn是其前n项和(1)anam(nm)d(n，mN*)(2)若pqst，则apaqasat.特别地，若pq2m，则2amapaq(p，q，s，t，mN*)(3)若bn是等差数列，则panqbn也是等差数列(4)ak，akm，ak2m，仍是等差数列，公差为md(k，mN*)(5)数列成等差数列；数列Sn，S2nSn，S3nS2n，成等差数列奇偶项性质为偶数时为偶数时（中间项）（中间两项）2两个等差数列an，bn的前n项和Sn，Tn之间的关系为.5.等差数列的判定与证明的常用方法定义法：an1and(d是常数，nN*)或anan1d(d是常数，nN*，n2)an为等差数列等差中项法：2an1anan2(nN*)an为等差数列通项公式法：ananb(a，b是常数，nN*)an为等差数列前n项和公式法：Snan2bn(a，b为常数)an为等差数列6.求等差数列前n项和最值的常用方法(1)二次函数法：用求二次函数最值的方法(配方法)求其前n项和的最值， nN*.(2)图象法：利用二次函数图象的对称性来确定n的值，使Sn取得最值(3)项的符号法(邻项变号法)：当a1>0，d<0时，满足的项数m使得Sn取得最大值为Sm；当a1<0，d>0时，满足的项数m使得Sn取得最小值为Sm.核心考点三、等比数列1等比数列的概念(1)定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示(q0)(2)等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，此时，G2ab.2等比数列的有关公式(1)通项公式：ana1qn1(2)前n项和公式：Sn3等比数列与指数函数的关系(1)当q1时，an·qn，可以看成函数ycqx，是一个不为0的常数与指数函数的乘积，因此数列an各项所对应的点都在函数ycqx的图象上(2)等比数列的单调性当q1，a10或0q1，a10时，an是递增数列；当q1，a10或0q1，a10时，an是递减数列；当q1时，an是常数列(3)等比数列an的前n项和SnAB·CnAB0，公比qC(A，B，C均不为零)4.常用性质1若mnpq2k(m，n，p，q，kN*)，则am·anap·aqa.2若an，bn(项数相同)是等比数列，则an(0)，a，an·bn，仍是等比数列3在等比数列an中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，ank，an2k，an3k，为等比数列，公比为qk.4等比数列an中，Sk表示它的前k项和当Sk0，kN*时，有Sk，S2kSk，S3kS2k，也成等比数列，公比为qk.5. ； 6.当等比数列项数为偶数时，；5.等比数列的证明方法定义法：若q(q为非零常数)或q(q为非零常数且n2)，则an是等比数列中项公式法：若数列an中an0且aan·an2(nN*)，则数列an是等比数列通项公式法：若数列的通项公式可写成anc·qn1(c，q均为不为0的常数，nN*)，则an是等比数列前n项和公式法：若数列an的前n项和Snk·qnk(k为常数且k0，q0，1)，则an是等比数列核心考点四 数列求和数列求和的常用方法(1)公式法等差数列an的前n项和Snna1.等比数列an的前n项和Sn组求和与并项求和：一般地，如果an是等差数列，bn是等比数列，求数列an±bn或cn的前n项和Sn时，可采用分组求和法求和如果cn(1)n·an，求cn的前n项和时，可采用并项求和法求解(3)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前n项和(4)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前n项和即可用错位相减法求解 (5)倒序相加法：如果一个数列an的前n项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法求解（4）裂项求和常见形式模型1：等差型（1） （2）（3） （4）（5） （6）模型2：根式型（1） （2）（3）模型3：指数型（1）（2）（3）（4）模型4：和型（1） （2）核心考点五、函数的通项公式方法1 公式法：等差数列、等比数列利用通项公式求解方法2 与关系：.条件中出现的表达式或含的等式。一般步骤：根据时，求； 根据时，求检验时，通项公式能否统一，写出时的通项公式；如有必要，须分段写出.两种基本方向：消（代入消元）；消（加减消元）.方法3累加法：型.运用恒等式：.方法4累乘法：型.运用恒等式：.方法5构造法形如型，其中为常数“待定系数法”构造等比数列， 形如型，其中为常数“迭代作差”构造的递推关系形如型，其中为常数除以，构造，然后转化到前一类型（构造法7学科网（北京）股份有限公司