2023届山东省济南市高三上学期9月摸底考试试题（解析版）.docx

2023届山东省济南市高三上学期9月摸底考试试题一、单项选择题1 .设集合 A = xl f<* 八2,0,2,3,那么 Ad4=()A. x|-3<x<3 B. x|-3<x<3C. x x<3D. -2,0,2)【答案】B【分析】首先结合条件求出集合A,然后利用集合间的并运算即可求解.【详解】由题意可知，A = x|2<9 = x|-3<x<3,又因为 3 = -2,0,2,3,所以 Au3 = x3<x<3.2 .命题“/工>0,1+工1”的否认为()A. Vx > 0, ev + x < 1B. Vx < 0, ev + x < 1C. 3x > 0,eA + x < 1D. Bx < 0,ev 4-x < 1【答案】C【分析】根据全称命题的否认判断，即可得到结果.【详解】命题“Dx>0,e” + %>l”,那么其否认为玉>0e+xWl 应选:C.3 .z(-l + gi) = 2 (其中i为虚数单位)，那么复数z=()A.一四22A.一四22C.+西22【答案】A【分析】利用复数除法公式，即可求解.【详解】又条件可知2 =干21 >/3i j1 V3.1.2 2应选：A.函数/G) = 2sin 2s-£ (°>0)的最小正周期为许那么x)的图象关于( V o /jrA. x 对称6JTB. x =一对称C.D.71、-.0对称3 /【答案】B由于Be4,B0,=降A0,= 空,且A3与平面BCD所成的角为/A5Q, 21313273«sinA = =V6,故 B 错误；' AB 63因为AEJ_CD于E,所以4Mm访=人石；灰_18于£,所以8 Mmm =5E；因此当M与E点重合时，AA/ + BM最小，最小值为2x如=指，故C正确； 2在平面45c中过点7作PT_LAB交AC于P,在平面ADC中过点7作R丁，AS交AO于R,连接蹬，又因为RTcPT = T,所以ABJ_平面7PR,因此平面7PR即为所求，TP = TR = ,AD = PR = , 33那么7PR的周长为述+"+延=拽士迪， 3333同理在平面ABC中过点N作NQJLAB交8c于。，在平面迎中过点N作NS J_ 交BD于 S,连接QS,可得平面NQS,而平面NQS即为所求，Nq = NS = ,BQ = QS = AP =,那么NQS的周长为"+如十复1=2遂+ 2后,故d正确. 3333应选：ACD.三、填空题. (V2x + l/的展开式中，含丁项的系数为 (用数字作答).【答案】-20【分析】由(f2x + l)3=。1)6,利用二项式展开式通项写出含/项，即可得结果.【详解】由(f_2x + l)3=(x_i)6,其展开式通项为配产(-1)一鼠11所以含?项为T4 = (-1)3C3 = -20x3,故系数为-20.故答案为：-20.过点月(-2,0)的直线与圆Y + y2=3交于a, 3两点，那么I尸川.|尸例的值为【答案】1【分析】结合条件，利用圆的切割线定理即可求解.【详解】过P作圆V + y2=3的切线，切点为T,连接。/，。为坐标原点,因为/ + 丁=3是以圆心(0,0),半径=石的圆，且尸(一2,0), 所以 |7|=/|0夕|2 |。为2 =7 = 1,又由切割线定理可知,PT=PA-PB=1.故答案为：1.且在(。,+8)上有13 .定义在R上的可导函数满足/(%)-/(T)+ je + e =。 (e )广4成立.假设实数”满足加一上/+/一2-32那么。的取值范围是【答案】(-00,X【分析】构造函数g(x)= /a)+x，根据判断函数g(©的奇偶性和单调性，再将 e目标不等式转化为g(l-o)2g(。),利用单调性和奇偶性可解.X1 Y【详解】记 g(x) = /(© + ,贝 =+ =ee(1%-X由/(x) /(r) + x 工 + e、=0可得“x) + 2 = /(t) + -( eJee所以g(x)为偶函数1 xx 2记 *) = ,那么。)=一 ee因为当xv2时、hx) < 0 ,当%>2时，hx) > 0所以，当x = 2时，(x)有最小值/2(2) = -3e又因为在3+8)上广!，gp (x)_J_>o ee1 Y1所以 g'(x)=/(X) + 丁 2 ru)->oee"所以g(x)在(0,+8)上单调递增，由 /(I _ / (。) + e" 匕一"2 0 可得 /(I 一 a) H 2 /() + ee即 g(l-a)>g(a)所以|1一42同，即(1 )2*2,解得故答案为：(-8,不四、双空题.使命题“假设，那么。'为假命题的一组。"的值分别为，. a b【答案】 1 T （答案不唯一）【分析】只要。0,h（）,原命题都是假命题.【详解】假设命题“假设,，那么avb”为假命题， a b那么可使。0, 0,命题为假命题，可设4 = 1,/? = 一1.故答案为：1, -1 （答案不唯一）五、解答题16 .在ABC中，2sinNACB = Gsin/ABC,AB = 2百,BC边上的中线长为求AC的值；（2）求ABC的面积.【答案】（1）AC = 4（2）26【分析】（1）由正弦定理结合条件，即可求得结果.（2）记3C的中点为。，设BD = CD = x,结合余弦定理可求得不,再结合三角形面积公式即可求得结果.【详解】（1）因为2sin/ACB = Gsin/A3C,由正弦定理得=一生一 n幺包=空=立，所以2AB = Ji4C,sin ZACB sin ZABC sin ZABC AC 2又因为A5 = 2g,所以AC = 4.ABD记BC的中点为。，那么= 设3Q = CO = x,因为NADB + NADC = 7t,即cosNAZ)B+cosNAOC = 0,由余弦定理可得由余弦定理可得BD? + W 一 .22ADBDCD2 + AD2-AC2H2ADCD/+13-12 Y+13 162岳x2岳.x所以x = l,所以5C = 2,7T所以 AC? =6。2 + 462, pllj ZABC =-, 乙所以 SaA4c=；43BC = ；x2Gx2 = 26. 乙乙.为庆祝中国共产主义青年团成立100周年，某校团委组织团员参加知识竞赛.根据 成绩，制成如下图的频率分布直方图.采用按比例分层抽样的方法从成绩在80,90）, 90,100的两组中共抽取7人，再从这 7人中随机抽取3人，记，为这3人中成绩落在80,90）的人数，求，的分布列和数学期 望.【答案】（l）x = 0.0309（2）分布列见解析，数学期望为,【分析】（1）直接由频率和为1即可求解；（2）先由分层抽样求得各层人数，进而求得力的所有可能取值及对应概率，列出分布 列，由期望公式求解即可.【详解】（1）由频率分布直方图知I： 0.005xl0 + 0.010xl0 + 0.015xl0 + 10x+0.040xl0 = l,所以x = 0.030；(2)按比例分层抽样抽取7人，成绩在80,90), 90,100的人数分别为3人，4人.所以7的所有可能取值为：0, 1, 2, 3；C ar 2rl i op102 i n那么尸(%=0)=中荻3=廿后尸寸石C3 1=3)=西=皆那么的分布列为：z0123p435183512351354 |R 1?10所以，的数学期望为：(Z)= 0x + lx + 2x + 3x 17 .正项数列qj满足4 =1,且4 。用41 = 0.(1)求数列%的通项公式；求数列2%/的前项和S”.【答案】(1)%= 5=2 + (一1)2的【分析】(1)证得%是首项为1,公差为1的等差数列，从而可求出结果;(2)利用错位相减法即可求出结果.【详解】由-。间山一。一1 =。得：(%+i +1)(。+1 -% -1)=。，又因为%+i+ll ,贝= 1,且4=1,所以%是首项为1公差为1的等差数列，所以4=.(2)因为 2。=小2，所以 S =1x2 + 2x22 +3x23 + 3 + x2 ,2S =1x2?+2x23+ 3x24+ .+x2“m ,两式相减得：一S =1x2 + 22 +23 + . + 2几2"i =2I '）_几2向， n1-2所以"=2 + （一1）2.20.如图，正三棱锥PABC中，B4 = 2,N分别为PC,AC的中点，BM1MN.（1）求点P到平面ABC的距离；求平面BMN与A8C夹角的余弦值.【答案】（1）苧【分析】（1）首先利用垂直关系证明PA_L平面尸5C,根据正三棱锥的性质可知三条线两两互相垂直，再利用等体积转化求点到平面的距离；（2）以点P为原点，建立空间直角坐标系，分别求平面和平面ABC的法向量，利用法向量夹角公式，即可求解二面角的余弦值.【详解】（1）因为N分别为PC, C4的中点，所以MNR4；因为 8M_LMN,所以取5c中点为。，连接PO, AD,因为PABC为正三棱锥，所以BCA.AD,且PDcAD =。，D,AOu 平面尸A。，所以 3C_L 平面 PA。，所以 BC_LPA,又 BMCBC = B ,所以A4J_平面P8C,所以PA PR尸。三条线两两互相垂直，等边三角形A"。的底边长AB = d展+展=20 ,A-PBC Z APBC ,>A = -X - x2x2x2 = , S/BC = Jx（2&）= 2百设点尸到平面ABC的距离为d ,所以/ ABc=&Bcd = 3d, /1万(_3 ZA/loC3因为P-ABC A-PBC '因为P-ABC A-PBC '所以d = 所以点Q到平面ABC的距离为迪;(2)如图，以P为原点，PA, PB, PC所在直线为X, y, z轴建立空间直角坐标系,那么尸(0,0,0), A(2,0,0), 5(0,2,0), C(0,0,2), M(0,0,1),所以说= (1,0,0), W = (O,-2,l),设平面的法向量为勺=(%,y,zj,ii,-MN = 0 - "丽=鼠解得玉=0一 2* + Z = 0'令 X =1，得)=(0,1,2),uuuAB = (-2,2,0), AC = (-2,0,2),n.-AB = 0 a , 万历3解可设平面ABC的法向量为%=(x2,y2,z2),2x, + 2% = 0/ 、占+ 2z：”令得30叫，设平面BMN与平面ABC的夹角为内所以cos。% .电V15可'所以平面BMN与平面A3C夹角为余弦值为史5(D求椭圆的方程;过点以作C的两条切线，记切点分别为A3,求AMAB面积的最大值.22【答案】工+ Z = 143(2)872【分析】（1）由抛物线焦点可求C,由“到点尸的最大距离，可求。.（2）利用导数表示出直线M4和直线MB的方程，联立即得直线A3的方程，再与抛物线方程联立，利用韦达定理表示出M43面积，利用函数知识即可求解.【详解】（1）抛物线。的焦点为尸（0,1）,即c = l,椭圆上的点M到点尸的最大距离为q + c = 3,所以q = 2, =3,22所以椭圆方程为乙+ Z = 1.43r2（2）抛物线。的方程为Y=4y,即9=二，4对该函数求导得设点 A（X，X）, 3（%,%），加（工0，%），直线M4的方程为y-y =m（x-xj，即 y4-X，即 3-2 乂-2y = 0,同理可知，直线MB的方程为工2%-2%-2> =。，由于点M为这两条直线的公共点，那么由于点M为这两条直线的公共点，那么百/_2%_2%=0&%_2%_2%=0所以点A ,笈的坐标满足方程式0%-2丁-2% = 0 ,所以直线A3的方程为x°x-2y-2y。=。，x0x-2y-2y0 =0联立< x2,可得/一2%¥ + 4% =0 ,y 二 一14由韦达定理可得X+工2 =2%,与=4%，所以/ 、/ 1+.14片一 16yo =+4)(片 一4%), )点M到直线AB的距离为d = g f。1 ,收+42所以 SAMAB = Ja斗d = g J(% +4)(%； -4%) ,j 2 ) =-4y0p ,中班 24 c4 3f 8?25因为10-4%=3-4y0%+鼻 +4413)3由可得一2<%<2,所以当为=-2时，AM4B面积的最大值为80.【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关 系、弦长、斜率、三角形的面积等问题.22.函数/(x) = 2ox Mircos% sinx.(1)当Q = 1时，求/(X)在0,兀上的最大值；当x>0时，/() >0,求。的取值范围.【答案】(1)3兀)【分析】(1)求导，得到导函数在140,兀上恒大于等于0,从而得到函数最值；(2)先由特殊点的函数值和导函数值，确定21,再证明其充分性，从而得到。的取 值范围.详解(1)当 a = l 时，/(x) = 2x-xcosx-sinx,fx) = 2 2cosx + xsinx,当 x£0,7i时,ff(x) = 2(1-cosx) + xsinx>0 ,所以力在o,可上单调递增，所以)1ax =兀)=3兀.(2)注意到 /(。)=。，,/(x) = 2。-6/(cosx-xsin%)-cosx,那么 /'(。) = a 1,假设 aNl,> 2% - xcos % - sin x,由(1)知，当 xe0,可时，/(x)>/(0)= 0 ；当 x £ (兀,+oo)时，2x-xcos % sin x = x(l cos x) + (x sin x) > 0,所以"x"。恒成立，符合题意；假设 a < 0 , /(x) = 2ax - ax cos x-sinx = ax(l - cos x) + av-sinx,当时，"x)<°，不合题意；( 兀)假设 0vq<1,因为 0,时，= (2a +1) sin x + ar cos x > 0 , 2)所以广（X）在上单调递增，（兀、（ 冗、因为r-=24- «0, XT（0）0,（兀、所以存在后£。，7，/'（%。）=°，当）£（0,%）时,/r（x）0,/（力在（0,%）上单调递减，%）0）=0,不合题意；综上，a, 的取值范围是【点睛】导函数求解函数的取值范围题目，先由特殊点的函数值或导函数的值确定参数 的取值范围，即必要性探究，再证明其充分性成立，这是求解参数取值范围的一种常用 思路.【分析】先通过最小正周期求出g=1,再根据三角函数图像的性质判断对称轴与对称中 心即可.（ji 【详解】因为函数作）=2"28-甘。）的最小正周期为诏1 ,即 /(x) = 2sin 2x, I 6J/G）= 1w2,故工=刍不是对称轴，住，也不是对称中心；66V6 7jrqr（冗'/（彳）=2,故x = g是对称轴，-90不是对称中心.33 i 7应选：B5 .拟柱体（所有顶点均在两个平行平面内的多面体）可以用辛普森（Simpson）公式V人（&+4S。+ S2）求体积，其中是高，S1是上底面面积，§2是下底面面积，S。是6中截面（到上、下底面距离相等的截面）面积.如下图，在五面体MCDEb中，底面A3CZ）是边长为2的正方形，EF = 1,且直线石尸到底面ABC。的距离为2,那么该五面体的体积为（）体的体积为（）B-1C. 3D.10T【答案】D【答案】D【分析】根据题意,得到/i = 2, E=0, S? =2x2 = 4及中截面面积S0,代入公式求解即可.【详解】由题意得：h = 2,，=（）, S2=2x2 = 4,分别取8£。£。石）石的中点顺次连接，得到截面G"K7为中截面，且为1 + 2 3长方形，边长为gj = kh=f = 5, kj = hg=',33所以5。=5'1 =5,所以丫=为3+4邑+ 52）=n2*oo所以丫=为3+4邑+ 52）=n2*oo(3 、0+4x二+4I2 )10T应选：D22.双曲线C*-南=1（。，“。）的离心率为枝，耳，鸟分别为。的左、右焦点，过耳的直线与C的左支交于A 8两点，假设I AB |的最小值为4,那么aABF?周长的最小值为（）A. 8B. 12C. 16D. 24【答案】C22【分析】根据双曲线的离心率可得/=/,那么双曲线的方程为二二=1（。0）,设直q- aABx = my-y/2a,设义与心以,为），将直线方程代入双曲线方程化简利用根与系数的关系，结合弦长公式可求出I A31的最小值，从而可求出。，表示出乙的周长结合双曲线的定义可求出其最小值.【详解】因为双曲线为捺-2=130力0）的离心率为所以工=0,得c = ea， a所以/ = 2a之,q? + / = 22,所以/ = ，22所以双曲线方程为1 = 1（"。）， a a所以£（r伤。,0）,耳（血。,0）,设直线AB为x = my -垃a，设&芭，乂）,3（工2,%），%2>(m2 - l)y2 - 2l2amy += 0 ,x - 二 q-匚匚 I、12f2ama2所以x+)'2=k'所以| A5|= J1 +."(y +%)24,%因为直线与C的左支交于A3两点,<0,得一Ivmvl, m2-l令 / = 1 一加2 ,那么 0 < % < 1 ,所以 |A. 二 2a（：T）=?_2a,所以当，=1时，|A到取得最小值2%所以2a = 4,得4 = 2,因为的周长为|45|+|里|+忸E|=|AB| + 2 + |A制+ 2 +忸娟=4 +21ABi所以|A8|最小值时，"*2的周长取得最小值，即为4a +4a = 8 = 16,应选：C7.从装有。个红球和b个蓝球的袋中（。，人均不小于2）,每次不放回地随机摸出一球.记“第一次摸球时摸到红球”为4, “第一次摸球时摸到蓝球”为右； “第二次摸球时摸到红球”为耳，“第二次摸球时摸到蓝球”为星，那么以下说法错误的选项是（）A. P（BJ =弟B.尸（4la）+P（囚 4）=1C. P（Bj） + P（B2） = lD. P（B2| A）+ P（ 4） = 1【答案】D【分析】结合条件分别求出P（A）, P（A?）, P（B） , 2不）可判断A和c是否错误;然后利用条件概率分别计算p（4l 4）,尸（见4），P（后4）可判断B和D是否错误.【详解】由题意可知，p（4）=7，p（a2）= -9 a+ba+ba a b a aa + b- a + b a-b-l a + bb h b- bp（4）= p（A4）+ p（&g）= -=-p（b2）= p（AB2） + p（a2b2）=p（b2）= p（AB2） + p（a2b2）=1=a + h q + -1 q + Z7 q + 一1 a-h从而24）+ 2员）=1,故AC正确;a a-1又因为p（图4）=p（4）P（ABJ _ a + b a + b-1 _ 1a-b尸A)=。(432)_ + 方 +9p(A)ab-故p(4l A)+p(网 a) = i,故b 正确;b aP(B.| 4)=如& =4也£±生4V 1-)P(4)ba + b故。a)+尸4)= +二景故D错误.应选：D.8 .定义在R上的函数了满足尸(1 x) = »1 + x), /(x l) = /(x + D,当X£O,1时, /(x) = -x+1,那么方程4(x) = elnx在(0,4)上解的个数为()A. 3A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】Bp In Y【分析】首先将问题转化为x)与 > =外上在(。，4)上的交点个数，然后根据/(x)的对 Xa In y称性和周期性以及条件作出/(x)的图像，再利用导函数作出y =的大致图像, X结合图像即可求解.piny【详解】由题意可知，方程犷(%) = elnx在(0,4)上解的个数可转化为了与尸在 x(。，4)上的交点个数， 因为H1 X)=尸(1 + X),所以/的图像关于x = l对称;又由/d) = "x+l),故/(x) = /(x + 2),从而/(幻是周期为2的周期函数,又由)，=又由)，=elnxx可得，)；=e(l-ln x)从而 y>0=>0<x<e； y<0nxe,e In y故 =在(0，e)上单调递增，在(e,+8)单调递减,且Wax=e=l, X当 X £ 0,1时,f(x)= 一% + 1 ,a |n r故/(x)与y =之尸在(0,4)上的图像如下：p In r从而f(x)与y =在(0,4)上的交点个数为4, x故方程4。) = eIn x在(0,4)上解的个数为4.应选：B.二、多项选择题.以下图为2022年8月5日通报的14天内31省区市疫情趋势，那么以下说法正确的选项是()A.无病症感染者的极差大于400方差C.实际新增感染者的平均数小于389641A.无病症感染者的极差大于400方差C.实际新增感染者的平均数小于389641B.确诊病例的方差大于无病症感染者的D.实际新增感染者的第80百分位数为【答案】AD【分析】观察图表，逐一运算验证即可.【详解】由图表知无病症感染者的极差大于400,故A正确;由图表知无病症感染者的波动幅度明显大于确诊病例的波动幅度,故B错误；由图表数据计算实际新增感染者的平均数为4712故C错误；14x0.8 = 11.2,故实际新增感染者的第80百分位数为641,故D正确.应选：AD.9 .如下图，在正六边形A5CDE尸中，以下说法正确的选项是（）A. AC-AE = BFC. AD AB = AB |2【答案】BCD 3 B. AC + AE = -AD 2D.而在而上的投影向量为方【分析】根据图形，结合向量的线性运算及数量积运算，对选项逐一判断即可.因为MCDEb为正六边形，即每个内角都为120。LOU UUU UllU UUL UUU对于A, AC AE = EC =/3.3/，故A错误.对于B,连接那么ACE为等边三角形,设六边形边长为，C石中点33为M ,连接 那么 CE = W，AD = 2a. AM=-a,所以2AM=二4。22uinn um uuur 3 uum即 AC + AE = 2AM= AO,故 B 正确.2uuw uun uuin uun对于C,由B选项可知,AD AB= AD A8 cos60。= 2 ax = a2UUttlABUUttlAB=a2 9故C正确.UUUIUlUI对于D,因为A。=2 A3,所以而在丽上的投影向量为UUDAD -cos600UUttl ad uun m = AB故D,正确.应选:BCD.10 .如下图，设单位圆与1轴的正半轴相交于点4L0),以1轴非负半轴为始边作锐角a, B , a B，它们的终边分别与单位圆相交于点，A，P,那么以下说法正确的选项是A. AP的长度为。一，B.扇形。44的面积为4C.当4与重合时，MN = 2sin/?D.当a = f时，四边形0A4M面积的最大值为: 32【答案】ACD【分析】利用弧长公式判断A,利用扇形面积公式判断B,利用锐角三角函数判断C, 根据三角形面积公式及三角恒等变换公式化简，再根据正弦函 数的性质计算出面积最大值，即可判断D.【详解】解：依题意圆的半径i=1,乙4。4=尸，/AOP = a-B,乙4。4=。，所以A尸的长度为(。一万)=。一分，故A正确；因为/4。=。一/，所以扇形。A/的面积S = ；(a /?)/=；(a /?),故B错误； 当4与2重合时，即。 = /?,那么戊= 2/7,那么M用= 2sin£ = 2sin/?,故C正确；OAAiPl - *aAOAI +=|xlxbsin + 1xlxl.sin(-/?) =sin/ + sin(a-/?)=-sin/? + sin(6z-/7)因为二=9，所以=1 J乙因为二=9，所以=1 J乙cos/? = - -sin/7 +2 2V3Z> 1, o 兀 cosp =-sin P+sin + sin =一, =sin' + sin cos (3 - cos sin p所以当月+安?即£4时（sL斗故口正确,应选：ACD12.在正四面体ABC3中，假设AB = C，那么以下说法正确的选项是（）A.该四面体外接球的外表积为3万B.直线AB与平面BCD所成角的正弦值为"3C.如果点加在。上，那么40 + 3M的最小值为"D.过线段一个三等分点且与AB垂直的平面截该四面体所得截面的周长为 2#+ 203【答案】ACD【分析】结合正四面体的性质结合选项逐项分析即可求出结果.正四面体ABC。中，AB = 6,图中点。为外接球的球心，半径为R = Q4 = O3, 0、为3C。的外心,由于。F+00： =082,V2 _V2 _ V6 所以QB'/x国"耳二行，2又因为«A=273T所以="解得R等因此外接球的外表积为4 xV322=3兀，故A正确;