圆锥曲线经典复习题.docx
圆锥曲线复习题1.己知4（一2, ,8（1, 0）,椭圆C：x2 .y2 _滔+/一l（a>b>0）经过点A且焦距为4.（1）求椭圆。的方程;（2）过椭圆C的右焦点的直线L与椭圆。交于M, N两点，求|扇+俞|的最小值；（3）如图是椭圆C旋转一定角度的图形，请写出一种尺规作图方案以确定其对称中心的 位置，并在图中画出来，（不必说明理由）.【分析】（1）根据题意，先分析椭圆的焦点坐标，由椭圆的定义2=尸认|+尸源|,求出。的值，进而求出力的值，即可得答案，（2）根据题意，设N（r,线段MN的中点为P（.ro,川），则有+ BN =2BP,分直线L不垂直于x轴与直线L垂直于x轴两种情况讨论，分析可得2和2-.w2+Zw , 将 其代入|晶 +俞| =中 可 得 丽+ 而 =2BP =2V（x0 - l）2 + （y0 - l）2 = V2（x0-l）2 + 2,分析可得答案，（3）由椭圆的几何性质，先做两组平行的弦AB/CD, AE/DG,再作出弦的中点，连 接一对平行弦的中点即可得椭圆的中心.【解答】解:（1）根据题意，椭圆C： 各祭=1（°>5>0）,其焦点在x轴上，焦距为4,则c=2,则焦点的坐标为Fi （ -2, 0）, F1 （2, 0）,椭圆 C经过点 A,则 2a=FA+FiA= V6T2 + V16T2 =4&,则有 a=2yf2,则序=2 - c2=2,%2 y2故椭圆的方程为+ =1:84（2）设 yi）, N（r, ”），线段 MN 的中点为。（xo,"），则|晶 +晶| = 2BP,当直线L不垂直于x轴时，设直线L的斜率为七则直线L方程为y=4（x-2）,则有k, 2x0 = +x2, 2yo =%+乃，人2人1卜2y12而 十丁 = 1 皿42日（x1-x2）（x1+x2）（ （yi+y2）（yi+y2）八97,两式相减可得： +=0,里+应=184I 8 十 41变形可得争+半xk=0,则有攵=一萼， 842yo又中点尸（刈，）2在直线L （即MN）上，所以卯=女（a-o-2）,则州=一守（刈-2）,变形可得2）X）2= - Ao2+2.ro,当直线L垂直于x轴时，直线L经过点尸2,此时M（2,企），N（2, -V2）,其中点P为（2, 0）,也满足上式. 综合可得：2w2= - .w2+2xo»BM + BN = 2BP =2V（x0 - l）2 + （y0 - l）2 = 72（%0 - l）2 4- 2 > VL当M=1时，等号成立，即|扇+僦/|的最小值为VL（3）作图方案步骤如下：如图所示：先做两组平行的弦/WCQ, AE/DG,再分别作出四弦的中点M, N, P, Q,连接MM PQ,作直线MM尸Q的交点O,。即为所求.【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系，涉及椭I员I的几何性质以及标准方程的计算, 属于难题.2.已知经过圆Ci：上点（jo,和）的切线方程是xar+yoy=J.y2（1）类比上述性质，直接写出经过椭圆C2: + =1 （fl>/?>0）上一点（X0,和） a2 b2的切线方程；x2（2）已知椭圆氏 + y2=, P为直线x=3上的动点，过P作椭圆E的两条切线, 6切点分别为A、B，求证：直线AB过定点.3/5当点P到直线AB的距离为一时，求三角形PAB的外接圆方程.【分析】（1）利用类比推理，直接写出结果即可.（2）设切点为人（用，*），B （必*）,点P（3, /）,写出入P直线方程，8P直线方程， X推出A, 8满足方程：- + ty = 1,得到更线4B恒过点（2, 0）,通过点尸（3, /）到直线A8的距离为千，求解t,当,=1时，转化求解PAB的外接圆方程，当/= - 1时，求 解三角形附B的外接圆方程.【解答】解：（1）切线方程为：= 1. al匕2（2）设切点为4 （xi, ”），B（X2, ”），点、P （3, /）,由（1）的结论的AP直线方程：- + y y = 1, BP直线方程：- +为y = 1,616/E咨+ %Xt=lX，,A, 8满足方程：-+ ty = 1, 部+%'"12直线48恒过点：色一 1 = °即直线43恒过点（2,（）.ly = 0又已知点P （3, /）到直线AB的距离为亭.号丝导 =5 Vl+4t2 5nS/4"- 1=0, （5/2+1） （r2- I） =0, A/=±l.当f=l时，点P（3, 1）,直线48的方程为：x+2y - 2=0.。求得交点A（0, 1）, B（.,漳），p 1）.（E + F = -1设网8的外接圆方程为：+y+Dx+EyF=0,代入得3。+ E +/=-10 ,（12D - E + 5F = -29解得：加8的外接圆方程为?+j2 - 3x - 2v+l=0即aRW的外接圆方程为：（x-1）2 + （y-l）2 =1.【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，切线方程的求法，类比推理思想方法的应用，是中档题.x23.如图，已知椭圆C： + / = 1,过点尸（0, ?）的直线/与椭圆C相切于第 4一象限的点M，O是坐标原点，PN1.OM于N.（I ）求点M的坐标（用机表示）；（II ）求|OM+2|ON的取值范围.【分析】（I ）设直线/： y=h+?，a<o）,联立椭圆的方程，得关于x的一元二次方程,由=(),得k =由=(),得k =小加2-1,结合韦达定理可得出M点坐标.（II）由（I ）可得OM： x-2Vm2-l-y = 0, P （0, ?），由点到直线的距离公式可得IPNI，由勾股定理可得ON,由两点之间的距离公式可得|OM，再利用对勾函数，即可得出答案.【解答】解：（【）设直线/： y=la+m,（左<0）,y = kx + my = kx + m由方程组x2匕+ /消去 y 得(1+4/)/+8如a+4 (m2 - 1) =0,所以= 16 (- +49+1) =0,得4必+1=序,即=_而 I2xm 由韦达定理可得Y 2 XM2xm 由韦达定理可得Y 2 XM解得xw=rn2x/m2-l 1所以M点坐标为（，）.m m(II )由(I)可得 OM： x 217n2 _ 1 . y = 0, P (0, ?),所以 |PN|=",J 4m23所以|0M=Jm2 一萼空2 n 4m-3又因为|0M|= J噜故 1。叼+2|。"1 =厩3+2第5，而由机1得：J"?七(1, 2),故QM+2IO川的取值范围是2&, 3).【点评】本题考查直线与椭圆的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题.
