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2015 年北京市高考数学试卷（文科）一、选择题（每题 5 分,共 40 分）1若会合 A x 5 x 2，Bx3 x3，则 AB=（）A x 3 x 2 x 5 x 2 B C x 3 x 3 x 5 x 3 D 2圆心为 1,1 且过原点的圆的方程是（）A 2 2 2 2 x1 y1 1 y1 1 Bx1 2 2 2 x1 2 y1 2 Cx1 y1 2 D 3以下函数中为偶函数的是（）A y 2 sinx 2 cosx Dy2 x x B yx Cylnx 4某校老年、中年和青年教师的人数见如表，采纳分层插样的方法检查教师的 身体状况，在抽取的样本中，青年教师有 320 人，则该样本的老年教师人数为 （）类型 人数 老年教师 900 中年教师 1800 青年教师 1600 共计 4300 A90 B100 C180 D300 5履行以下图的程序框图，输出的 k 值为（）A3B4C5D6 rr rr rr r r 6设a,b是非零向量，“ab ab”是“a b”的（）A充分而不用要条件B必需而不充分条件 C充分必需条件D既不充分也不用要条件 7某四棱锥的三视图以下图，该四棱锥最长棱的棱长为（）A1B2C3D2 8某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的状况 加油时间加油量（升）加油时的累计里程（千米）2015 年 5 月 1 日 1235000 2015年5 月 15 日 4835600 注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的行程，在这段时间内，该车每 100 千米均匀耗油量为（）A6 升 B8 升 C10 升 D12 升 二、填空题 9复数 i1i的实部为 1 1023,32,log25三个数中最大数的是 11在 VABC中，a3,b 6,A 2，则 B=3 12已知 2,0 是双曲线x2 y2 1b 0 的一个焦点，则b=b2 13如图，VABC及其内部的点构成的会合记为 D，P(x,y)为 D 中随意一点，则 z2x3y 的最大值为 14高三年级 267 位学生参加期末考试，某班37 位学生的语文成绩，数学成绩 与总成绩在整年级的排名状况以下图，甲、乙、丙为该班三位学生 从此次考试成绩看，在甲、乙两人中，其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是；在语文和数学两个科目中，丙同学的成绩名次更靠前的科目是 三、解答题（共 80 分）15已知函数 f xsinx2 3sin2 x 2（1）求 f x 的最小正周期；（2）求 f x 在区间0,2 上的最小值 3 16已知等差数列 an知足a1a2 10,a4a32.（1）求 an的通项公式；（2）设等比数列 bn知足b2a3,b3a7，问：b6与数列an的第几项相等？17某商场随机选用 1000 位顾客，记录了他们购置甲、乙、丙、丁四种商品的 状况，整理成以下统计表，此中“”表示购置，“”表示未购置 甲乙丙丁 100 217 200 300 85 98 （1）预计顾客同时购置乙和丙的概率；（2）预计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购置 3 种商品的概率；（3）假如顾客购置了甲，则该顾客同时购置乙、丙、丁中哪一种商品的可能性最大？18如图，在三棱锥 V ABC 中，平面 VAB平面 ABC，VVAB为等边三角形，AC BC 且 AC BC 2，O，M 分别为 AB，VA的中点 （1）求证：VB平面 MOC；（2）求证：平面 MOC平面 VAB （3）求三棱锥 VABC的体积 x 2 19设函数fx klnx(k0)2 （1）求 fx的单一区间和极值；（2）证明：若 fx存在零点，则 fx在区间1,e上仅有一个零点 20已知椭圆 C:x2 3y2 3，过点 D(1,0)且可是点 E(2,1)的直线与椭圆 C 交于 A,B两点，直线 AE 与直线 x 3 交于点 M （1）求椭圆 C 的离心率；（2）若 AB垂直于 x 轴，求直线 BM的斜率；（3）试判断直线 BM与直线 DE 的地点关系，并说明原因 2015 年北京市高考数学试卷（文科）参照答案与试题分析 一、选择题（每题 5 分,共 40 分）1（2015?北京）若会合 A=x|5x2，B=x|3x3，则 AB=（）Ax|3x2Bx|5x2Cx|3x3Dx|5x3 【剖析】直接利用会合的交集的运算法例求解即可 【解答】解：会合 A=x|5x2，B=x|3x3，则 AB=x|3x2 应选：A 2（2015?北京）圆心为（1，1）且过原点的圆的方程是（）A（x1）2+（y1）2=1B（x+1）2+（y+1）2=1C（x+1）2+（y+1）2=2D（x1）2+（y1）2=2 【剖析】利用两点间距离公式求出半径，由此能求出圆的方程 【解答】解：由题意知圆半径r=，22 圆的方程为（x1）+（y1）=2 3（2015?北京）以下函数中为偶函数的是（）Ay=x2sinxBy=x2cosxC y=|lnx|Dy=2x 【剖析】第一从定义域上清除选项 C，而后在其余选项中判断x 与 x 的函数值 关系，相等的就是偶函数 【解答】解：关于 A，（x）2sin（x）=x2sinx；是奇函数；关于 B，（x）2cos（x）=x2cosx；是偶函数；关于 C，定义域为（0，+），是非奇非偶的函数；（x）xxxx关于D，定义域为R，可是2=22，22；是非奇非偶的函数；4（2015?北京）某校老年、中年和青年教师的人数见如表，采纳分层插样的方 法检查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有 320 人，则该样本的老年 教师人数为（）类型 人数 老年教师 900 中年教师 1800 青年教师 1600 共计 4300 A90B100C 180D300 【剖析】由题意，老年和青年教师的人数比为900：1600=9：16，即可得出结论 【解答】解：由题意，老年和青年教师的人数比为 900：1600=9：16，因为青年教师有 320 人，因此老年教师有 180 人，应选：C 5（2015?北京）履行以下图的程序框图，输出的 k 值为（）A3 B4 C5 D6 【剖析】模拟履行程序框图，挨次写出每次循环获得的 a，k 的值，当 a=时知足 条件 a，退出循环，输出 k 的值为 4 【解答】解：模拟履行程序框图，可得 k=0，a=3，q=a=，k=1 不知足条件 a，a=，k=2 不知足条件 a，a=，k=3 不知足条件 a，a=，k=4 知足条件 a，退出循环，输出 k 的值为 4 应选：B 6（2015?北京）设，是非零向量，“=|”是“”的（）A充分而不用要条件B必需而不充分条件 C充分必需条件D既不充分也不用要条件 【剖析】由即可获得夹角为 0，进而获得，而其实不可以获得夹角为 0，进而得不到，这样依据充分条件、必需条件的观点即可找出正确选项【解答】解：（1）；时，cos=1；“”是“”的充分条件；（2）时，的夹角为 0 或；，或；即得不到；“”不是“”的必需条件；总上可得“”是“”的充分不用要条件应选 A 7（2015?北京）某四棱锥的三视图以下图，该四棱锥最长棱的棱长为（）A1BCD2 【剖析】几何体是四棱锥，且四棱锥的一条侧棱与底面垂直，联合直观图求有关 几何量的数据，可得答案 【解答】解：由三视图知：几何体是四棱锥，且四棱锥的一条侧棱与底面垂直，底面为正方形如图：此中 PB平面 ABCD，底面 ABCD 为正方形 PB=1，AB=1，AD=1，BD=，PD=PC=该几何体最长棱的棱长为：应选：C 8（2015?北京）某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加 油时的状况 加油时间 加油量（升）加油时的累计里程（千米）2015 年 5 月 1 日 12 35000 2015 年 5 月 15 日 48 35600 注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的行程，在这段时间内，该车每 100 千米均匀耗油量为（）A6 升 B8 升 C10 升D12 升 【剖析】由表格信息，获得该车加了 48 升的汽油，跑了 600 千米，由此获得该车每 100 千米均匀耗油量 【解答】解：由表格信息，获得该车加了 48 升的汽油，跑了600 千米，因此该 车每 100 千米均匀耗油量 486=8；应选：B 二、填空题 9（2015?北京）复数 i（1+i）的实部为1 【剖析】直接利用复数的乘法运算法例，求解即可 【解答】解：复数 i（1+i）=1+i，所求复数的实部为：1 故答案为：1 10（2015?北京）23，log_25 三个数中最大数的是 log_25 【剖析】运用指数函数和对数函数的单一性，可得 0231，12，log_25 log24=2，即可获得最大数 【解答】解：因为 0231，12，log_25log24=2，则三个数中最大的数为log_25 故答案为：log_25 11（2015?北京）在ABC 中，a=3，b=，A=，则B=【剖析】由正弦定理可得 sinB，再由三角形的边角关系，即可获得角B 【解答】解：由正弦定理可得，=，即有 sinB=，由 ba，则 BA，可得 B=故答案为：12（2015?北京）已知（2，0）是双曲线 x2=1（b0）的一个焦点，则b=【剖析】求得双曲线 x2=1（b0）的焦点为（，0），（，0），可得 b 的方 程，即可获得 b 的值 【解答】解：双曲线 x2=1（b0）的焦点为（，0），（，0），由题意可得=2，解得 b=故答案为：13（2015?北京）如图，ABC 及其内部的点构成的会合记为 D，P（x，y）为 D 中随意一点，则 z=2x+3y 的最大值为 7 【剖析】利用线性规划的知识，经过平移即可求 【解答】解：由 z=2x+3y，得 y=，z 的最大值 平移直线 y=，由图象可知当直线 y=经过点 A时，直线 y=的截距最大，此时 z 最大 即 A（2，1）此时 z 的最大值为 z=22+31=7，故答案为：7 14（2015?北京）高三年级 267 位学生参加期末考试，某班37 位学生的语文成 绩，数学成绩与总成绩在整年级的排名状况以下图，甲、乙、丙为该班三位学生 从此次考试成绩看，在甲、乙两人中，其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是乙；在语文和数学两个科目中，丙同学的成绩名次更靠前的科目是数学 【剖析】（1）依据散点图 1 剖析甲乙两人所在的地点的纵坐标确立总成绩名次；（2）依据散点图 2，察看丙的对应的坐标，假如横坐标大于纵坐标，说明总成绩名次大于数学成绩名次，反之小于 【解答】解：由高三年级 267 位学生参加期末考试，某班 37 位学生的语文成绩，数学成绩与总成绩在整年级的排名状况的散点图可知 在甲、乙两人中，其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是乙；察看散点图，作出对角线 y=x，发现丙的坐标横坐标大于纵坐标，说明数学成 绩的名次小于总成绩名次，因此在语文和数学两个科目中，丙同学的成绩名次更 靠前的科目是数学；故答案为：乙；数学 三、解答题（共80 分）15（2015?北京）已知函数f（x）=sinx2sin2 （1）求 f（x）的最小正周期；（2）求 f（x）在区间0，上的最小值 【剖析】（1）由三角函数恒等变换化简函数分析式可得f（x）=2sin（x+），由三角函数的周期性及其求法即可得解；（2）由 x0，可求范围 x+，即可求得 f（x）的取值范围，即可 得解 【解答】解：（1）f（x）=sinx2sin2 =sinx2 =sinx+cosx =2sin（x+）f（x）的最小正周期 T=2；（2）x0，x+，sin（x+）0，1，即有：f（x）=2sin（x+），2，可解得 f（x）在区间0，上的最小值为：16（2015?北京）已知等差数列an知足 a_1+a_2=10，a_4a_3=2 （1）求an的通项公式；（2）设等比数列bn知足 b_2=a_3，b_3=a7，问：b6与数列an的第几项相等？【剖析】（I）由 a_4a_3=2，可求公差 d，而后由 a_1+a_2=10，可求 a_1，联合等差数列的通项公式可求 （II）由 b_2=a_3=8，b_3=a7=16，可求等比数列的首项及公比，代入等比数列的通项公式可求 b6，联合（I）可求 【解答】解：（I）设等差数列an的公差为 d a_4a_3=2，因此 d=2 a_1+a_2=10，因此 2a_1+d=10 a_1=4，an=4+2（n1）=2n+2（n=1，2，）（II）设等比数列bn的公比为 q，b_2=a_3=8，b_3=a7=16，q=2，b_1=4 =128，而 128=2n+2 n=63 b6与数列an中的第 63 项相等 17（2015?北京）某商场随机选用1000 位顾客，记录了他们购置甲、乙、丙、丁四种商品的状况，整理成以下统计表，此中“”表示购置，“”表示未购 买 甲乙丙丁 100 217 200 300 85 98 （1）预计顾客同时购置乙和丙的概率；（2）预计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购置 3 种商品的概率；（3）假如顾客购置了甲，则该顾客同时购置乙、丙、丁中哪一种商品的可能性最大？【剖析】（1）从统计表可得，在这 1000 名顾客中，同时购置乙和丙的有 200 人，进而求得顾客同时购置乙和丙的概率 （2）依据在甲、乙、丙、丁中同时购置 3 种商品的有 300 人，求得顾客顾客在 甲、乙、丙、丁中同时购置 3 种商品的概率 （3）在这 1000 名顾客中，求出同时购置甲和乙的概率、同时购置甲和丙的概率、同时购置甲和丁的概率，进而得出结论 【解答】解：（1）从统计表可得，在这 1000 名顾客中，同时购置乙和丙的有 200 人，故顾客同时购置乙和丙的概率为=（2）在这 1000 名顾客中，在甲、乙、丙、丁中同时购置 3 种商品的有 100+200=300 （人），故顾客顾客在甲、乙、丙、丁中同时购置 3 种商品的概率为=（3）在这 1000 名顾客中，同时购置甲和乙的概率为=，同时购置甲和丙的概率为=，同时购置甲和丁的概率为=，故同时购置甲和丙的概率最大 18（2015?北京）如图，在三棱锥VABC 中，平面 VAB平面 ABC，VAB为等 边三角形，ACBC 且 AC=BC=，O，M分别为 AB，VA的中点 （1）求证：VB平面 MOC；（2）求证：平面 MOC平面 VAB （3）求三棱锥 VABC 的体积 【剖析】（1）利用三角形的中位线得出 OMVB，利用线面平行的判断定理证明VB平面 MOC；（2）证明：OC平面 VAB，即可证明平面 MOC平面 VAB （3）利用等体积法求三棱锥 VABC 的体积 【解答】（1）证明：O，M分别为 AB，VA的中点，OMVB，VB?平面 MOC，OM?平面 MOC，VB平面 MOC；（2）AC=BC，O 为 AB的中点，OCAB，平面 VAB平面 ABC，OC?平面 ABC，OC平面 VAB，OC?平面 MOC，平面 MOC平面 VAB （3）在等腰直角三角形 ACB 中，AC=BC=，AB=2，OC=1，SVAB=，OC平面 VAB，VC VAB=?SVAB=，VVABC=VCVAB=19（2015?北京）设函数 f（x）=klnx，k0 （1）求 f（x）的单一区间和极值；（2）证明：若 f（x）存在零点，则 f（x）在区间（1，上仅有一个零点 【剖析】（1）利用 f（x）0 或 f（x）0 求得函数的单一区间并能求出极值；（2）利用函数的导数的极值求出最值，利用最值议论存在零点的状况【解答】解：（1）由 f（x）=f（x）=x 由 f（x）=0 解得 x=f（x）与 f（x）在区间（0，+）上的状况以下：X（0，）（）f（x）0+f（x）因此，f（x）的单一递加区间为（），单一递减区间为（0，）；f（x）在 x=处的极小值为 f（）=，无极大值 （2）证明：由（1）知，f（x）在区间（0，+）上的最小值为 f（）=因为f（x）存在零点，因此，进而 ke 当 k=e 时，f（x）在区间（1，）上单一递减，且 f（）=0 因此 x=是 f（x）在区间（1，）上独一零点 当 ke 时，f（x）在区间（0，）上单一递减，且，因此 f（x）在区间（1，）上仅有一个零点 综上所述，若 f（x）存在零点，则 f（x）在区间（1，上仅有一个零点 20（2015?北京）已知椭圆C：x2+3y2=3，过点 D（1，0）且可是点 E（2，1）的直线与椭圆 C 交于 A，B 两点，直线 AE 与直线 x=3 交于点 M （1）求椭圆 C 的离心率；（2）若 AB垂直于 x 轴，求直线 BM的斜率；（3）试判断直线 BM与直线 DE 的地点关系，并说明原因 【剖析】（1）经过将椭圆 C 的方程化成标准方程，利用离心率计算公式即得结论；（2）经过令直线 AE 的方程中 x=3，得点 M坐标，即得直线 BM的斜率；（3）分直线 AB的斜率不存在与存在两种状况议论，利用韦达定理，计算即可【解答】解：（1）椭圆 C：x2+3y2=3，椭圆 C 的标准方程为：+y2=1，a=，b=1，c=，椭圆 C 的离心率 e=；（2）AB过点 D（1，0）且垂直于 x 轴，可设 A（1，y_1），B（1，y_1），E（2，1），直线 AE 的方程为：y1=（1y_1）（x2），令 x=3，得 M（3，2y_1），直线 BM的斜率 kBM=1；（3）结论：直线 BM与直线 DE 平行证明以下：当直线 AB的斜率不存在时，由（2）知 kBM=1，又直线 DE 的斜率 kDE=1，BMDE；当直线 AB的斜率存在时，设其方程为 y=k（x1）（k1），设 A（x_1，y_1），B（x_2，y_2），则直线 AE 的方程为 y1=（x2），令 x=3，则点 M（3，），直线 BM的斜率 kBM=，联立，得（1+3k2）x26k2x+3k23=0，由韦达定理，得x_1+x_2=，x_1x_2=，kBM1=0，kBM=1=kDE，即 BMDE；综上所述，直线 BM与直线 DE 平行 参加本试卷答题和审题的老师有：qiss；刘长柏；changq；w3239003；wkl197822；sdpyqzh；双曲线；maths；吕静；caoqz；雪狼王；cst（排名不分先后）2017 年 2 月 3 日