2022-2023学年人教A版选择性必修第三册 第六章6.2.4 组合数的综合应用 学案.docx

组合数的综合应用新课程标准能够结合具体实例.理解 组合与两个计数原理的 关系.并能够运用组合解 决简单的实际问题.学业水平要求.进一步理解组合的概念.掌握一些组合问题的常用解决方法. （数学建模）1 .能应用组合知反解决简单的实际问题.（数学建模、逻辑推理）.掌握几种布限制条件的组合的解法.（逻辑推理）关键能力合作学习类型一 简单的组合问题（数学建模）题组训练、1 . （2020新高考全国I卷）6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者, 每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆 安排3名，则不同的安排方法共有（）A . 120 种 B . 90 种 C . 60 种 D . 30 种【解析】选C.甲场馆安排1名有种方法，乙场馆安排2名有种 方法，丙场馆安排3名有种方法，所以由分步乘法计数原理得不 同的安排方法共有心弓二60种.2.算盘是中国传统的计算工具，其形长方，周为木框，内贯直柱， 俗称档"档中横以梁，梁上两珠，每珠作数五，梁下五珠，每珠作 数一.算珠梁上部分叫上珠，梁下部分叫下珠.例如：在十位档拨上 一颗上珠和一颗下珠，个位档拨上一颗上珠，则表示数字65.若在个、 十、百、千位档中随机选择一档拨一颗上珠，再随机选择两个档位各 拨一颗下珠,则所拨数字有 种可能.【解析】依题意得所拨数字共有C；第二24种可能.答案：24子的编号相同时，用局部列举法可知其余3个球的投放方法有2种， 故共有C>2=8种放法.先从四个盒子中选出三个盒子放球，再从三个盒子中选出一个盒子 放入两个球，余下两个盒子各放一个.由于球是相同的，即没有顺序， 所以属于组合问题，故共有C： C；=12种放法.先将编号为1,2,3 , 4的4个盒子分别放入0 , 1 , 2 , 3个球，再把剩下的14个球分成四组，即在。0。0。0。0。0这14个球中间的13个空中放入三块隔板，共有% = 286种放法，如OO|OOOOO|OOO|OOOO ,即编号为1 ,2 ,3 ,4的盒子分 别放入2 , 6 , 5 , 7个球.解题集略.分组、分配问题的求解策略分组问题属于组合问题，常见的分组问题有三种.完全均匀分组，每组的元素个数均相等；部分均匀分组，应注意不要重复，若有n组均匀，最后必须除以n !； 完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象.(2)分配问题属于排歹问题.分配问题可以按要求逐个分配，也可以分组后再分配.1 .相同元素分配问题的建模思想隔板法：如果将放有小球的盒子紧挨着成一行放置，便可看作排成 一行的小球的空隙中插入了若干隔板，相邻两块隔板形成一个盒.每一种插入隔板的方法对应着小球放入盒子的一种方法，此法 称为隔板法.隔板法专门解决相同元素的分配问题.将n个相同的元素分给m个不同的元素（哈m），有种方法 可 描述为n-1个空中插入m - 1块板.题组训练,1 .编号为1,2, 3,4, 5, 6, 7的七盏路灯，晚上用时只亮三盏灯, 且任意两盏亮灯不相邻，则不同的开灯方案有（）A.60种 B . 20种 C . 10种 D.8种【解析】选C.四盏熄灭的灯产生的5个空档中放入三盏亮灯，即C1二 10.2.（2020全国高考II卷）4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动, 每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排 方法共有 种.【解析】因为4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动,每名同学 只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，所以先取2名同学看作 一组，选法有：C = 6.现在可看成是3组同学分配到3个小区, 分法有：A1 = 6.根据分步乘法原理， 可得不同的安排方法有6x6=36种.答案:36教师专用把5名专家分配到4 , B "三个集中医疗点，每个医疗点至少要分配1人，其中甲专家不去入医疗点，则不同分配种数为（）A.116【解析】选B根据题意,分2步进行分析:将5名医学专家分为3组,r2 r2若分为2,2,1的三组，有寸r2 r2若分为2,2,1的三组，有寸=15种分组方法，若分为3, 1,1的三组，有熊=10种分组方法，则有15 + 10 = 25种分组方法； 将分好的三组分派到三个医疗点，甲专家所在组不去4医疗点，有 2种情况，再将剩下的2组分派到其余2个医疗点，有2种情况,则 3个组的分派方法有2x2=4种情况,则有25x4=100种分配方法.课堂检测素养达标1 .一个口袋中装有大小相同的6个白球和4个黑球，从中取2个球, 则这两个球同色的不同取法有（）A . 27种 B.24种 C . 21种 D . 18种【解析】选C.分两类：一类是2个白球有玛二15种取法,另一类是2个黑球有C： =6种取法，所以取法共有15 + 6 = 21（种）.2 .从4艘驱逐舰和5艘护卫舰中任意选出3艘参加索马里护航任务, 其中至少要有驱逐舰和护卫舰各1艘的选法种数是（）A.140 B . 84 C . 70 D . 35【解析】选C.包括两种可能：2艘驱逐舰和1艘护卫舰，有C己种取法；1艘驱逐舰和2艘护卫舰，有&熊种取法.所以一共有C低+己低=70种.3 .（教材练习改编）甲、乙、丙3位同学选修课程，从4门课程中，甲 选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有（） A.36种 B,48种 C.96种 D.192种【解析】选C.甲选修2门有C： =6种选法，乙、丙各有C： 二4种选 法.由分步乘法计数原理可知，共有6x4x4 = 96种选法.4 .为深入贯彻实施党中央布置的精准扶贫计划，某地方党委政府 决定从4名男党员干部和3名女党员干部中选取3人参加西部扶贫， 若选出的3人中既有男党员干部又有女党员干部，则不同的选取方案 共有（）A .60 种 B.34 种 C.31 种 D . 30 种【解析】选D.根据题意，要求选出的3人中既有男党员干部又有女党员干部分2种情况讨论: 选出的3人为2男1女，有弓C； =18种安排方法，选出的3人为1男2女， 有C；6=12种安排方法,则有18 + 12 = 30种选法.5 .随着中国电子商务的发展和人们对网购的逐渐认识，网购鲜花速 递行业迅速兴起.佳佳为祝福母亲的生日，准备在网上定制一束混合 花束.客服为佳佳提供了两个系列，如下表：粉色系列黄色系列玫瑰戴安娜、粉佳人、糖果、桃红雪山假日公主、金辉、金香玉康乃馨粉色、小桃红、白色粉边火焰、金毛、黄色配叶红竹蕉、情人草、满天星散尾叶、桅子叶、更莺、银叶菊佳佳要在两个系列中选一个系列，再从中选择2种玫瑰、1种康乃馨、2种配叶组成混合花束则佳佳可定制的混合花束一共有 种.【解析】若选粉色系列有C种选法，若选黄色系列有C C &种选法，佳佳可定制的混合花束一共有C；亡+C： C = 54 + 54 = 108 种.答案：108关闭Word文档返回原板块3.(2021北京高二检测)生物兴趣小组有12名学生，其中正、副组长 各1名，组员10名.现从该小组选派3名同学参加生物学科知识竞 赛.如果正、副组长2人中有且只有1人入选，共有多少种不同的选派 方法？(2)如果正、副组长2人中至少有1人入选，且组员甲没有入选，共有 多少种不同的选派方法？【解析】根据题意，正、副组长2人中有且只有1人入选，其选法 有2种，在10名组员中任选2人，有Ch =45种选法，则有2x45 =90种选法.(2)根据题意,分2种情况讨论：正、副组长2人都入选，且组员甲没有入选，选派方法数为乙 =9 ；正、副组长2人中有且只有1人入选，且组员甲没有入选，选派方 法数为C； Cl = 72.则有9 + 72 = 81种不同的选法.解而略解简单的组合应用题的策略解简单的组合应用题时，首先要判断它是不是组合问题，组合问题 与排列问题的根本区别在于排列问题与取出元素之间的顺序有关，而 组合问题与取出元素的顺序无关.要注意两个基本原理的运用，即分类与分步的灵活运用.教师专用提醒：在分类和分步时，一定注意有无重复或遗漏.【加练固】有男运动员6名，女运动员4名，其中男、女队长各1名，选派5人外出比赛，在下列情形中各有多少种选派方法？ 男运动员3名，女运动员2名.（2）至少有1名女运动员.既要有队长，又要有女运动员.【解析】第一步：选3名男运动员，有Cl种选法.第二步：选2 名女运动员,有弓种选法.故共有Cl名=120（种）选法.（2）方法一（直接法）：至少有1名女运动员包括以下几种情况，1女4 男,2女3男,3女2男,4女1男.由分类加法计数原理知共有玛费 + C： G + C C + C； C = 246（种）选法.方法二（间接法）：不考虑条件，从10人中任选5人，有C；o种选法,其中全是男运动员的选法有ct种，故至少有1名女运动员的选法有-C =246（种）.当有女队长时，其他人选法任意，共有种选法；不选女队长时, 必选男队长，共有C：种选法，其中不含女运动员的选法有C：种， 故不选女队长时共有-C：）种选法.所以既有队长又有女运动员 的选法共有储+c£ -C? =191（种）.类型二与几何有关的组合应用题（数学建模）【典例】已知平面all平面6 ,在a内有4个点，在6内有6个点.过这10个点中的3点作一平面，最多可作多少个不同的平面？(2)以这些点为顶点，最多可作多少个三棱锥?中的三棱锥最多可以有多少个不同体积？四步内容理解题意条件：平面all平面6 ；在a内有4个点，在6内有6个点. 结论：过这10个点中的3点作一平面,最多口作多少个个同 的平面？以这些点为顶点，最多可作多少个三棱锥？其中最多可以有多 少个不同体积？思路探求依据二个点所在平面的情况分类计数；(2)依据顶点所在平面的情况分类计数；依据等底、等高的二棱锥的体积相等分类计数.书写表达所作出的平面有二类.a内1点，6内2点确定的平面，最 多有CC个.a内2点,6内1点确定的平面，最多有弓C 个a £本身，有2个.(i )故所作的平面最多有C： C +C C + 2=98(个).(2)所作的二棱锥有二类.a内1点，6内3点确定的三棱锥， 最多有c； C个.内2点，6内2点确定的三棱锥， 最多有C C个.a内3点，6内1点确定的三棱锥, 最多有C C个.解题先略故最多可作出的三棱推有cj c + CG + C： C = 194（个）.当等底面积、等高时，二棱锥的体积相等.（ii）所以体积不相同的三棱锥最多有C +c； +C C =114（个）.故 最多有114个体积不同的二棱锥.注意书写的规范性：（i ）平面a , 6本身容易忽视；（ii）解答第 问的关键是想清楚何时体积相等，明确体积不同的情况可分哪几 类图形多少的问题通常是组合问题，要注意共点、共线、共面、异反思面等情形，防止多算.常用直接法，也可米用排除法.解与几何有关的组合应用题的策略解决几何图形中的组合问题，首先应注意运用处理组合问题的常规 方法分析解决问题，其次要注意从不同类型的几何问题中抽象出组合 问题，寻找一个组合的模型加以处理.（2）在处理几何问题中的组合应用问题时，应先明确几何中的点、线、 面及构造模型，明确平面图形和立体图形中的点、线、面之间的关系， 将几何问题抽象成组合问题来解决.跟踪训练,如图,在以AB为直径的半圆周上，有异于A , B的六个点Q , C2 , C6 ,线段48上有异于A , B的四个点5 ,。2 ,。3 ,。4.c2C3C4Clc6A £>1 D2 Dy D4 B以这10个点中的3个点为顶点可作多少个三角形？其中含G点的 有多少个？以图中的12个点（包括A , 8）中的4个点为顶点，可作出多少个四 边形？【解析】方法一：可作出三角形+C，C； + Cl -Cj=116（个）. 方法二：可作三角形C；。- C；=116（个）.其中以G为顶点的三角形有 C =36（个）.可作出四边形玛+日C +C C =360（个）.教师 专用在NMON的边0M上有5个异于O点的点,ON上有4个异于。点的 点，以这10个点（含O）为顶点，可以得到多少个三角形？【思路导引】要想组成三角形，需找不在同一直线上的三点.因为O 为射线OM与射线ON的公共点，所以对O取与不取需进行讨论.【解析】方法一：（直接法）分几种情况考虑：以。为顶点的三角形中， 另外两个顶点必须分别在OM , ON上,所以有心C个；O不为顶 点的三角形中，两个顶点在OM上，一个顶点在ON上的有C”C；个； 一个顶点在OM上，两个顶点在ON上的有心&个.因为这是分类 问题所以用分类加法计数原理共有低& +低C +C = 5x4 + 10x4 + 5x6 = 90 个.方法二：（间接法）先不考虑共线顶点的问题，从10个不同元素中任取 3个点的组合数是C；。，但其中OM上的6个点（含O）中任取3个点 不能得到三角形QN上的5个点（含O）中任取3个点也不能得到三角 形，所以共可以得到得。-ci -Cl ）个三角形,即% -cl -Cl = 120 - 20 - 10 = 90 个.方法三：把O看成是OM边上的点，先从OM上的6个点（含O）中取 两点，ON上的4点（不含。）中取一点，有低C个三角形，再从OM 上的5点（不含O）中取一点，从ON上的4点（不含O）中取两点，可得 C <4个三角形,所以共有C C + C <4 = 15x4 + 5x6 = 90个.类型三组合应用中的分组分配问题（数学建模）角度1不同元素分组、分配问题【典例】有6本不同的书，按下列分配方式分配，则共有多少种不同 的分配方式？分成三组，每组分别有1本、2本、3本.（2）分给甲、乙、丙三人，其中一个人1本，一个人2本，一个人3 本.分成三组，每组都是2本.分给甲、乙、丙三人，每人2本.【思维导引】先从6本书中取出一本作为一组，再从剩余的5本中任取2本作为 一组，则其余3本为一组.（2）在分组的基础上进行排列即可.（3）先从6本书中取出2本作为一组，再从剩余的4本中任取2本作为一 组，则其余2本为一组，其中有重复，须除以用.(4)在中分组的基 础上排列即可.【解析】(1)分三步：先选一本有僦种选法，再从余下的5本中选两 本有种选法，最后余下的三本全选有C种选法.由分步乘法计 数原理知，分配方式共有C/C”田=60(种).(2)由于甲、乙、丙是不同的三个人，在问的基础上，还应考虑再 分配问题因此,分配方式共有禺分W分=360(种).先分三组，有C C；6种分法，但是这里面出现了重复，不妨记 六本书为A,B,C,D,E,F,若第一组取了 A , B ,第二组取了 C ,D ,第三组取了 E , F ,则该种方法记为伊8 , CD , EF)，但Q C： Q种分法中还有依B , EF , CD) , (CD , AB , EF) , (CD , EF , AB) t (EF , CD ,AB) , (EF , AB , CD),共Al种情况,而这A；种情况只能作为一种分= 15(种).、+ * 八_yC看 C G 法，故分配方式有一&在的基础上再分配即可，共有分配方式在的基础上再分配即可，共有分配方式*A1= 90(种).教师专用【变式探究】将本例中这6本不同的书分给甲、乙、丙、丁 4人，每人至少一本,则结果如何？【解析】这6本不同的书分给甲、乙、丙、丁 4人，每人至少一本, 则有(3 ,1,1, 1)和(2 ,2,1, 1)两种.当为(3 ,1,1, 1)时，有d种分组方法，所以有Cl A：=480种分组 方法；当为(2 , 2 , 1 , 1)时，有箸种分法，所以有箸 A：=1 080 种分法.综上，共有480 + 1 080 = 1 560种方法.角度2相同元素分配问题【典例】将4个编号为1,2,3 , 4的小球放入4个编号为1,2,3, 4的盒子中.每盒至多一球，有多少种放法？(2)每个盒内放一个球，并且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同， 有多少种放法？把4个不同的小球换成4个相同的小球，恰有一个空盒，有多少种 放法？把4个不同的小球换成20个相同的小球，要求每个盒内的球数不 少于它的编号数，有多少种放法？【思路导引】全排歹U问题,用排列数公式计数；(2)先确定哪个球的编号与盒子编号相同，再放其他球，分步计数； 先确定哪三个盒子放球，再确定哪个盒子放入两个球，余下两个盒 子各放一个，分步计数；转化为在14个球中间的13个空中放入三块隔板的放法问题.【解析】这是全排列问题，共有A； =24种放法.(2)1个球的编号与盒子编号相同的选法有心种，当1个球与1个盒