2012中考数学一轮复习【代数篇】19.二次函数(一).pdf

中考复习之二次函数（一）中考复习之二次函数（一）知识考点：掌握二次函数的图像和性质以及抛物线的平移规律；会确定抛物线的顶点坐标、对称轴及最值等。精典例题：【例 1】二次函数y ax bx c的图像如图所示，那么abc、b2 4ac、2ab、24a2bc这四个代数式中，值为正的有（）A、4 个 B、3 个 C、2 个 D、1 个yb12a2ab0解析：x 答案：A评注：由抛物线开口方向判定a的符号，由对称轴的位置判-1O1例 1 图x定b的符号，由抛物线与y轴交点位置判定c的符号。由抛物线与x轴的交点个数判定b2 4ac的符号，若x轴标出了 1 和1，则结合函数值可判定2ab、a bc、a bc的符号。【例 2】已知abc 0，a0，把抛物线y ax bx c向下平移 1 个单位，再向左平移 5 个单位所得到的新抛物线的顶点是（2，0），求原抛物线的解析式。分析：由abc 0可知：原抛物线的图像经过点（1，0）；新抛物线向右平移5 个单位，再向上平移 1 个单位即得原抛物线。解：可 设 新 抛 物 线 的 解 析 式 为y a(x 2)，则 原 抛 物 线 的 解 析 式 为22y a(x 25)21，又易知原抛物线过点（1，0）0 a(1 25)1，解得a 原抛物线的解析式为：y 2141(x 3)214评注：解这类题的关键是深刻理解平移前后两抛物线间的关系，以及所对应的解析式间的联系，并注意逆向思维的应用。另外，还可关注抛物线的顶点发生了怎样的移动，常见的几种变动方式有：开口反0向（或旋转 180），此时顶点坐标不变，只是a反号；两抛物线关于x轴对称，此时顶点关于x轴对称，a反号；两抛物线关于y轴对称，此时顶点关于y轴对称；探索与创新：【问题】已知，抛物线y a(x t 1)t（a、t是常数且不等于零）的顶点是A，如图所示，抛物线y x 2x 1的顶点是 B。222（1）判断点 A 是否在抛物线y x 2x 1上，为什么？（2）如果抛物线y a(x t 1)t经过点 B，求a的值；这条抛物线与x轴的两个交点和它的顶点 A 能否构成直角三角形？若能，求出它的值；若不能，请说明理由。解析：（1）抛物线y a(x t 1)t的顶点 A（t 1，222，而x t 1当时，y x 2x 1(x 1)(x 11)t2）222222yt2，所以点 A 在抛物线y x 2x 1上。（2）顶点 B（1，0），a(1t 1)t 0，t 0，22OBx问题图a 1；设抛物线y a(x t 1)t与x轴的另一交点为 C，B（1，0），C（2t 1，0），由抛物线的对称性可知，ABC 为等腰直角三角形，过 A 作 ADx轴于 D，则 ADBD。当点 C 在点 B 的左边时，t1(t 1)，解得t 1或t 0（舍）；当点 C 在点 B 的右边时，t(t 1)1，解得t 1或t 0（舍）。故t 1。评注：若抛物线的顶点与x轴两交点构成的三角形是直角三角形时，它必是等腰直角三角形，常用其“斜边上的中线（高）等于斜边的一半”这一关系求解有关问题。跟踪训练：一、选择题：1、二次函数y ax bx c的图像如图所示，OAOC，则下列结论：abc0；4ac b2；acb 1；2ab 0；A-2O1CB22222yxcOAOB ；a4a2bc 0。其中正确的有（）2第 1 题图 A、2 个 B、3 个 C、4 个 D、5 个2、二次函数y x bx c的图像向右平移 3 个单位，再向下平移2 个单位，得到函数图像的解析式为y x 2x 1，则b与c分别等于（）A、6、4 B、8、14C、4、6 D、8、143、如图，已知ABC 中，BC8，BC 边上的高h 4，D 为 BC一点，EFBC 交 AB 于 E，交AC 于 F（EF 不过 A、B），设E 到的距离为x，DEF 的面积为y，那么y关于x的函数图像大BE2AFDC第 3 题图上BC致是（）y42O42y42y42OyxO24xO24x24 A B C D24x3 题图2与四条直线x 1，x 2，y 1，y 2围成的正方形有公共点，则y题图 ax4、若抛物线3a的取值范围是（）1111 A、a1 B、a2 C、a1 D、a242245、如图，一次函数y kx b与二次函数y ax bx c的大致图像是（）2yOyyOyxOxxOx3 题图 A B C D3 题图3 题图二、填空题：1、若抛物线y (m 1)x 2mx 3m 2的最低点在x轴上，则m的值为。2、二次函数y 4x mx 5，当x 2时，y随x的增大而减小；当x 2时，y随x的增大而增大。则当x 1时，y的值是。3、已知二次函数的图像过点（0，3），图像向左平移 2 个单位后的对称轴是y轴，向下平移 1 个单位后与x轴只有一个交点，则此二次函数的解析式为。4、已知抛物线y (m 2)x 4mx n的对称轴是x 2，且它的最高点在直线2222y 1x 1上，则它的顶点为，n。22三、解答题：1、已知函数y x(m 2)x m的图像过点（1，15），设其图像与x轴交于点 A、B，点 C 在图像上，且SABC1，求点 C 的坐标。2、某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程。下面的二次函数图象（部分）刻画了该公司年初以来累积利润S（万元）与销售时间。根据图象提供的信息，解t（月）之间的关系（即前t个月的利润总和 S 与t之间的关系）答下列问题：（1）由已知图象上的三点坐标，求累积利润S（万元）与时间t（月）之间的函数关系式；（2）求截止到几月末公司累积利润可达到30 万元；（3）求第 8 个月公司所获利润是多少万元？4321O-1-2-3S（万元）yCD1 2 3 4 5 6t（月）月2BAOxO123、抛物线y x，y x和直线x a（a0）分别交于A、B 两点，已知AOB290。（1）求过原点 O，把AOB 面积两等分的直线解析式；（2）为使直线y 0第 2 题图第 4 题图O2x b与线段 AB 相交，那么b值应是怎样的范围才适合？24、如图，抛物线y ax 4ax t与x轴的一个交点为 A（1，0）。（1）求抛物线与x轴的另一个交点 B 的坐标；（2）D 是抛物线与y轴的交点，C 是抛物线上的一点，且以 AB 为一底的梯形 ABCD 的面积为 9，求此抛物线的解析式；（3）E 是第二象限内到x轴、y轴的距离的比为 52 的点，如果点 E 在（2）中的抛物线上，且它与点A 在此抛物线对称轴的同侧。问：在抛物线的对称轴上是否存在点P，使APE 的周长最小？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由。参考答案一、选择题：BCDDC二、填空题：1、2；2、7；3、y 三、解答题：1、C（32、（1）S 1（2，2），n 2；(x 2)21；4、22，1）或（32，1）、（3，1）12（2）10 月；（3）5.5 万元t 2t；22x；（2）3b04223、（1）y 4、（1）B（3，0）；（2）y x 4x 3或y x 4x 3；（3）在抛物线的对称轴上存在点P（2，1），使APE 的周长最小。2