椭圆难点专项突破教案-高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册.docx

椭圆（难点突破）学习目标：1掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程2掌握椭圆的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率)3了解椭圆的简单应用4理解数形结合的思想考向预测·考情分析：椭圆方程，几何性质，如范围、对称性、顶点、离心率等，直线与椭圆的位置关系，定值、定点与存在性等综合问题，仍是高考考查的热点，题型仍将是选择题，填空题，解答题学科素养：通过椭圆的定义、标准方程的求解研究椭圆的几何性质及直线与椭圆的位置关系考查数学运算、直观想象的核心素养 必备知识基础落实赢得良好开端一、必记2个知识点1椭圆的定义条件结论1结论2平面内的动点M与平面内的两个定点F1，F2M点的轨迹为椭圆_为椭圆的焦点|MF1|MF2|2a(2a|F1F2|)_为椭圆的焦距2.椭圆的简单几何性质(a2b2c2)标准方程x2a2+y2b21(ab0)y2a2+x2b21(ab0)图形性质范围axabybbxbaya对称性对称轴：_对称中心：_顶点A1_，A2_B1_，B2_A1_，A2_B1_，B2_性质轴长轴A1A2的长为_短轴B1B2的长为_焦距|F1F2|_离心率eca_a，b，c的关系_二、必明4个常用结论1P是椭圆上一点，F为椭圆的焦点，则|PF|ac，ac，即椭圆上的点到焦点距离的最大值为ac，最小值为ac.2椭圆的通径(过焦点且垂直于长轴的弦)长为2b2a，通径是最短的焦点弦3P是椭圆上不同于长轴两端点的任意一点，F1，F2为椭圆的两焦点，则PF1F2的周长为2(ac)4设P，A，B是椭圆上不同的三点，其中A，B关于原点对称，则直线PA与PB的斜率之积为定值b2a2.考点突破掌握类题通法考点一椭圆的定义及应用综合性 例1(1)已知P是椭圆x25y225上一点，F1，F2为椭圆的左，右焦点，且|PF1|7，则|PF2|()A1 B3C5 D9(2)设F1，F2是椭圆 x249+y2241的两个焦点，P是椭圆上的点，且F1PF260°，则F1PF2的面积为_反思感悟椭圆定义的应用技巧椭圆定义的应用主要有两个方面：一是确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆；二是当P在椭圆上时，与椭圆的两焦点F1，F2组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长，利用定义和余弦定理可求|PF1|·|PF2|，通过整体代入可求其面积等考点二椭圆的标准方程综合性例2(1)江苏省苏州中学月考已知椭圆C：x2a2+y2b21(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为33，过F2的直线l交C于A，B两点，若AF1B的周长为43，则椭圆C的方程为()Ax23y21 Bx23+y221Cx212+y281 Dx212+y241(2)椭圆C的焦点分别为F1(1，0)，F2(1，0)，直线l与C交于A，B两点，若AF12F1B，AF2 ·F1F20，则C的方程为()Ax22y21 Bx23+y221Cx24+y231 Dx25+y241反思感悟求椭圆的标准方程的步骤考点三椭圆的几何性质综合性角度1求椭圆的离心率例3(1)安徽蚌埠高三开学考试已知椭圆x2a2+y2b21(a>b>0)的右顶点为A，坐标原点为O，若椭圆上存在一点P使得OAP是等腰直角三角形，则该椭圆的离心率为()A33B22 C63D32(2)2022·昆明市云南师大附中高三月考已知椭圆x2a2+y2b21(a>b>0)，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，若椭圆上存在一点P，使得|PF1|PF2|2b，则该椭圆离心率的取值范围为()A0，12 B12，1C(0，22 D22，1)反思感悟求椭圆离心率或其取值范围的方法(1)求出a，b或a，c的值，代入e2c2a2a2b2a21ba2直接求(2)先根据条件得到关于a，b，c的齐次等式(不等式)，结合b2a2c2转化为关于a，c的齐次等式(不等式)，然后将该齐次等式(不等式)两边同时除以a或a2转化为关于e或e2的方程(不等式)，再解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)角度2最值(或范围)问题例4(1)2021·全国乙卷设B是椭圆C：x25y21的上顶点，点P在C上，则|PB|的最大值为()A52 B6C5 D2(2)已知椭圆x24+y2b21(0<b<2)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交椭圆于A，B两点，若|BF2|AF2|的最大值为5，则b的值是_反思感悟求解最值、取值范围问题的技巧(1)与椭圆几何性质有关的问题要结合图形进行分析，即使画不出图形，思考时也要联想到一个图形(2)椭圆的范围或最值问题常常涉及一些不等式例如，axa，byb，0<e<1，在求椭圆的相关量的范围时，要注意应用这些不等关系(3)最值问题，将所求列出表达式，构造基本不等式或利用函数单调性求解考点四直线与椭圆的位置关系综合性例52020·全国卷已知椭圆C：x225+y2m21(0<m<5)的离心率为154，A，B分别为C的左、右顶点(1)求C的方程；(2)若点P在C上，点Q在直线x6上，且|BP|BQ|，BPBQ，求APQ的面积反思感悟1判断直线与椭圆位置关系的四个步骤第一步：确定直线与椭圆的方程第二步：联立直线方程与椭圆方程第三步：消元得出关于x(或y)的一元二次方程第四步：当>0时，直线与椭圆相交；当0时，直线与椭圆相切；当<0时，直线与椭圆相离2直线被椭圆截得的弦长公式设直线与椭圆的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|1+k2x1+x224x1x2 1+1k2y1+y224y1y2(k为直线斜率).椭圆难点突破专项练习1已知焦点在x轴上，中心在原点，离心率为的椭圆经过点M（2，1），动点A，B（不与点M重合）均在椭圆上，且直线MA与MB的斜率之和为1（）求椭圆的方程；（）证明直线AB经过定点，并求这个定点的坐标2椭圆E：+1（ab0）的焦点到直线x3y0的距离为，离心率为，抛物线G：y22px（p0）的焦点与椭圆E的焦点重合；斜率为k的直线l过G的焦点与E交于A，B，与G交于C，D（1）求椭圆E及抛物线G的方程；（2）是否存在常数，使为常数，若存在，求的值，若不存在，说明理由3已知椭圆）的右焦点为F，点A（a，0）与点B（0，b）是椭圆的顶点，（）求椭圆C的离心率e；（）设以离心率e为斜率的直线l经过点A，与椭圆C相交于点P（点P不在坐标轴上）（）证明：点F在以线段AP为直径的圆上；（）+8，求椭圆C的方程4如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：1（ab0）的离心率e，左顶点为A（4，0），过点A作斜率为k（k0）的直线l交椭圆C于点D，交y轴于点E（1）求椭圆C的方程；（2）已知P为AD的中点，是否存在定点Q，对于任意的k（k0）都有OPEQ，若存在，求出点Q的坐标；若不存在说明理由；（3）若过O点作直线l的平行线交椭圆C于点M，求的最小值5已知椭圆C：（ab0）的短轴长为4，离心率为（）求椭圆C的标准方程；（）设椭圆C的左，右焦点分别为F1，F2，左，右顶点分别为A，B，点M，N为椭圆C上位于x轴上方的两点，且F1MF2N，记直线AM，BN的斜率分别为k1，k2，若3k1+2k20，求直线F1M的方程6在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：1（ab0）的离心率为，直线yx被椭圆C截得的线段长为（1）求椭圆C的方程；（2）过原点的直线与椭圆C交于A、B两点（A，B不是椭圆C的顶点），点D在椭圆C上，且ADAB，直线BD与x轴y轴分别交于M，N两点设直线BD，AM斜率分别为k1，k2，证明存在常数使得k1k2，并求出的值；求OMN面积的最大值7已知椭圆C：+1（ab0）上的点到它两个焦点的距离之和为4，以椭圆C的短轴为直径的圆O经过两个焦点，点A，B分别是椭圆C的左、右顶点（）求圆O和椭圆C的方程；（）设P，Q分别是椭圆C和圆O上的动点（P，Q位于y轴两侧），且直线PQ与x轴平行，直线AP，BP分别与y轴交于点M，N，试判断QM与QN所在的直线是否互相垂直，若是，请证明你的结论；若不是，请说明理由8已知椭圆C：+1（ab0）的短轴的一个顶点与两个焦点构成正三角形，且该三角形的面积为（1）求椭圆C的方程；（2）设F1，F2是椭圆C的左右焦点，若椭圆C的一个内接平行四边形的一组对边过点F1和F2，求这个平行四边形的面积最大值9已知椭圆C：1（ab0）的左、右焦点分别为F1、F2，且F2也是抛物线E：y24x的焦点，P为椭圆C与抛物线E在第一象限的交点，且|PF2|（1）求椭圆C的方程；（2）若直线yk（x1）与椭圆C交于R，S两点，问是否在x轴上存在一点T，使得当k变动时，总有OTSOTR？说明理由10如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：（ab0）的离心率为，右顶点为A，直线BC过原点O，且点B在x轴上方，直线AB与AC分别交直线l：xa+1于点E、F（）若点B（），求椭圆C的方程；（）若点B为动点，设直线AB与AC的斜率分别为k1，k2试探究：k1k2是否为定值？若为定值，请求出；若不为定值，请说明理由；求AEF的面积的最小值11已知椭圆C1：（ab0）的上顶点为A，离心率为抛物线C2：yx2+1截x轴所得的线段长为C1的长半轴长（）求椭圆C1的方程；（）过原点的直线l与C2相交于B，C两点，直线AB，AC分别与C1相交于P，Q两点证明：以BC为直径的圆经过点A；记ABC和APQ的面积分别是S1，S2，求的最小值12已知离心率为的椭圆C：（ab0）经过点（2，1）A，B，M为椭圆上三点，且满足|MA|MB|（）求椭圆C的方程；（）当A，B关于原点O对称时，是否存在定圆，使得AM恒与该定圆相切，若存在，求出该定圆的方程，若不存在，说明理由13已知椭圆C的中心在原点，离心率等于，它的一个短轴端点恰好是抛物线x28y的焦点（1）求椭圆C的方程；（2）已知P（2，3）、Q（2，3）是椭圆上的两点，A，B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点，若直线AB的斜率为，求四边形APBQ面积的最大值；当A、B运动时，满足APQBPQ，试问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由14如图，已知椭圆（ab0）的左右顶点分别是A，B，离心率为，设点P（a，t）（t），连接PA交椭圆于点C，坐标原点是O（1）证明：OPBC；（2）设三角形ABC的面积为S1，四边形OBPC的面积为S2，若 的最小值为1，求椭圆的标准方程15如图，椭圆的右顶点为A（2，0），左、右焦点分别为F1，F2，过点A且斜率为的直线与y轴交于点P，与椭圆交于另一个点B，且点B在x轴上的射影恰好为点F1（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点P的直线与椭圆交于M，N两点（M，N不与A，B重合），若SPAM6SPBN，求直线MN的方程16设椭圆C：1（ab0）的左、右焦点分别为F1、F2，且A（a，0）、B（0，b）满足条件|AB|F1F2|（）求椭圆C的离心率；（）若坐标原点O到直线AB的距离为，求椭圆C的方程；（）在（）的条件下，过点P（2，1）的直线l与椭圆C交于M、N两点，且点P恰为线段MN的中点，求直线l的方程17已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率为，过椭圆的左焦点F且倾斜角为60°的直线与圆x2+y2相切（）求椭圆C的方程；（）若直线l：ykx+m与椭圆C交于不同的两点M，N（M，N是左、右顶点），若以MN为直径的圆恰好经过椭圆C的右顶点A，判断直线l是否过定点，若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由18已知平面直角坐标系中，点（4，0）到抛物线C1：y22px（p0）准线的距离等于5，椭圆C2：1（ab0）的离心率为，且过点（1）求C1，C2的方程；（2）如图，过点E（m，0）（m2）作椭圆C2的切线交C1于A，B两点，在x轴上取点G，使得AGEBGE，试解决以下问题：证明：点G与点E关于原点中心对称；若已知ABG的面积是椭圆C2四个顶点所围成菱形面积的16倍，求切线AB的方程19椭圆的中心在坐标原点，其左焦点F1与抛物线y24x的焦点重合，过F1的直线l与椭圆交于A、B两点，与抛物线交于C、D两点当直线l与x轴垂直时，（）求椭圆的方程；（）求过点F1、O（O为坐标原点），并且与直线（其中a为长半轴长，c为椭圆的半焦距）相切的圆的方程；（）求时直线l的方程20已知椭圆C：+1（ab0），且椭圆上的点到一个焦点的最短距离为b（）求椭圆C的离心率；（）若点M（，）在椭圆C上，不过原点O的直线l与椭圆C相交于A，B两点，与直线OM相交于点N，且N是线段AB的中点，求OAB面积的最大值21在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：1（ab0）的离心率为，点（2，1）在椭圆C上（1）求椭圆C的方程；（2）设直线l与圆O：x2+y22相切，与椭圆C相交于P，Q两点若直线l过椭圆C的右焦点F，求OPQ的面积；求证：OPOQ22已知椭圆C：+1（ab0）的离心率为，左右焦点分别为F1，F2，点A在椭圆C上，AF1F2的周长为6（）求椭圆C的方程；（）过点A作直线l与椭圆C的另一个交点为B，若以AB为直径的圆恰好过坐标原点O，求证：为定值23如图，椭圆E：+1（ab0）经过点A（0，1），且离心率为（）求椭圆E的方程；（）经过点（1，1），且斜率为k的直线与椭圆E交于不同两点P，Q（均异于点A），问直线AP与AQ的斜率之和是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，请说明理由24已知椭圆C的中心在原点，离心率等于，它的一个短轴端点恰好是抛物线的焦点（1）求椭圆C的方程；（2）已知P（2，3）、Q（2，3）是椭圆上的两点，A，B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点若直线AB的斜率为，求四边形APBQ面积的最大值；当A，B运动时，满足直线PA、PB与X轴始终围成一个等腰三角形，试问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由25椭圆G：+1（ab0）的对称中心是坐标原点O，其短轴的一个端点为B，焦点F（c，0）（c0），OBF为等腰三角形（）求椭圆的离心率；（）点N（0，3）到椭圆上的点的最远距离为5（i）求此时椭圆G的方程；（ii）设斜率为k（k0）的直线与椭圆G交于互异两点S，T，Q为线段ST的中点，问S，T两点能否关于过点P（0，）和Q的直线对称？若能，求出k的取值范围；若不能，说明理由参考答案与解析一、1F1，F2|F1F2|2x轴，y轴坐标原点(a，0)(a，0)(0，b)(0，b)(0，a)(0，a)(b，0)(b，0)2a2b2c(0，1)c2a2b2考点一例1解析：(1)对椭圆方程x25y225变形得，x225+y251，易得椭圆长半轴的长为5，由椭圆的定义可得，|PF1|PF2|2×510，又因为|PF1|7，所以|PF2|1073.(2)由题意得，a7，b26，c5，设|PF1|m，|PF2|n，则mn14，在F1PF2中，|F1F2|2m2n22mn cos F1PF2，则100(mn)22mn2mn cos 60°，解得mn32，SF1PF212mn sin 60°83.答案：(1)B(2)83考点二例2解析：(1)由题知：ca=334a=43a2=b2+c2a=3c=1b=2，所以椭圆C的标准方程为：x23+y221.(2)因为AF2 ·F1F20，所以AF2F1F2，过B作BCx于C，由AF12F1B知，AB过点F1，且AF12BF1，如图，所以BCF1AF2F1，设A(1，y0)，则B2，y02，代入椭圆方程可得1a2+y02 b214a2y02 4b21，解得a25，又c1，所以b24，所以椭圆的方程为x25+y241.答案：(1)B(2)D考点三例3解析：(1)OAP是等腰直角三角形，则P是直角顶点，所以Pa2，a2在椭圆上，所以a24a2+a24b21，a23b23(a2c2)，eca63.(2)PF1+PF2=2aPF1PF2=2b，所以|PF1|ab，又|PF1|ac，所以bc，1ecacb2+c222.答案：(1)C(2)D例4解析：(1)方法一设点P(x，y)，则根据点P在椭圆x25y21上可得x255y2.易知点B(0，1)，所以根据两点间的距离公式得|PB|2x2(y1)255y2(y1)24y22y6254(2y12)2.当2y120，即y14(满足|y|1)时，|PB|2取得最大值254，所以PBmax52.方法二因为点P在椭圆x25y21上，所以可设点P(5cos ，sin )易知点B(0，1)，所以根据两点间的距离公式得|PB|2(5cos )2(sin 1)24cos22sin24sin22sin6254(2sin 12)2.易知当2sin 120，即sin 14时，|PB|2取得最大值254，所以|PB|max52. (2)由椭圆的方程可知a2，由椭圆的定义可知，|AF2|BF2|AB|4a8，所以|AB|8(|AF2|BF2|)3，由椭圆的性质可知2b2a3.所以b23，即b3.考点四例5解析：(1)由题设可得25m25154，得m22516，所以C的方程为x225+y225161.(2)设P(xP，yP)，Q(6，yQ)，根据对称性可设yQ0，由题意知yP0.由已知可得B(5，0)，直线BP的方程为y1yQ(x5)，所以|BP|yP1+yQ2，BQ1+yQ2 .因为|BP|BQ|，所以yP1，将yP1代入C的方程，解得xP3或3.由直线BP的方程得yQ2或8.所以点P，Q的坐标分别为P1(3，1)，Q1(6，2)；P2(3，1)，Q2(6，8)|P1Q1|10，直线P1Q1的方程为y13x，点A(5，0)到直线P1Q1的距离为102，故AP1Q1的面积为12×102×1052.|P2Q2|130，直线P2Q2的方程为y79x103，点A到直线P2Q2的距离为13026，故AP2Q2的面积为12×13026×13052.综上，APQ的面积为52.椭圆难点突破练习1已知焦点在x轴上，中心在原点，离心率为的椭圆经过点M（2，1），动点A，B（不与点M重合）均在椭圆上，且直线MA与MB的斜率之和为1（）求椭圆的方程；（）证明直线AB经过定点，并求这个定点的坐标（）解：设椭圆，由离心率为，得，又因为a2b2+c2，所以a24b2.由M（2，1）在椭圆上可得，解得b22，a28所以椭圆G的方程为（）证明：当直线AB与x轴垂直时，设A（s，t）（s1），则B（s，t）由题意得：，即s0所以直线AB的方程为x0当直线AB不与x轴垂直时，可设直线AB为ykx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），将ykx+m代入得（1+4k2）x2+8kmx+4m280，所以，由已知可得，将y1kx1+m和y2kx2+m代入，并整理得（2k1）x1x2+（m2k+1）（x1+x2）4m0，将，代入，并整理得m2+（2k+1）m+4k20，可得（2k+m1）（m+2）0，因为直线AB：ykx+m不经过点M（2，1），所以2k+m10，故m2所以直线AB的方程为ykx2，经过定点（0，2）综上所述，直线AB经过定点（0，2）2椭圆E：+1（ab0）的焦点到直线x3y0的距离为，离心率为，抛物线G：y22px（p0）的焦点与椭圆E的焦点重合；斜率为k的直线l过G的焦点与E交于A，B，与G交于C，D（1）求椭圆E及抛物线G的方程；（2）是否存在常数，使为常数，若存在，求的值，若不存在，说明理由解：（1）设E、G的公共焦点为F（c，0），由题意得，联立解得所以椭圆E：，抛物线G：y28x（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4）直线l的方程为yk（x2），与椭圆E的方程联立，得（1+5k2）x220k2x+20k250400k420（5k2+1）（4k21）20（k2+1）0直线l的方程为yk（x2），与抛物线G的方程联立，得k2x2（4k2+8）x+4k20要使为常数，则20+4，得故存在，使为常数3已知椭圆）的右焦点为F，点A（a，0）与点B（0，b）是椭圆的顶点，（）求椭圆C的离心率e；（）设以离心率e为斜率的直线l经过点A，与椭圆C相交于点P（点P不在坐标轴上）（）证明：点F在以线段AP为直径的圆上；（）+8，求椭圆C的方程解：（）由题意可得F（c，0），A（a，0），B（0，b），所以|AF|a+c，|BF|a，因为，所以a（a+c），解得a2c，所以离心率为e（）由（）可知b2a2c23c2，所以B（0，c），椭圆的方程为+1，因为以离心率e为斜率的直线l经过点A，所以直线l的方程为y（x+2c），联立直线l与椭圆的方程得x2+cx2c20，所以xAxP2c2，即2cxP2c2，解得xPc，所以yP（c+2c），所以P（c，），（）所以（3c，0），（0，），所以0（）（3c，），（c，c），（2c，c），（c，c），因为+8，所以3c2c2+2c2+c23c28，解得c24，所以a24c216，b23c212，所以+14如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：1（ab0）的离心率e，左顶点为A（4，0），过点A作斜率为k（k0）的直线l交椭圆C于点D，交y轴于点E（1）求椭圆C的方程；（2）已知P为AD的中点，是否存在定点Q，对于任意的k（k0）都有OPEQ，若存在，求出点Q的坐标；若不存在说明理由；（3）若过O点作直线l的平行线交椭圆C于点M，求的最小值解：（1）椭圆C：1（ab0）的离心率e，左顶点为A（4，0），a4，又，c2（2分）又b2a2c212，椭圆C的标准方程为（4分）（2）直线l的方程为yk（x+4），由消元得，化简得，（x+4）（4k2+3）x+16k212）0，x14，（6分）当时，点P为AD的中点，P的坐标为，则（8分）直线l的方程为yk（x+4），令x0，得E点坐标为（0，4k），假设存在定点Q（m，n）（m0），使得OPEQ，则kOPkEQ1，即恒成立，（4m+12）k3n0恒成立，即，定点Q的坐标为（3，0）（10分）（3）OMl，OM的方程可设为ykx，由，得M点的横坐标为，（12分）由OMl，得（14分），当且仅当即时取等号，当时，的最小值为 （16分）5已知椭圆C：（ab0）的短轴长为4，离心率为（）求椭圆C的标准方程；（）设椭圆C的左，右焦点分别为F1，F2，左，右顶点分别为A，B，点M，N为椭圆C上位于x轴上方的两点，且F1MF2N，记直线AM，BN的斜率分别为k1，k2，若3k1+2k20，求直线F1M的方程解：（I）由题意可得：2b4，a2b2+c2联立解得：b2，c1，a3椭圆C的标准方程为：+1（II）A（3，0），B（3，0），F1（1，0），F2（1，0），设F1M的方程为：xmy1，M（x1，y1），（y10），直线F1M与椭圆的另一个交点为M（x2，y2）F1MF2N，根据对称性可得：N（x2，y2）联立，化为：（8m2+9）y216my640，y1+y2，y1y2，3k1+2k20，+0，即5my1y2+6y1+4y20，联立解得：y1，y2，y10，y20，m0y1y2，m±又m0，m直线F1M的方程为xy1，即2x+y+206在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：1（ab0）的离心率为，直线yx被椭圆C截得的线段长为（1）求椭圆C的方程；（2）过原点的直线与椭圆C交于A、B两点（A，B不是椭圆C的顶点），点D在椭圆C上，且ADAB，直线BD与x轴y轴分别交于M，N两点设直线BD，AM斜率分别为k1，k2，证明存在常数使得k1k2，并求出的值；求OMN面积的最大值解：（1）椭圆C：1（ab0）的离心率为，a24b2，设直线yx与椭圆交于P，Q两点，设P是直线与椭圆在第一象限的交点，直线yx被椭圆C截得的线段长为，P（，），+1，解得a2+b2，联立，解得a24，b21，椭圆方程为1证明：（2）设A（x1，y1），（x1y10），D（x2，y2），则B（x1，y1），直线AB的斜率，又ABAD，直线AD的斜率k，设直线AD的方程为ykx+m，由题意得k0，m0，联立，得（1+4k2）x2+8mkx+4m240，x1+x2，y1+y2k（x1+x2）+2m，由题意知x1x2，k1，直线BD的方程为y+y1（x+x1），令y0，得x3x1，即M（3x1，0），解得k2，则，存在常数，使结论成立解：直线BD的方程为y+y1（x+x1），令x0，得y，即N（0，），由知M（3x1，0），得OMN的面积S，|x1|y1|1，当且仅当|y1|时，等号成立，此时S取得最大值，OMN面积的最大值为7已知椭圆C：+1（ab0）上的点到它两个焦点的距离之和为4，以椭圆C的短轴为直径的圆O经过两个焦点，点A，B分别是椭圆C的左、右顶点（）求圆O和椭圆C的方程；（）设P，Q分别是椭圆C和圆O上的动点（P，Q位于y轴两侧），且直线PQ与x轴平行，直线AP，BP分别与y轴交于点M，N，试判断QM与QN所在的直线是否互相垂直，若是，请证明你的结论；若不是，请说明理由解：（）由题意可得，解得a2，bc，所以圆O的方程为x2+y22，椭圆C的方程为+1（）QMQN证明：设P（x0，y0）（y00），Q（xQ，y0），则，即，又由AP：y（x+2）得M（0，），由BP：y（x2），得N（0，），所以（xQ，y0）（xQ），（xQy0）（xQ，），所以xQ2+2y02+0，所以QMQN8已知椭圆C：+1（ab0）的短轴的一个顶点与两个焦点构成正三角形，且该三角形的面积为（1）求椭圆C的方程；（2）设F1，F2是椭圆C的左右焦点，若椭圆C的一个内接平行四边形的一组对边过点F1和F2，求这个平行四边形的面积最大值20（本小题满分12分）解：（1）椭圆C：+1（ab0）的短轴的一个顶点与两个焦点构成正三角形，且该三角形的面积为，依题意，解得a2，b，c1，椭圆C的方程为：（5分）（2）设过椭圆右焦点F2的直线l：xty+1与椭圆交于A，B两点，则，整理，得：（3t2+4）y2+6ty90，由韦达定理，得：，|y1y2|，椭圆C的内接平行四边形面积为S4SOAB，令m1，则Sf（m），注意到Sf（m）在1，+）上单调递减，Smaxf（1）6，当且仅当m1，即t0时等号成立故这个平行四边形面积的最大值为6（12分）9已知椭圆C：1（ab0）的左、右焦点分别为F1、F2，且F2也是抛物线E：y24x的焦点，P为椭圆C与抛物线E在第一象限的交点，且|PF2|（1）求椭圆C的方程；（2）若直线yk（x1）与椭圆C交于R，S两点，问是否在x轴上存在一点T，使得当k变动时，总有OTSOTR？说明理由解：（1）F2也是抛物线E：y24x的焦点，F2（1，0），c1，且抛物线的准线方程为x1，设点P（x0，y0）|PF2|，x0+1，x0，y0，+1，a2b2c21，解得a24，b23，椭圆方程为+1，（2）假设存在T（t，0）满足OTSOTR设R（x1，y1），S（x2，y2）联立得（3+4k2）x28k2x+4k2120，由韦达定理有x1+x2，x1x2，其中0恒成立，由OTSOTR（显然TS，TR的斜率存在），故kTS+kTR0即+0，由R，S两点在直线yk（x1）上，故 y1k（x11），y2k（x21），代入整理有2x1x2（t+1）（x1+x2）+2t0，将代入即有：0，要使得与k的取值无关，当且仅当“t4“时成立，综上所述存在T（4，0），使得当k变化时，总有OTSOTR10如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：（ab0）的离心率为，右顶点为A，直线BC过原点O，且点B在x轴上方，直线AB与AC分别交直线l：xa+1于点E、F（）若点B（），求椭圆C的方程；（）若点B为动点，设直线AB与AC的斜率分别为k1，k2试探究：k1k2是否为定值？若为定值，请求出；若不为定值，请说明理由；求AEF的面积的最小值解：（I）由题意可得：，1，a2b2+c2，联立解得a28，b2c，椭圆C的方程为：+1（II）k1k2为定值设B（x0，y0），C（x0，y0）.+1由，a2b2+c2，可得a22b2则k1k2设直线AB的方程为：yk1（xa），直线AC的方程为：yk2（xa），令xa+1，则yEk1，yFk2，SAEF|EF|×1|k2k1|，由图形可得：k10，k20，k1k2SAEF（k2k1）×，当且仅当k2k1时取等号AEF的面积的最小值为11已知椭圆C1：（ab0）的上顶点为A，离心率为抛物线C2：yx2+1截x轴所得的线段长为C1的长半轴长（）求椭圆C1的方程；（）过原点的直线l与C2相交于B，C两点，直线AB，AC分别与C1相交于P，Q两点证明：以BC为直径的圆经过点A；记ABC和APQ的面积分别是S1，S2，求的最小值解：（）已知抛物线C2：yx2+1中，令y0，解得x±1，a2，（1分）又e，则c，从而b2a2c21，椭圆C1的方程为：； （2分）（）直线l的斜率显然存在，设l方程为ymx由，整理得x2+mx10，设B（x1，y1），C（x2，y2），x1+x2m，x1x21 （4分）由已知A（0，1），所以（x1，y11），（x2，y21），x1x2+（y11）（y21）（1+m2）x1x2m（x1+x2）+10，故以BC为直径的圆经过点A； （6分）设直线AB：ykx+1，显然k0，由，解得：x0或xk，B（k，1k2），则|AB|k|，（8分）由知ABAC，直线AC：yx+1，则|AC|，（9分）由，得（1+4k2）x2+8kx0，解得x0或x，P（，），则|AP|，（11分）由知，直线AC：y+1，|AQ|，（12分）则（4k2+17），当且仅当k±1时等号成立，即最小值为（14分）12已知离心率为的椭圆C：（ab0）经过点（2，1）A，B，M为椭圆上三点，且满足|MA|MB|（）求椭圆C的方程；（）当A，B关于原点O对称时，是否存在定圆，使得AM恒与该定圆相切，若存在，求出