高等数学上学期期末考试试卷与答案四份.pdf

高等数学试卷（B 卷）答案及评分标准2004-2005 年度第一学期科目:高等数学 I班级:XX:学号:成绩:一、填空题（35 15）1、f xln(x2)的定义域是 _x32、lim(sin2xx sin1)2x 0 xx3、lim(13)xe3xxlim(13)xe3xx4、如果函数f(x)a sin x1sin 3x，在x处有极值，则 a2335、2 cos3 x(sin x1)dx423二、单项选择题（3515）1、当 x0时，下列变量中与 x2等价的无穷小量是（）A.1cos xB.x x2C.ex1D.ln(1 x)sin x2、设 f(x)在 xa 处可导,则下列极限中等于 f (a)的是(A)。A limf(a)f(a h)Blimf(a h)f(a h)h0h 0hhC lim f(a2h)f(a2h)f(a h)h0hf(a)D limh03h3、设在a,b上函数 f(x)满足条件 f x 0,f(x)0则曲线 yf x在该区间上（A.上升且凹的B.上升且凸的C.下降且凹的D.下降且凸的4、设函数fx具有连续的导数，则以下等式中错误的是（）bxA.df xxaf(x)dxf(x)B.dft)dta()ddxC.df(x)d xf(x)dxD.f(t)dtf(t)C）5、反常积分0A.发散xex2d x（）B.收敛于 1C.收敛于1D.收敛于212三、算题（6 848）1、求极限lim tan x3sin xx 0sin x2、求lim2x(2x)ln(sin x)23、求曲线xysin tcos2t在当 t处的切线方程和法线方程44、已知函数 y xsin x,x0，计算dydx5、求积分ex dxe6、求积分1ln xdxe7、计算曲线ysin x,0 x与x轴围成的图形面积，并求该图形绕 y 轴所产生的旋转体体积。8、计算星型线xa sin3 t,ya cos3 t,0 t2 ,a0的全长.四、求函数求 yx312x10的单调区间、极值点、凹凸区间、拐点（7）五、设 f(x)在 0，1上连续，且x0f(x),证明：方程 x0f(t)dt 1在0,1 上有且仅有一根（5）六、设 f(x)连续,计算dxt f(x2t )dt（5）2dx0et，t0七、设 f（t）t21t,计算：F（x）xf(t)d t（5）6，t0答案：一、填空题1、（2，3）（3，+）2、23、lim(13)exx3x4、25、2 cos3 x(sin x 1)dx243二、1、D2、A3、B4、A5、C三、计算题1、解：lim tan xsin x=lim 1cos x=1x 0sin3 xx0sin2x 224sin x1cosx2、解：limln(sin x)12=lim4(2x)=limcosxx(2 x)xx4(2x)=82223、解:当t曲线过点(2,0),由于d y22,442d x4所以,当t处的切线方程和法线方程分别为 :2y)2 2(x4212y(x2)1424、解:d yd(esin x ln x)esin xln xsin x(cos x ln xsin x)xsin x(cos x ln x)d xdxxx解:令ux,d x 2u d u,则:1解:令ux,d x 2u d u,则:15、令ux,d x2u d u,ex dx2eu d u 2(u 1)euc2(x 1)exc=2ueu du2ueu1ln x d xln x d x x ln x111d x x ln x1ed x 2e1ee16、解:1ln x dx=e1ee1e7、解:面积 ssin x d x 220体积微分元 dV2 x sin xdx1所求体积 V2 x sin xdx 2 xcos x02 cosxdx 423008、解:弧微分d s3a sin 2t d t22弧长 s203a sin 2t d t 6a2 sin 2t d t 6a4202e四、解:y 3x212,令 y 0,得驻点 x10,得点 x302,x221y 6x,令 y 由上可知:函数的单调增区间为 :(-,-2),(2,+);函数的单调减区间为 :(-2,2)函数的极大值点:(-2,26),极小值点(2,-6)凹区间为:(0,+),凸区间为:(-,0)1拐点为:(0,10)函数在x五、证:构造函数(x)x上连续 在区间内可导21f(t)d t 10,0,1,1(0)1,(1)f(x)d x 0,0由连续函数的零点定理知 ,存在 在(0,1)内使()0又因为(x)1 f(x)0所以函数在(0,1)的零点唯一.原命题得证.六、解:令:u x2t2,d u2t d t2dx20t f(x2t )d t=d 12 f(u)du x f(x2)七、解d x:当0d x2x时，xtxx0F(x)e d t e当x0txt21x 0 时，F(x)f(t)d ted t01t6d t 1 3 arctan x23122高等数学IV1 课程考试试卷（A 卷）学院专业班级学号 XX题一二三四五六七八阅卷总分号得教师分得分一、选择题（每小题3 分，共 12分）2(n)1、设f(x)(A)0 x03xx x,使f(0)存在的最高阶数n为（(D)3）2(B)1t(C)22、函数y(t 1)e dt有极大值点（）（C）x（A）x1（B）x11（D）x 0）3、已知函数f(x)的一个原函数是sin 2x，则xf(x)dx2x cos2x sin 2x C(C)2x sin 2x cos2 x C(A)4、x2是函数f(x)arctan12xsin 2xcos2xC(D)x sin2 x cos2 xC(B)的（）2x（A）连续点（B）可去间断点（C）第一类不可去间断点（D）第二类间断点得分二、填空题（每小题3 分，共 12分）1、函数yxex的图形的拐点是。2、曲线y1ex0e x2的渐进线是t2。3、设 f(x)x0dt，则2limh0f(x h)f(x h)h。4、lim (1x)x。得三、求下列极限（每小题6 分，共 12分）。分cos(ex21)1、lim1x 0tan3 x sin x。2、lim11。x 0ln 1 xx得四、计算下列微分或导数（每小题 6 分，共分1、y x arctan x ln 1 x2，求 dy。cosxdy2、若 y(sin x),求。3、xR costd2 y设。，求2yRsin tdx 18分）。得分五、计算下列积分（每小题6 分，共 18分）。1、1dx。x(1 x)2、求1dx。x(1 2ln x)3、1x2dx。01 x2得六、若0分x 1，证明不等式1x1 xe2 x（8分）。1得分 x2与直线七、设 D 为曲线 y求：(1)D 的面积 S；3x42 y 4 0所围成的平面图形 ,(2)D绕轴旋转一周所得的旋转体体积V（10分）得分八、求微分方程dy2ydxx 1x5(x 1)2的通解（10分）。高等数学 IV1 统考试题（A）答案及评分标准一、选择（每题3 分，共12 分）、B、D、A、C二、填空（每题3 分，共12 分）、(2,2e)2、y1、2e2x14、2e三、计算下列极限（每小题1、解：原式 =lim6 分，共 12 分）。（2 分）(e x241)2x02 xlim x4x 0（4 分）2x412（6 分）2、解：原式=lim xln(1x0 x)x ln(1 x)1lim xln(1x)x2x 0（3 分）limx 011x2 xlimx10 2x2x1x（3 分）四、求下列导数和微分（每小题1、解：dy6 分，共 18 分）。arc tan xx2x1x21xdx（3 分）arctanxdx（6 分）、解：y(ecos xlnsin x)（2 分）（4 分）（6 分）ecos x lnsin x(sin x ln sin x cot x cos x)=(sin x)cosx(sin x ln sin x cot x cos x)、解：解：dydxcot t（3 分）d2ydx2(cot)t11R sin3t（6 分）R sin t五、计算下列积分（每小题 6 分，共 18分）。1、解：1dx212d x（3 分）x(1 x)1(x)2arctanxc（6 分）2、解：1dx11d ln x(2分)x(1 2 ln x)1212ln xd(1 2ln x)20（4 分）11 2ln x ln|1 2ln x|c（6 分）23、解：令xsint,220(1原式=sint dt12(1cos 2t)dt分)（6 分）4六、解：即证(1)2 x(1)x0，（1 分）（2 分）x e令f(x)f(x)(1 x)e2 x(1 2x)e2x(1 x)，1，f (x)0,4xe2 x,（4 分）当 0 x 1时,f (x)f(x)f(x)且 f(0)0,f(x)0.（6 分）（8分）七、解：解 :曲线 y1且 f(0)20,f(x)0.x 与直线 3x 2 y 40 的交点为(2,1)和(4,4).(1分)(1)D=(2443x 41242(2)V(43x 42)2x2)dx13；(5分)122(x)dx485。(10 分)八、解：首先求对应的齐次方程的通解：dydxdyy2yx12dxx10（1 分）yc(x1)2（4 分）用常数变易法，把c变成 u(x)，即令1)2，则有2u(x)(x 1)y u(x)(xdydx（5 分）u(x)(x1)2（6 分）代入到原方程中得u(x)u(x)y 231(x1)2，两边积分得23(x1)2c，故原方程的通解为33(x 1)2c(x 1)2（8 分）（9 分）（10 分）高等数学 A 参考答案及评分标准考试科目：高等数学A 上考试班级：考试方式：闭卷命题教师：一、填空题（将正确答案填在横线上，本大题共 4 小题，每题 4分，共 16分）11已知当 x0时，(1ax2)31与 1cosx 是等价无穷小，则常数a。2xycost2t cost22t，则12 udycosudu(t 0)dx。13微分方程ydx(x24x)dy0的通解为。4edx。1 x(2 ln2x)二、选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中，本大题共 4小题，每题 4分，共 16分）1如果f(x)eax,x 0处处可导，则（0）。b(1 x2),x(A)ab1；f(x)在 x(B)a0,b1；(C)a 1,b0；(D)a2,b1。2函数yx0处连续，且取得极大值，则 f(x)在 x0处必有（）。(A)f(x0)0；(C)f(x0)(B)f (x0)00 或不存在；(D)f(x0)0 且 f(x0)0。3若ln xx为f(x)的一个原函数，则xf(x)dx（）。(A)ln xxC；(B)1 ln xx2C；(C)1C；(D)1 2 ln xxC。xx4微分方程y(A)ysin x的通解是(C3；)。cos x1 C1 x2C2 x2sin x(B)y cos x C1；(C)y1 C1 x2C2 x2C3；(D)y2sin 2x；三、解答下列各题（本大题共 2 小题，共 14分）1（本小题 7分）x0(et1t)dt2求极限 limx 04xsin x2（本小题 7分）设 y(x)(2 x)tan x2,(1x 1)，求 dy。2四、解答下列各题（本大题共 4 小题，共 28分）1（本小题 7 分）F(x)t(t4)dt，求F(x)的极值及F(x)在 1,5上的最值。x12（本小题 7分）求x31x2d x。3（本小题 7 分）ex2设 f(t)t21dx，计算 I10tf(t)dt。7 分4（本小题求积分3 47 分）arcsin xdx。1 2x(1x)五、解答下列各题（本大题共 3 小题，共 26分）1（本小题 9分）求由曲线 ye2 x，x轴及该曲线过原点的切线所围成平面图形的面积。2（本小题 9分）求微分方程 y4 y4 y3e2 x2x的通解。3（本小题 8 分）设 f(x)可导，且 f(0)0，F(x)xtn 1 f(xnt )dt，证明n0lim F(x)1 f(0)。x 0 x 2n2n答案：一、填空题1、a32、dyt3、(x 4)y42dx4I1arctan222二、选择题1、B2、C3、D4、A三、计算题x(et1 t)2 dtx(et1 t)2 dt1、解：lim00(ex1x)24lim54x0 x 0=xlim3分0 x sin xx5xlim2(ex1x)(ex1)2(ex1x)x3lim3x 0 x 020 x20 xlim(ex1x)lim ex11x 010 x22、解：取对数x020 x20ln ytanx ln(2 x)2 分2两边对 x求导：ysec2x ln(2 x)1tanx5 分y22x 22dy y dx(2x)tanxsec2ln(2 x)1xdx2xtan22x22四、1、解：F(x)t(t 4)dt x3272x2 分x133则 F(x)x24x，令 F(x)x24x0，解得 x0,x4F (x)2x 4，F(0)740，所以 x0 时，F(x)的极大值是；3CxF (4)4 0，所以 x 4 时，F(x)的极小值是25；35 分F(1)0，F(5)6，比较得 F(x)在 1,5上的最大值是73，最小值是25。2、解：令 xx3sin t，sin3 tcost1 1 x23tf(t)dt0t43d xcostdt(1 cos t)d cost2cost13cos t C5 分1x21 x233C101023、解：I112f(t)dt12t21)1f(t)011 2t0f(t)dt3 分23 41 21212t 2te dt1t4e11(e04、解：43 4 arcsinx1 2dx243 4arcsin x1 2dx2arcsinxd arcsin x 4分x(1x)23 41 2(1x)(arcsin x)714420五、1、解：设切点为(x0,e2 x0)，则切线方程ye2 x2e2 x0 (x x0)又切线过原点，将(0,0)代入得切点1,)，则切线 y2ex5 分0122 x2Se2xdx0(e2ex)dxe44r2、解：齐方程的特征方程r2齐方程的通解是 Y40，特征根 r1r22C1e2xC2 xe2 x4 分设非齐次方程的一个特解为y*解得 AAx2 e2 xBxC，代入原方程3x2e2 x21x1221 x2xn32,B1,C1，故 y*8 分22非齐次方程的通解 yC1e2 xC2 xe2 x3x 2e2x201；23、证明：令uF(x)xnntn，则 du1ntn 1dtx0t n 1f(xx0nt)dtnn f(u)dunx1nf(u)du0n3 分f(u)dunn1lim F(x)x 0limx0 x 2nnx2 nlim f(x)nx2nx 0n 2nx1lim f(x)f(0)2nxnx01 f(0)2n8 分课程名称：高等数学A(上)闭卷考试方式：课程类 别：必修注意事项：1、本试卷满分 100分。2、考试时间 120 分钟。题号一二三四五六七八得分得分评阅人一、单项选择题（在每小题的四个备选答案中，选出一个正确答3 分，案，并将正确答案的选项填在题后的括号内。每小题共 18 分）1.D；2 C；3 B；4 B；5 B；6 A。得分二、填空题（每小题 3分，共 18分）得分21.lim f(x)f(x)g(x)g(0)x 01；2x 11；3 (0,0),(3,12e3)x f(t)dt24y(50)x sin x 50cos x；5lim1x112；6y1sin x c三、计算下列各题（每小题5 分，共 30分）1.lim(cos x sin x)x 0 x1得分解：lim(cos xx0sin x)xlim e1xln(cos x sin x)x0sin x cos xlim ex 01e（2 分）cosxsin x（4 分）（5 分）2.已知 f(u)可导，yf ln(x1x2a2，求yxx222a2解y f ln(xxa)xx2a2x2a2)（4 分）1x2a2f ln(x（5 分）3.y(x)由方程yxey1确定，求 y.解：两边同时求导得：yeyxey y0yyeyxe1（2 分）2对上式两边同时求导得：即：(1 xe )y所以：yyxeyeyyeyyxe0y2e y3 yyy2yyxey y02exey 3xe )(1x211)(x 1)x212 ye(3 y)3y)(22 y（5 分）4(x2dx1解：1111x 1 dx1c1(x21)(x 1)dx2x1 dx21(x1)2dx（3分）1 ln|x2（5 分）1|x2xdx515 4x解：设514x t,x5t24,dxt2dt11（2 分）xdx54x1(t2（4 分）5)dt831(5t 1 t3)|131836（5 分）620 e2x cosxdx解：20 e2 x cos xdx1 e2x cos x|02（2 分）1222 x0 e sin xdx2121 1(e2 x sin x|0212222e2 xcos xdx)（4 分）020 e2x cos xdx（5 分）2 e5得分四设 f(x)2exaxx2bx1x00选择合适的 a,b，使得 f(x)处处可导。（本题 6 分）解：因为 f(x)在 x0 处连续，所以有lim(x2bxlim(2 exa)x 01)x0即a1（3 分）又因为 f(x)在 xlim 2exx 00 处可导，所以有lim(2 x b)x0即五.设 xb 2（6 分）0，常数a e，证明(ax)aaa x（本题 6分）得分解：设f(x)a ln(x a)(ax)ln a0（2 分）f(x)aln aax所以 f(x)单调减少，而 f(0)即(a x)a0，当 x0 时，f(x)f(0)（5 分）aa x（6 分）六设函数 f(x)ln sec x,x(,)，讨论函数的单调区间和函数图形的凹凸性22（本题 6分）解：f(x)在(得分tan x（2 分）,0),f(x)20，所以函数 f(x)在(,0)单调减少2)单调增加（3 分）在(0,),f(x)0，所以函数 f(x)在(0,（4 分）22f(x)sec2x0，所以该函数的图形是凹的（6 分）七解微分方程dyy（本题 6 分）得分dxxx2y2解微分方程变形为ydyx（1 分）dx11(y)2x令 uy，则 u xduxdx1u1u2（2 分）将上式分离变量两边积分得11 u2duu 1 u21 u21)dxx（4 分）则 ln(即 y2ln|x|c2c(x c)（6 分）八 设曲线 yx2(x 0)上某点 A 处作一切线，使之与曲线以及 x轴围成的面积为1，12试求（1）过切点 A 的切线方程（2）有上述所围成的平面图形绕x轴一周所得旋转体的体积（本题10 分）得分解：（1）设 A 的坐标为(x0,y0)，那么过 A 的切线方程可表示为 y 2x0 x x02切线与 x轴的交点(x0（2 分）x0,0)，所以所围成的面积为2 x dx2x022S2x02(x2x0 x x0)dx21 x03（5 分）012所以 x01，即 A(1,1)（6 分）（2）平面图形绕x轴一周所得旋转体的体积为V10 x dx411(2 x 1)dx（10 分）230